最新版圆锥曲线专题17之4 三角形相关性质.docx

专题4万剑自生三角形相关性质万条杨柳拂青天，剑刃潇洒错下船.自言曲线与三角，生世纵横却惊仙.三角之美，曲线之艳，相互融合，相互成就.一曲三角总结入魂，万种方法细致入微.在焦点三角形中行走，在等腰三角形中遨游，在直角三角形中飞翔.在圆锥曲线的世界，以正余弦定理为武器，以基础知识点为盾牌，体验圆锥曲线中的三角之美.第一耕与等腰三角形有关的解题技巧在圆锥曲线当中，因为圆锥曲线的特殊对称性往往会形成很多等腰三角形.例如，关于原点对称，关于焦点对称，都可以形成等腰三角形,这些等腰三角形中的等量关系往往可以成为命题人的一个重要命题方向.我们需要通过这些等量关系来构造方程，从而得到解决题目的目的.有的时候会比较隐蔽，那么我们就需要对圆锥曲线的一些基本性质进行一个熟练的掌握.接下来的这一节当中，我们会通过一些例题来进行一个详细的讲解.【例1】（河南月考）已知点A为椭圆E:£+E=l（a>b>0）上的动点，过点A作直线x+2y=O及直线abx2y=0的平行线，且与这两条直线分别交于点B、C,若IBCI2+2A臼?IAClCOSA为定值，则椭圆E的离心率为（）A.-B.-C.-D.424222【例2】椭圆40）的一个焦点为尸，该椭圆上有一点A,满足D9A尸是等边三角一形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（）A.3-1B.2-3C.J2-1D.2-2【例3】（常德期末）已知人，鸟为双曲线的焦点，过K作垂直于实轴的直线交双曲线于4，8两点，BFi交虚轴于点C,若IAC+%=AC-防则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2y2D.23【例4】（舟山期末）已知椭圆+/=l（>6>0）的左、右焦点分别为耳，尸2,点P是椭圆上一点，直线6M垂直于OP且交线段4P于点M,FxM=2MP,则该椭圆的离心率的取值范围是（）A.（0,；）B.（0,亭c.（0,当）D.（1,1）【例5】（沙坪坝月考）已知8,C是椭圆5+方=1上的两个动点，A（,0）,则以A为直角顶点的等腰直角EMAC的个数为（）A. 2B. 4C. 6D.多于6个【例6】（道里三模）己知4、K分别是双曲线C:=-2=l（>O,匕>0）的左右焦点，P为y轴上一点，Qab为左支上一点,若（Op+。6）?P瑞0,且4PKQ周长最小值为实轴长的3倍,则双曲线C的离心率为（）A.2B.3C.2D.22【例7】（成都期末）设椭圆C:二+与=I（OV力7）的左，右焦点分别为耳，居，经过点K的直线与椭圆C49b相交于M,N两点若Mg=K6,且7/K=4MN,则椭圆C的短轴长为（）A.5B.26C.10D.46【例8】（福建模拟）在直角坐标系XOy中，双曲线c：-5=l(>0,b>0)的右顶点为A,直线aby=2与C相交于尸，Q两点，。位于第一象限，若。Q平分NAOP,则C的离心率为（）【例9】（雅安期末）设不居分别是椭圆石：4+工=1（心6>0）的左，右焦点，过点的直线交椭圆石ab于A,8两点，若的面积是K的三倍，cos?AF2B则椭圆上的离心率为（）a12r3n2A.B.C.D.2322= l（>O,b>O）的左、右焦点分别为6，F2, O为坐标原点.P为例io（宁德模拟）双曲线Uw工ab曲线C右支上的点，点“在£）耳空外角平分线上，且"M?PM0.若A0鸟"恰为顶角为120。的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（）A.23B.C.2D.33【例II】（全国模拟）倾斜角为45。的直线与双曲线W=I交于不同的两点P,Qf且点尸、。在X轴4b上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（）A.23+2B.25+2C.3+lD.5÷1【例12】（鹿城区月考）如图，P（0,O）为X正半轴上一点.第一象限内两点A,B（XAV/）在抛物线y=4x上，满足？