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    《分圆多项式》PPT课件.ppt

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    《分圆多项式》PPT课件.ppt

    7.5 分 圆 多 项 式,7.5.1 复数域上的分圆多项式 7.5.2 任意域上的分圆多项式,7.5.1 复数域上的分圆多项式,定义.在复数域中n-1=0的解称为n次单位根。结论:一个复数是n次单位根,当且仅当它具有下列形式:证明:因任意复数可以表为 r(cos+isin)其中r是它的模,是它的幅角,我们有 r(cos+isin)s(cos+isin)=rs cos cos-sin sin+i(cos sin+sincos)=rscos(+)+isin(+)。,据此,用数学归纳法易证:r(cos+isin)n=rn(cos n+isin n)此数的模是rn,幅角是n。因为复数1的模是1,幅角是2k,k=0,1,2,所以,r(cos+isin)是n次单位根 iffrn=1 且 n=2k iffr=1,且=iff它具有下列形式:,故若命=则一个复数是n次单位根,当且仅当它是的整数次方。由此可见,所有n次单位根在乘法下作成一个循环群,是它的一个生成元素。1,2,n-1为n个n次单位根:这n个单位根的幅角都是 的整倍数;用平面上的点代表复数,把代表这n个单位根的点用线段联结起来便成为单位圆的一个内接正n边形。可见,这n个n次单位根都不同。是n次单位根,当然n=1。所以的周期恰等于n。,定理7.5.1.复数域中恰有n个n次单位根。它们在乘法下作成一个n元循环群,=是一个生成元素。这个n元循环群的生成元素称为本原n次单位根,共有(n)个,假定它们是1,2,(n)命n()=(-1)(-2)(-(n))n()称为分圆多项式.意思是说求出它的一个根就可以把单位圆分成n等份了。,分圆多项式例,n=1时,生成元=1,(1)=1,故 1()=(-1)。n=2时,生成元=-1,(2)=1,故 2()=(+1)。n=3时,生成元=,(3)=2,另一个生成元为:2=,故3()=(-)(x-2)=2+x+1。n=4时,生成元=i,(4)=2,另一个生成元为:3=-i,故 4()=(-)(x-3)=(x-i)(x+i)=x2+1,分圆多项式的性质,定理7.5.2 n-1=证明:设1,2,n是所有n次单位根,于是n-1=(-1)(-2)(-n).任取一个dn。(1)往证|n-1。任取d()的根,则是一个本原d次单位根。于是,d=1,因而n=1,可见(x-)必出现在(-1)(-2)(-n)中.可见,所有(d)个本原d次单位根都出现在(-1)(-2)(-n)中。因之,d()n-1。,若d和d不同,则d()和d()没有公共一次式。因为,前者的根是本原d次单位根,后者的根是本原d次单位根,由此可见,n-1。(2)往证 n-1|。任取n-1的根,设的周期为d,dn,因而是本原d次单位根。这就是说,(-1)(-2)(-n)中的任意一次式必出现在某个d()之内,其中dn,所以n-1|。,例,因为x-1=1(),所以,1()=x-1。因为x2-1=2()1(),所以,2()=x+1。因为x3-1=3()1(),所以,3()=x2+x+1。因为x4-1=4()2()1(),所以,4()=x2+1。,分圆多项式的性质,定理7.5.3.n()是整系数多项式。证明:用数学归纳法。1()=-1是整系数多项式。假定已知kn时,k()是整系数多项式,试证n()亦然。因n-1=n(),由归纳法假定,此式右边每个d()都是整系数多项式,故其积为整系数多项式,且首系数为1。所以是本原多项式,而n-1是整系数多项式,故,n()必为整系数多项式。,例,求12()。解:因为 12-1=1264321,6-1=6321相除得6+1=124因之,12()=x4-x2+1。,7.5.2 任意域上的分圆多项式,F为任意域,设n不是特征的倍数,方程n-1=0在F中的根称为n次单位根。若n不是特征的倍数,则n-1的微商nn-1不是多项式0,因而除0外没有另外的根,但0显然不是n-1的根,所以,n-1及其微商没有公共根,因而方程n-1没有重根。若n是特征p的倍数,设n=kpm,其中k不是p的倍数,则 n-1=。这时n-1的根即是k次单位根,且n-1的每个根都是pm重根。,例.在R7=0,1,2,3,4,5,6上分别计算n次单位根,n=1,2,3,4,5,6。,例.R2=0,1上的4个矩阵:0=,1=,a=,b=,作成的集合F=0,1,a,b在矩阵加法、乘法下作成一个域。则在F上求4次单位根就是求方程x4-1=0,即 的根。由分圆多项式的性质可求出 4()=x2+1=x2+。,定理7.5.4 设n不是F的特征的倍数,并设n()在F中有根。于是,F中恰有n个n次单位根,它们在乘法下作成一个n元循环群,其(n)个生成元素恰是n()的所有的根。证明:设是n()在F中的任意根,往证的周期为n。设的周期k。由于n()n-1,是n-1的根,故n=1。因而的周期kn。反证。假定kn。因为k=1,所以应是k-1的根,但k-1=,乘积中没有n()。既是n()的根又是k-1的根,因而是n-1的重根,此不可能。,因之,1,2,n-1是n个不同的n次单位根,但n-1最多只能有n个根,所以F中恰有n个n次单位根。所有n次单位根既然都是的若干方,所以在乘法下作成一个n元循环群,n()的任意根是此群的一个生成元素。今n元循环群只有(n)个生成元素,所以n()的根恰是所有的生成元素。证毕。此n元循环群的生成元素也叫本原n次单位根。,例.考察R5=0,1,2,3,4上的情形,(1)对x2-1=0,分圆多项式2()=x+1。因为2()在R5 中有根4,所以2个二次单位根全在R5 中,且4为其(2)=1个生成元,由它生成的1,4就是全部二次单位根。,例.考察R5=0,1,2,3,4上的情形,(2)对x3-1=0,分圆多项式3()=x2+x+1。3()在R5 中无根,3个三次单位根不全在R5 中,在R5 中只有一个根1,例.扩展R5 至 R7,3()在R7 中有根2,4,所以3个三次单位根全在R7中,且2,4为其(3)=2个生成元,由它们任意一个可生成全部3个三次单位根:1,2,4,例.考察R5=0,1,2,3,4上的情形,对x4-1=0,分圆多项式4()=x2+1。因为4()在R5 中有根2,3,所以4个四次单位根全在R5 中,且2,3为其(4)=2个生成元,由任意一个可生成全部4个四次单位根。,

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