《元微分学初步》PPT课件.ppt

计算机数学基础,授课教师：林四海联系方式：TEL：Q Q：254639066,第2章 一元微分学初步,本章主要内容,2.1 函 数,本节内容2.1.1 函数的概念 2.1.2 复合函数与初等函数,区间与邻域数学中，某些指定的数集在一起就成为一个数集。显然，数集是关于数的集合。常用的数集及其代号是：自然数集N（包括0和所有正整数）、整数集Z、有理数集Q和实数集R。其中，涉及最多的是实数集R。区间是R的一个连续子集。例如：a,bx|axb、(a,b)x|axb、(,)R,2.1.1 函数的概念,为点 的邻域，记作；点 和数分别称为,设 与是两个实数，且0，数集 称,这个邻域的中心和半径。,数集 称为点 的空心邻域，记作。,邻域和空心邻域在数轴上的表示见下图。,邻域,定义1-1 设x和y是两个变量，D是R的非空子集，如 果对于每一个数xD，变量y按照某种对应法则有 惟一确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作 yf(x)并称变量x为该函数的自变量，变量y为因变量，f 是函数中表示对应法则的记号，D是函数的定义域，也可以记作D(f)，数集 Wy|yf(x),xD为函数的值域，也可以记作 Rf 或 f(D)。,函数,表示函数的方法有解析法（也称公式法）、图像法、表格法等等。,还需要指出，函数可以含有一个或多个自变量。含有一个自变量的函数称为一元函数。含有多个自变量的函数称为多元函数。,对于自变量x取定义域中某一定值x0，函数yf(x)的,相应值叫做当xx0时的函数值。通常用记号f(x0)，,或，或，或 y(x0)等表示。,函数的定义域,函数的定义域就是指使函数有意义的自变量x的取值范围。判断函数有意义的方法有下列几种：,分式的分母不等于零；,偶次方根式中，被开方式大于等于零；,含有对数的式子，真数式大于零；,反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1；,分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；,练习：求下列函数的定义域,例1 求下列函数的定义域,定义1-2 设函数yf(x)在区间I内有定义。如果存在 正数M，使得对任意的x，均有|f(x)|M则称函数yf(x)在区间I内是有界的。M为yf(x)在 区间I内的一个界。如果不存在这样的常数，则称 函数yf(x)在区间I内是无界的。有界函数的图像在区间I内被限制在yM和yM 两条直线之间。,函数的性质,1、有界性,2、奇偶性,奇函数的图像关于原点对称。偶函数的图像关于 y 轴对称。学过的函数中，奇函数有yx、ysinx、ytanx等，偶函数有yx2、ycosx等。而y2x和ylgx既不是奇函数，也不是偶函数。研究函数奇偶性的好处在于，如果一个函数是奇函数（或偶函数），则只要研究自变量大于等于零的一半就可以推知全貌。,定义1-4 设函数yf(x)的定义域为D。如果存在常数 T0，使得对任一，都有，且等式 一定成立；则称函数yf(x)是周期函数，T 称为该 函数的周期。,周期函数的周期通常是指它的最小正周期。例如，ysin x和ytan x都是周期函数，前者的周期是2，后者的周期是。,3、周期性,定义1-5 设函数yf(x)在区间I内有定义。如果对 任意的，且 x1x2 时，均有 f(x1)f(x2)则称函数yf(x)在区间I内是单调增加的。如果在同样条件下恒有 f(x1)f(x2)则称函数yf(x)在区间I内是单调减少的。单调增加或单调减少的函数统称为单调函数。,4、单调性,定义1-6 设函数yf(x)的定义域为D，值域为Rf。若对 每一个，都有惟一确定的 满足f(x)y，那么就可以把y作为自变量，而x是y的函数。这个新的函数称为yf(x)的反函数，记作 yf 1(x)这个函数的定义域为Rf，值域为D。相应地，函数yf(x)称为直接函数。,反函数,显然，如果把反函数的图像和它的直接函数的图像画在同一个坐标系中，则它们的图形是关于直线 yx 为对称的。,例 求 ylog3(2x3)的反函数。