APBL记些=%.3IPAI（1）若XA=3,k=2,求的值：（2）若存在ZVVW,使得2=1,求的取值范围.22【例13（淇滨区月考）已知双曲线C:L=I（。>0酒>0）的左，右焦点分别为小F2,过尸2的直线与双曲线C的右支交于M,N两点.若IKMl=IKEI,26M+N=0,双曲线。的渐近线方程为（）143A.y=?2xB.y=?-XC.y=?-xD.y=?-x234“222【例14已知椭圆¢:=+与=l（>8>0）与双曲线。,：鼻-与=1（m>0,>0）有相同的焦点小工，其a-bmn中耳为左焦点.点夕为两曲线在第一象限的交点，6、e分别为曲线C、。2的离心率，若鸟是以P4为底边的等腰三角形，则44的取值范围为.第二饼直角三角形相关问题直角三角形是平面几何的重要内容,那么在直角三角形当中，勾股定理，斜边的中线等于斜边的一半,以及因为有一个直角的存在，很容易与一些特殊值的三角函数联系起来.这些性质在解析几何当中会为我们解题带来很好的帮助.我们接下来会通过这些高考题和高考模拟题来把这些性质加以一个充分的，淋漓尽致的阐述.22【例1】（梅河口模拟）直线人-回，+G=O经过椭圆=+与=l（a>b>O）的左焦点尸，交椭圆于A,8两ab点，交），轴于C点，若Q=2C4,则该椭圆的离心率是（）A.3-1B.C.22-2D.2-12【例2】（景德镇月考）已知点A是抛物线丁=61上位于第一象限的点，户是其焦点，AF的倾斜角为60。，以尸为圆心，A/为半径的圆交该抛物线准线于8,C两点，则AABC的面积为（）【例3】（湖北模拟）已知双曲线C：1-V=,小鸟分别为双曲线左右焦点，P（Xt）,y0）,为双曲线。上A. 18B. 3615C. 723D. 18一点，且位于第一象限，若AP尸建2为锐角三角形，则比的取值范围为（）A.吟,+?）B.（竽,+?）CS；）D.g,哈【例4】（眉山模拟）点尸为抛物线C:/=2PX（P>0）的焦点，过厂的直线交抛物线。于A,B两点（点、A在第一象限），过A、8分别作抛物线。的准线的垂线段，垂足分别为M、N,若尸=4,IMl=3,则直线AB的斜率为（）22【例5】（西青区期末）双曲线二-与二l（a>0,力>0）的左、右焦点分别为小F2,渐近线分别为,ab点P在第一象限内且在4上，若4"P鸟且，2人尸白，则双曲线的离心率为（）A.5B.2C.3D.2【例6】（新疆模拟）过双曲线b>0）右焦点F的直线/与C交于尸，。两点，QP=2PF,a2Ir若OP?FQ0,则。的离心率为（）A.2B.2C.7D.I0【例7】（吴忠模拟）已知直线/:ky-A=O（R?R）与抛物线Uy2=2PX（P>g）相交于A,B两点,O为坐标原点，则AOe为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定22【例8】（柯城区一模）已知耳，尸2是双曲线=l（>O,6>0）的左、右焦点，若点尸2关于双曲线渐近线的对称点A满足？石AO?AOK（O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A.y=?2xB.y=?不XC.y=?3XD.j=?x【例9】（齐齐哈尔一模）已知点40,3）,抛物线。：产=23（>0）的焦点为尸，射线网与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N若IEMlMNI=I:2,则P的值等于（）A.1B.2C.3D.422【例10（安阳二模）已知双曲线C:；与=l（>O,b>0）的左、右焦点分别为6，居，其右支上存在ab一点M,使得MK?M乃0,直线/:灰+y=O.