《高等数学教案》PPT课件.ppt

1,函数的幂级数展开,三个问题：,什么是函数的Taylor展开式？,泰勒展开式是否就收敛于某指 定的函数？,如何展开？（重点）,2,多项式是具有良好分析性质的简单函数，那么能否把一个较复杂的函数表达成一个多项式来讨论？,一般来说，这不容易办到但是能否用幂级数呢？在某些条件下这是可能的，也是在实际应用中非常重要的方法,一、泰勒级数,3,Maclaurin,叫做泰勒系数,只要作一个简单的变量替换就可把泰勒级数化为麦克劳林级数以下我们就只讨论后者,4,函数的泰勒级数与其n阶泰勒多项式的差叫n阶泰勒余项,可用以表示误差，是进行近似计算的基础,上述的余项形式并不便于应用，常见的余项形式有,，叫Lagrange型余项,叫Peano型余项,前者用于定量的讨论，后者用于定性讨论,介于0与x之间,5,二、函数的泰勒级数是否收敛于原来的函数？,对一个函数，只要其任意阶导数存在，就可以写出它的泰勒级数，那么这个幂级数收敛于原来的函数吗？,答案是：不一定,这就是说，写出的泰勒级数也不能用只有在收敛的部分（收敛到已知函数）才有意义,那么在什么样的条件下，一个函数能用其泰勒级数表示呢？,我们有下面的收敛定理：,6,即,此时，在x点泰勒级数收敛于,三、如何把一个函数展开为其泰勒级数,把一个函数展开为幂级数（麦克劳林级数）有二法：直接法和间接法,直接方法：,）求各阶导数,）写出泰勒级数；,）求出泰勒级数的收敛区间；,）在收敛区间内，余项是否趋于？,7,解,故已知函数的泰勒级数为,此级数的收敛区间是,而泰勒余项的绝对值,注意补充必要的步骤,8,例2,解,在讨论余项,时，可简化为讨论是否存在M,使,9,例3,解,牛顿二项式的推广,10,例子中我们略去了讨论余项的步骤！,注意:,你能利用牛顿的二项式展开式写出,的泰勒展开式吗？,此级数称为二项式级数,11,2.间接法,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.,这是经常用的方法，但前提是必须记住一些常见的函数的幂级数！,例,12,例,例,13,熟练地将函数展开成幂级数是基本要求之一，千万要注意指出收敛区间！否则就是不完整的解答,如果是较复杂的函数，需要将其分解为熟悉的情况,两式相加，得,14,The end of Sec6.3,