,若函数yf(x)在某个定义区间上单调增加 或单调减少，则它在该区间上必定存在反函数。,实际上，并不是任何函数都有反函数的。那么，什么样的函数存在反函数呢？,解：从方程 ylog3(2x3)中解出x为,则所求反函数为,常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数 和反三角函数6类是最常见、最基本的函数，这些函 数称为基本初等函数。基本初等函数是构建复杂函数的基础。复合函数对于函数ysinx，如果令xt，并将它代入 ysinx，就可以得到函数ysint。可以看成由ysinx和xt复合而成。,2.1.2 复合函数与初等函数,定义1-7 设函数yf(u)的定义域是D1，函数u(x)的 定义域是D2，当x在的定义域D2或其中一部分取值时，u(x)的函数值均在yf(u)的定义域D1内。对于这样 取定的x的值，通过u有确定的值y与之对应，从而可以 得到一个以x为自变量，y为因变量的函数，这个函数 称为由函数yf(u)及u(x)复合而成的复合函数，记作 yf(x)而u称为中间变量。,复合函数,复合函数的复合过程u(x)yf(u)yf(x),中间变量,关于复合函数，需要说明一点：不是任何两个函数都可以复合成一个函数的。例如，y=arcsinu与u=x2+8就不能复合成一个函数。因为由函数u=x2+8确定的u的值域是8,+)，不在 函数y=arcsinu的定义域内。因此，求复合函数的定义域时，要考虑构成复合函数的所有基本初等函数都有意义。,例 指出下列各函数的复合过程（1）T ln(tan)（2）（3）（4）,解：,是由 和 复合而成的,是由 和 复合而成的,是由 和 复合而成的,是由、和 复合而成的,初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运 算所构成并能用一个式子表示的函数，称为初等函数。例如，y sin3x、u sin(x)（、是常数）都是初等函数。凡不能用一个式子表示的函数都不是初等函数。一般情况下，分段函数不是初等函数，含有绝对值 符号的函数一般也不是初等函数。,2.2 极 限,本节内容 数列的极限 函数的极限 无穷小量与无穷大量 极限的计算 函数的连续性,研究函数变化的基本工具是极限的方法。极限的概念是微积 分学中最基本的概念，后面将要介绍的函数的连续性、导数、定积分等概念都要以极限为基础。两千多年前，我国古人就有了初步的极限概念。公元263年，我国数学家刘徽根据朴素的极限思想先后计算了圆内接正6边 形、正12边形、正24边形、正48边形、的面积，他算出 的圆周率是3.14（3072边形），这已经是很好的近似值了，非常 了不起。,数列是按照某种法则产生的一系列数的依次排列。无穷数列 x1,x2,xn,（常简记为xn）可以看作自 变量为正整数n的函数，即xnf(n)。因此，数列的 极限是一类特殊函数的极限。定义1-9 对数列xn，如果当n无限增大时，xn无限接 近一个常数a，那么a 就称为数列xn的极限，或称数 列xn收敛于a，记为,数列的极限,或 xna(n),如果数列没有极限，就说数列是发散的。如果一个数列有极限，则此极限是惟一的。定义1-9中“如果当n无限增大时，数列xn无限接 近一个常数a”的实质是：随着n的无限增大，xn与 常数a的距离|xn a|可以任意小，即要多小都可以 有多小（不排除数列的某些项取常数a的可能）。,例 根据极限的定义，判断下列各数列是否有极限，对于收敛的数列指出其极限：（1）1,2,3,n,（2）（3）1,1,1,(1)n1,（4）（5）,解：将上述数列逐项在数轴上表示出来，如下列图所示（1）1,2,3,n,（2）（3）1,1,1,(1)n1,（4）（5）,1、自变量趋向无穷大时函数的极限 对函数，当|x|无限增大时，对应的函数值y 无限接近常数0（参看右图），这时就称 以0为极限。,2.2.2 函数的极限,定义1-10 设函数yf(x)对绝对值无论怎样大的自变量 都有定义，如果当|x|无限增大（即x）时，函数 f(x)无限接近某个常数A，那么A就称为函数f(x)当x趋 向无穷大时的极限，记为,如果 不存在，则函数f(x)当x时没有极限。