若直线/,则双曲线C的离心率为（）A.2B.2C.5D.522【例11（湖北模拟）设点耳，鸟分别为双曲线C：二-1=1（a>0,>0）的左、右焦点，点A,区分别在6b双曲线C的左、右支上，FiB=6FiA,AF22=AB?AF2,且则双曲线C的离心率为（）a*r13屈n65A.B.C.D.7555【例12（湖北期末）已知抛物线Ux2=2py的焦点为尸，定点MQ6，0）,若直线汽M与抛物线C相交于A,8两点（点8在尸，M中间），且与抛物线C的准线交于点N,若IBNI=7811,则AF的长为（）D.3【例131（广东期末）已知双曲线UW-E=I的右焦点为了，过点尸向双曲线的一条渐近线引垂线，垂a-b-足为交另一条渐近线于N,若2MF=FN,则双曲线的离心率（）A23r14rJ5D2AD.Cz.yJZUZ33第三稀椭圆与双曲线共焦点三角形椭圆和双曲线共焦点模型自从2014湖北高考出现选择压轴题以来，一直被命题者所青睐，经常作为圆锥曲线选填压轴题来出现.主要分为张角固定模型和与焦半径有关的模型.考点一、张角固定模型【例1】（龙凤区模拟）椭圆与双曲线共焦点K，尸2,它们的交点P对两公共焦点尸I，尸2的张角为？”用¾，椭圆与双曲线的离心率分别为弓，% 4 cos% sin2g ,a. +-= < %C. M+4=1 cosq SirTq则（）B sin% I cos，_ . <4D. -+- = lSIIr 9 COS-4【例2】（沙市区期末）椭圆与双曲线共焦点耳，F2,它们的交点为尸，且？EPBg若椭圆的离心率为B,则双曲线的离心率为（）2A.B.C.3D.264【例3（武昌区期中）如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲线”现有一对“共焦曲线''的焦点为耳，F2,M是它们的一个公共点，且？耳次60?,设它们的离心率分别为6，4,则心？6濡（）A.IB.C.2D.24【例4】（红河州一模）已知耳，K是椭圆和双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，且？KPKg记椭圆和双曲线的离心率分别为，右，则一的最大值为（）2罕2A3r3r23n1A.BCD1233【例5】（保定期末）已知中心在原点，焦点在X轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为耳，F2,且两条曲线在第象限的交点为尸，PK乙是以历为底边的等腰三角形，若IPKI=8,椭圆与双曲线的离心率分别为弓，%则的取值范围是（）A.（1,+?）B.（1,+?）C.（1,+?）D.（|,+?）【例6】（镇海区期中）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，F2,设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且？6g若椭圆和双曲线的离心率分别为，%则e；+4的最小值为（）A.2+GB.4+23C.2+3D.l+32【例7】（太原二模）已知点6,马分别是椭圆G和双曲线G的公共焦点，%,%分别是G和C2的离心率，点?为和G的一个公共点，且？KPB»若6i（2,"），则q的取值范围是（）A.亭当B净净C,冷与D.哼*考点二、与焦半径有关的共焦点模型这一类共焦点模型没有上一类那么固定，但基本上也是通过题目给出的已知条件找到q和/之间的等量关系，然后再用不等式来求解.【例8】（山东模拟）已知椭圆C±+2=l（>b>0）与双曲线G：=-二二1>0）有共同的左、bmn右焦点尸1、F2,且在第一象限的交点为P,满足2OR?。尸（其中O为坐标原点），设G，的离心率分别为q，%当4e+g取得最小值时，q的值为（）A.迈B.正C.在D.立3342【例9】（崂山区期中）已知4，尸2是椭圆与双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，且P"4P6,线段PFi的垂直平分线经过点K,若椭圆的离心率为q,双曲线的离心率为02，则幺-的最小值为（）26A.2B.-2C.6D.-6【例I。】（沙坪坝期中）已知椭圆。|：二+工=13。0）与双曲线。,：工-二=1（川0,0）有相同的焦abtnn点K，鸟，若点。是G与G在第一象限内的交点，且166l=4p5,设G与G的离心率分别为6与6，则GG的取值范围是（）A.g,+?)B.