,或 f(x)A(x),定义1-10中“如果当|x|无限增大（即x）时，函数f(x)无限接近某个常数A”的实质是：随着 x 的绝对值的无限增大，函数f(x)与常数A的距离|f(x)A|可以任意小，即要多小都可以有多小（不排除f(x)取常数A的可能）。,如果在定义1-10中限制x只取正值或者只取负值，即有称函数f(x)当x趋向正无穷大（或负无穷大）时的极限为A。,或,对于函数，其图像如下图所示。由于，并且 两个极限相等，从而,对于函数yarctan x，由于 两个极限不相等，从而 不存在对于函数y2x，由于其中一个极限不存在，从而 不存在,通过对以上3个函数的分析说明，只有当 和 都存在并且相等时，才存在并与前两者相等。,2、自变量趋向有限值时函数的极限,定义1-11 设函数yf(x)在点x0的某个空心邻域 有定义，如果x无限接近有限数 x0，即xx0(xx0)时，函数f(x)无限接近某个常数A，那么就称A为函数f(x)当xx0时的极限，记为,或 f(x)A(当xx0),x无限接近有限数x0而不要求等于x0意味着，当xx0 时，f(x)的变化趋势与f(x)在x0是否有定义或如何 定义无关。前者是f(x)在x0附近的动态描述，后者是 f(x)在 x0的静态说明。,左极限右极限只有当 和 都存在并且 相等时，才存在并与前两者相等。,左极限、右极限,实例1 考察极限（c为常数）。因为函数yc在R上都等于常数c，所以实例2 考察极限。当 时，tanx；当 时，tanx。故 不存在。,故,实例3 考察极限，其中 由于 和 都存在并且都等于2，所以 存在且等于2。,但是，f(1)1，所以。,1、无穷小量定义1-12 如果在x的某种趋向下，函数f(x)以零为极 限，则称在x的这种趋向下，函数f(x)是无穷小量，简称无穷小。例如，数列 的极限是零，故（当n时）是无穷小量。当x时，函数 是无穷小量。当x0时，sinx和 lg(1x)也都是无穷小量。,2.2.3 无穷小量与无穷大量,定理1 有限个无穷小量的和也是无穷小量。例如，当x0时，x3和sinx都是无穷小量，所以x3sinx也是无穷小量。无限个无穷小量的和就不一定是无穷小量了。,定理2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。例如，当x2时，(x24)和ln(x1)都是无穷小量，所以(x24)ln(x1)也是无穷小量。,无穷小量的性质,定理3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。例如，当x0时，函数x是无穷小量，而 是 有界函数，所以 也是无穷小量,定理4 常数与无穷小量的乘积是无穷小量。例如，当x时，2-x是无穷小量，所以3（2-x）也是无穷小量。,定义1-13 如果在x的某种趋向下，函数 f(x)的绝对值 可以任意地大，则称函数是在的这种趋向下的无穷大 量，简称无穷大。例如，当x时函数x2是无穷大量，当x0时函数 1/x是无穷大量，当x时函数ln(1x)是无穷大量。,2、无穷大量,在自变量的变化过程中为无穷大量的函数f(x)，按极 限的定义其极限是不存在的。但是为了便于叙述函数 的这一性态，可以这样说：函数的极限是无穷大量，并记做 lim f(x)类似地，还有lim f(x)lim f(x),这样一来，相关的极限就可以方便地表达了。前面的几个例子可以写成 显然，无穷小量和无穷大量有这样的关系：无穷大量的倒数是无穷小量 恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量,1、极限的运算法则 设lim f(x)A，lim g(x)B，则（1）limf(x)g(x)AB（2）limf(x)g(x)AB 或 limf(x)nAn（n为证整数）（3）limCf(x)CA（C为常数）,（4）（B0）,2.2.4 极限的计算,或,limf(x)g(x)limf(x)limg(x)=AB,limf(x)0,利用上述极限运算法则求下列函数极限,例1,解：,解：因为分母,所以原式,例2,但因,时,。,，故,所以,解：,例3 求,解：,故由恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量得,练：求下列函数极限,解：,解：,解：,例4,解：将分子分母同除以 得,练习 求下列极限：（1）（2）（3）,（2）,（1）,解:,（3）,通过本题的解答可以得到如下的一般结果：当an，bm0时，有,2、两个重要极限 在微分学中有两个重要的极限公式，它们在计算有 关极限时很有用。,在重要极限（1-4）中令，则有：实际上，公式（1-3）、（1-4）和（1-5）分别具有以下更普遍的形式：,（1-6）,（1-7）,（1-8）,（1-5）,凡是分子或分母含有三角函数的“”型的不定式，一般都要用公式（1-6）求解。例如 求重要极限（1-7）和（1-8）具有这样的共同特点：幂指函数底的极限是1，指数趋向于无穷大，这也是 一种不定式，通常记为“1”。计算1型不定式的极限时一定要用这两个极限公式。,例2 证明：,例1 求,解：,证明：,练习 求下列极限,令,则,，,当,时,。,故,函数的极限存在与否是与函数的连续性密切相关的。从下图所表示的函数图象看，函数在点x1、x2和x3是 间断的，在其余的点是连续的。,函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,定义2 设函数f(x)在x0的一个邻域内有定义，如果 函数f(x)当xx0时的极限存在，且等于它在点x0处的 函数值f(x0)，即,那么就称函数f(x)在点x0处连续，称x0为函数的连续点。,根据定义得知：函数在点x0处连续的充分且必要条件是：,f(x0)存在；存在；两者相等,如果函数f(x)在某区间上每一点都连续，则称f(x)在该 区间上连续，或者称f(x)是该区间上的连续函数。连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线。,(1)6类基本初等函数在它们的定义区间内都是连续的；连续函数的和、差、积、商（分母不能为零）在其定 义区间内是连续函数；(3)由连续函数复合成的函数在其定义区间内是连续函数。由上述3点结论可知，一切初等函数在其定义域内都是连续函数。,例1 求 例2 求例3 求,（3）解：,例4 求,解：,*函数的间断点,定义 设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数 f(x)有下列三种情形之一：(1)在x=x0没有定义；(2)虽在x=x0有定义，但 不存在；(3)虽在x=x0有定义，且 存在,但则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点.,间断点分类,2.3 导 数,本节内容2.3.1 导数的定义 2.3.2 导数的几何意义2.3.3 可导与连续的关系,在匀速直线运动中，路程和速度之间的关系十分简单。但是，在变速直线运动中，路程和速度之间的关系就 比较复杂了。因为是变速，不同时刻的瞬时速度一般 是不同的。如果已经知道物体运动的路程s和时间t之间的函数关 系sf(t)，如何求某一时刻t0的瞬时速度v(t0)。下面用“求增量、定比值、取极限”的“三步曲”分 析求解。,2.3.1 导数的定义,(1)求增量 t0t0t，物体在这个时间间隔t0，t0t 内所经过的路程为s，即 sf(t0t)f(t0)(2)定比值 求平均速度，即(3)取极限 这个时间间隔内的平均速度 与时刻t0的瞬时 速度v(t0)也非常接近。如果极限 存在，它就是时刻 t0的瞬时速度，即,定义1-16 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量x（x 0，x0 x点仍在该邻 域内）时，相应地函数f(x)取得增量 yf(x0 x)f(x0)如果当x 0时，的极限存在，则称函数f(x)在 点x0处可导，并称此极限为函数f(x)在点x0处的导数，记为，即,导 数,（1-12）,也可记做、或 等。如果极限（1-12）不存在，则称函数在点处不可导。导数的定义式（1-12）的其它不同的形式（1-13）和（1-14）式（1-13）中h的即自变量的增量x。