(1,2)C.l,+?)2D.(-,2)【例11（福州期中）己知椭圆二+炉=1与双曲线二-，=i有公共焦点不16m5.玛，且两条曲线在第一象限的交点为2点，则4PK鸟的面积为（）A.B.C.4522D.85第四曲相似三角形在几何中的应用很多同学谈到圆锥曲线就满脸愁容，很多时候在于解题思路不明确或者是解题方法不合理；解析几何计算是必不可少的，但是在某些时候不一定非要硬算，有一类题目可以通过构造相似三角形可以巧妙地减小一类解析几何问题的运算量提高解题效率，阿波罗尼斯圆本质上也是相似三角形，所以也可以用相似三角形来分析，接下来通过一些具体例子来说明这个问题，希望能够给大家带来帮助.22【例1】（东阳市月考）已知O为坐标原点，A,B分别是双曲线UL-二二1的左、右顶点，M是双曲线169C上不同于A,8的动点，直线AM,分别与y轴交于点P,Q,则IO口?IoQl（）A.16B.9C.4D.322【例2】（辽宁二模）在直角坐标系Xay中，尸是椭圆uA+=l（%0）的左焦点，A,B分别为左、a'b右顶点，过点F作X轴的垂线交椭圆C于尸，Q两点，连接PB交），轴于点E,连接AE交尸。于点若M是线段小的中点，则椭圆C的离心率为（）A拒Rl1n1A.B.-C.-D.一223422【例3】（河南月考）已知£,K分别为椭圆。:£+£=1（。人0）的左、右焦点，尸是C上一点，满足PF2F1F2,Q是线段防上一点，且KQ=2QP,FiPF2Q0,则。的离心率为（）A.0B.2-1C.2-2D.6-Jl2【例4】已知七,尸2分别是椭圆C/+/=I的左、右焦点，过耳的直线4与过K的直线4交于点M线段EN的中点为M,线段KN的垂直平分线MP与4的交点P（第一象限）在椭圆上，且MP交X轴于点G,则耨的取值范围为（）D. （O， 2+1）A.（0,2近+1）B.（0,屹T）C.（0,2+l27【例5】（重庆高考2015改编）设双曲线二马二1（。>0,b>0）的右焦点为尸，左顶点为A,过户作AFarb的垂线与双曲线交于5,C两点,过8,C分别作AC，43的垂线，两垂线交于点。.若。到直线8C的距离小于+777，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是【例6】（武汉外校月考）已知圆Ca-I）2+（y-1）2=1,定点0（0,0）,BQ,0）其中P为圆C上的动点，则-JlPO+PB的最小值为.【例7】已知椭圆工+片=1的右焦点为F,上顶点为A,点P在圆V+y2=8上，点Q在椭圆上，则622PA+PQ-QF的最小值是.【例8】如图所示，过抛物线Uy2=2px（p>0）的焦点尸作直线交C于A、B两点,过A、分别向C的准线/作垂线，垂足为A¢,B¢,已知四边形AAnF与88讨产的面积分别为15和7,则乙A必/的面积为22【例9】（浙江高三开学考）已知尸1、尸2，是双曲线：=l（a>0,b>0）的左、右焦点，A,Ba2b2分别在双曲线的左右两支上'且满足AB=码Aa为常数）,点C在X轴上'CB=3i'果第二鬻则双曲线的离心率为.第五褂余弦定理在解析几何中的运用余弦定理%ccsA是解三角形当中的一个重要工具，可以十分有效的把边与角之间利用起来，圆锥曲线很多以这个为背景来命题.用得好会为我们带来很多便利.22【例I】（雅安期末）设6，居分别是椭圆E:+=l（a>6>0）的左，右焦点，过点K的直线交椭圆E于abA,B两点,若玛的面积是8耳6的三倍，cos?AF2B|,则椭圆E的离心率为（）A，JB.2CTD.在322【例2】（成都期末）设椭圆C:+4=l（0<<7）的左，右焦点分别为石，£,经过点片的直线与椭圆C49b相交于M,N两点若IM用|=|丹巴|,且7/K=4MN,则椭圆C的短轴长为（）A.5B.26C.10D.46【例3】（怀化模拟）已知抛物线C:V=4x的焦点为尸，其准线/与X轴相交于点M,过点M作斜率为2的直线与抛物线C相交于A,B两点,若？AFB60?,则A=（）AWB.土立C.