增量x和y既可以是正值，可以是负值。,如果函数f(x)在开区间D内的每一点x处都可导，就称函数f(x)在开区间D内可导，其导数一般是x的函数，这个函数称为原来函数yf(x)的导函数，简称导数，记为，或。将式（1-12）和式（1-13）中的x0换成x，即得到导函数的定义式（1-15）或（1-16）,例1 根据导数定义求函数 在x2处 的导数。,(2)求,解：(1)求y,续解,(3)求,所以,把x=2带入 得,函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是：在点x0处左导数和右导数都存在且相等。,左导数：,右导数：,定义1-17 设平面直角坐标系 中一条曲线的方程为。点P是该曲线上的一个定点，点Q是该曲线上的一个动点。当点Q沿该曲线无限接近点P 时，如果割线PQ存在极限位 置PT，则称直线PT为曲线在 点P的切线，如右图所示。,曲线的切线,先计算割线PQ的斜率。动点Q沿曲线趋向定点P，等价于。因此切线的斜率为,2.3.2 导数的几何意义,由导数的几何意义知，曲线在点 处的切线方 程为,式(1-19)表明了导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数 等于曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率。,(1-20),解 据例1有 将它和点(2,1)的坐标代入方程（1-20）有 y11(x2)整理后得到要求的切线方程是 xy10,例2 求抛物线线 在点(2,1)处的切线方程。,定理1-6 如果函数yf(x)在点x0处可导，则函数yf(x)在点x0处连续。证明 由于故其中(x)当x 0时为无穷小。上式两边同乘以x，得,2.3.3 可导与连续的关系,定理1-6的逆定理不成立。即函数yf(x)在点x0处连续，但在点x0处不一定可导。下图所示的函数曲线在点x1、点x2和点x3处反映了该函数不 可导的几种情形。,根据无穷小的性质有，当x 0时，上式右边，因此，y 0。再根据函数连续性定义知，函数yf(x)在点x0连续。,2.4 求导方法,本节内容2.4.1 按定义求导数2.4.2 导数的四则运算法则2.4.3 复合函数的求导法则2.4.4 反函数的求导法则2.4.5 隐函数及指数函数的求导方法 2.4.6 基本初等函数的导数公式 2.4.7 求导例题,例1 求函数 f(x)sin x 的导数。,2.4.1 按定义求导数,解：,即对于任意xR，,用类似方法可以得到，对于任意xR，,例2 求函数f(x)logax(a0,a1)的导数。,解：,即对任意x0，,特别地，对任意x0，,定理1-7 设函数uu(x)和vv(x)在点x处都可导，则,（1-21）,（1-22）,（1-23）,注意：,导数的四则运算法则,例3 求函数f(x)cosxlnx的导数。,例4 求函数f(x)tanx的导数。,解：,解：,练习 1、求函数f(x)cot x的导数。,2、求函数f(x)sec x的导数。,解：,即,类似可得,定理1-8 设yf(u)，ug(x)，且ug(x)在点x处可 导，f(u)在相应的点u处可导。则复合函数yf g(x)在点x处可导，且（1-26）或写成（1-27）,2.4.3 复合函数的求导法则,显然，复合函数求导法则（1-26）或（1-27）可以推 广到多个函数复合的情形。例如，如果yf(u)，ug(v)，vh(x)，满足定理1-8的条件，则有 上式右端按y u v x的顺序求导，通常称为链式 法则。,例4 求函数 的导数。,解 本题是 和 复合而成，因此,实际应用复合函数求导法则时，不一定要明确写出中间变量，只需自己记清楚就可以了。对于本题，可以这样解答：,解：,练习,y=cos(1+x2)可看作y=cosu和u=1+x2复合而成,1、,2、,解：,y=(tanlnx)2可看作y=u2、u=tan v和v=lnx复合而成,比较常见的情况,反函数的求导法则,则它的反函数y=f(x)在对应的区间内可导，且有,或,证 因为 互为反函数，所以有,上式两边对x求导得：,或,或,所以,解：,y=arcsinx 是 x=siny 的反函数,因此在对应的区间（-1，1）内有,例5 求函数y=arcsinx 的导数,即,同理,凡是因变量y用自变量x的表达式表示的函数yf(x)称 为显函数。前面介绍的求导方法适用于显函数。但有时两个变量之间的函数关系由一个方程F(x,y)0 确定，这种由方程所确定的函数称为隐函数。有些隐函数可以变换为显函数，但也有不能变换为显函数的。,2.4.5 隐函数及指数函数的求导方法,（，是一个常数）,开普勒方程：,1、隐函数求导方法,例6 求由方程xyyx80所确定的函数的导数。,解:方法1 变换为显函数，因此,方法2 原方程两边分别对x求导（注意：y是x的函数），,因此,得,解：,练习,求下列方程确定的隐函数的导数,1、,方程两边分别对x求导,解：,方程两边分别对x求导,2、,2、指数函数的求导方法,解题步骤,1、函数两边取对数,2、两边同时对x求导,得,所以,例7,1、函数两边取对数,2、两边同时对x求导,解：,解得,2.4.6 基本初等函数的导数公式（P54）,(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10),(11),(12),(13),(14),例8 求下列函数的导数（其中只有 x、t是自变量）,2.4.7 求导例题,（1）,解:,这一类函数的特点是：分母只是x的幂函数。对这类函数用负指数最简便，如果用函数相除的求导公式（1-23）也可以解，但比较麻烦。,（2）解：对括号的若干次方这一类函数求导用复合函数求导法则最 简便，一般不要把括号展开。,（3）,解:,（4）,解:,一般地，函数yf(x)的导数 仍然是x的函数，的导数称为函数yf(x)的二阶导数，记做 或，即,或,2.5 高阶导数,相应地，函数yf(x)的导数 称为函数yf(x)的一阶 导数。类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，三阶导数的导 数称为四阶导数，（n-1）阶导数的导数称为n阶导数。,例9 求函数 的四阶导数。,解：,2.6 微分及其应用,本节内容2.6.1 微分的定义 2.6.2 基本初等函数的微分公式与微分运算法则,定义1-18 设函数yf(x)在某区间内有定义，x0及 x0 x在该区间内。如果函数的增量y可表示为 yAx(x)（1-28）(其中A是不依赖于x的常数，而(x)是x的高阶无穷小)则称函数yf(x)在点x0是可微的，而Ax称为函数在 点x0相应于自变量增量x的微分，记作dy，即 dyAx（1-29）,2.6.1 微分的定义,定理1-9 函数y=f(x)在点x0可微的充分必要条件是该 函数在点x0可导。此时，即有定理1-9说明：函数可微和可导是等价的。,通常把自变量x的增量称为自变量的微分，记作dx，即dxx。于是函数yf(x)的微分又可记作从而有,此前，是作为导数的整体符号介绍的。有了微分 的概念后，可以把它看成两个微分（dy和dx）的商。因此，导数又称为微商。,2.6.1 基本初等函数的微分公式与微分运算法则,1、基本初等函数的微分公式,(1)dc0(2)dxx-1 dx(3)daxax lna dx(4)dexex dx,2、微分运算法则设函数uu(x)、vv(x)可微，则(1)d(uv)dudv(2)d(uv)vduudv(3)d(cv)cdu(4),3、复合函数的微分法则,的微分为,利用微分形式不变性，可以计算复合函数和隐函数的微分。,这就是一阶微分形式不变性。,可见，若y=f(u)可微，不论u是自变量还是中间变量，,总有,而,解：,例10,因为,所以,解：对方程两边求导，得,即导数为,微分为,由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个不同的概念，但却紧密相关，求出了导数便立即可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通常把函数的导数与微分的运算统称为微分法 在高等数学中，把研究导数和微分的有关内容称为微分学,Thank You!,