±立D±立422【例4】己知6、居为椭圆二十二=l(>8>0)的左右焦点，ABC为该椭圆内接三角形，F1,居分别在ab边AB,AC上，且36人AC,悭|=3，则该椭圆的离心率e=ICKl2【例5】(黄冈)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，已知A，8为抛物线上的两个动点，且满足IMNl2AFB60?,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则牌的最大值为.B第九神双曲线渐近线与离心率的问题双曲线的渐近线是双曲线独有的特征，因为渐近线本来就具备对称性，所以很容易和四边形一起组合出题，特别的焦点到渐近线的距离等于b这一结论经常使用，除此之外，很多平面几何知识三角函数知识都穿插其中，若使用得当，可以带来极大方便.22【例1】(广东一模)已知双曲线c：-4=l(>0,8>0)的左右焦点分别为不居，A为双曲线的左顶ab点，以片鸟为直径的圆交双曲线的一条渐近线于2，Q两点，且？PAQ，则该双曲线的离心率为()6A.&B.3C.D.13322【例2】已知片，居分别是双曲线2=1(a>0,8>0)的左、右焦点，点P在双曲线右支上且不与顶点a"b重合，过K作BKPK的角平分线的垂线，垂足为A.若IKAI=J拓，则该双曲线离心率的取值范围为()A.(1,2)B.(2,1)C.Ui,小)D.(|,3)【例3】(香坊区二模)已知双曲线W-=l(>O">O),过右焦点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足a"h为点P,以尸为圆心，即为半径作圆，该圆与双曲线交于M,N两点，且M,N,产三点共线，则双曲线的离心率为()A.B.梃C.2D.5【例4】(贵州模拟)设双曲线C:二-1=l(>0,8>0)的右焦点为产，。的一条渐近线为/,以F为圆心a2b2的圆与/相交于M,N两点，MFANF,。为坐标原点，OM=ION(2Ul5),则双曲线C的离心率的取值范围是()A.将向B.序用C.半,用D.限第9/?？ 64则该双曲线的离心率为()A. 士B.也33c IDY【例5】设双曲线今兴叱。">。)的右焦点为F,过点F作与，轴垂直的直线/交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为尸，设O为坐标原点，若OP=IoA+QBa,/n?R),【例6】（海淀区期末）设点尸为双曲线a2 b2=>o, b>O）右支上的动点，过点尸向两条渐近线作垂线,垂足分别为A,若点AA始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e的取值范围是（）A.（1,手B.（1,近、C.竿，+?）D.2,+?）【例7】（黄州区模拟）已知双曲线C:±-丁;的右焦点为人渐近线为人/?,过点尸的直线/与&8的交点分别为A,B,若AB八I2,贝JIA8=（）例8（马鞍山二模）己知双曲线E:5-*=1的离心率为冬过E的左焦点尸（-5,0）作直线/,直A.16TD.135线/与双曲线E分别交于点A,B,与E的两渐近线分别交于点C,。，若EA=AC,则|8。I=整套系列资料分17讲见：最新版圆锥曲线专题17之1基础知识最新版圆锥曲线专题17之2焦长焦比体系最新版圆锥曲线专题17之3轨迹方程求法最新版圆锥曲线专题17之4三角形相关性质最新版圆锥曲线专题17之5四边形相关性质最新版圆锥曲线专题17之6圆锥曲线与圆综合最新版圆锥曲线专题17之7抛物线的综合问题最新版圆锥曲线专题17之8齐次化问题最新版圆锥曲线专题17之9曲线系方程最新版圆锥曲线专题17之10切线与切点弦的应用最新版圆锥曲线专题17之11极点极线与定点定值最新版圆锥曲线专题17之12阿基米德三角形最新版圆锥曲线专题17之13定比点差体系最新版圆锥曲线专题17之14不联立体系第一讲一单动点问题最新版圆锥曲线专题17之15不联立体系第二讲一双动点问题最新版圆锥曲线专题17之16不联立体系第三讲一三点共线问题最新版圆锥曲线专题17之17不联立体系第四讲一设点与比例问题