《非线性拟合》PPT课件.ppt
在生产和科学实验中，自变量x与因变量y之间的函数关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值.当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数在该点的数值.这就要根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=(x)，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数(x)，办法是很多的.根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法：测量值是准确的，没有误差，一般用插值.测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合.,第六讲 曲线拟合,一.曲线拟合,已知离散点上的数据集 求得一解析函数y=f(x)，使f(x)在原离散点xi上尽可能接近给定yi的值，这一过程叫曲线拟合.最常用的曲线拟合是最小二乘法曲线拟合，拟合结果可使误差的平方和最小，即找出使下式最小的f(x):,通常，在解决实际问题时先将已知数据的散点图画出，然后设计拟合的曲线类型，最后根据某种准则选定最佳的曲线.,1.多项式拟合,多项式拟合就是选择适当的多项式对数据集进行拟合，其命令为：格式：p=polyfit(X,Y,n).,说明：求出已知数据(X,Y)的n阶拟合多项式f(x)按降幂排列的系数p，X必须是单调的.,例1.对以下数据作出散点图，然后用多项式拟合：(0.5,1.75),(1,2.75),(1.5,3.81),(2,4.8),(2.5,7),(3,8.6),解：x=0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0;y=1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60;plot(x,y),发现：这些点大致地位于某条直线附近，故可考虑线性拟合：,p=polyfit(x,y,1),ans:p=2.7937-0.1540,即拟合函数为：,(图6.1),上述函数的拟合效果如何？我们可以通过计算误差平方和的大小进行考察（两种方法）：,(1)sum(2.7937*x-0.154-y).2)=0.9136,如果用二次函数进行拟合，则有：p=polyfit(x,y,2),p=0.5614 0.8287 1.1560,即拟合函数为：,此时误差平方和为：,sum(polyval(p,x)-y).2)=0.1781,根据误差平方和最小原则：二次函数优于线性函数,(2)sum(polyval(p,x)-y).2)=0.9136,是否有误差等于零的多项式？有，那就是该数据点的插值多项式（五次多项式）,通常，给出两点的坐标，我们可以得到一条直线；若给出三点的坐标，我们可以得到一条抛物线；，给出n个点的坐标，我们可以得到一个n-1阶的多项式.是否多项式的阶数越高越好呢？非也！在解决实际问题时，只要达到所需的精度，应尽量选择简单的函数.,p=-1.6000 13.7400-44.0733 65.6650-42.6317 11.3500,此时多项式在x处的函数值为：polyval(p,x)ans=1.7500 2.4500 3.8100 4.8000 7.0000 8.6000,例2.某种合金中的主要成分为A,B两种金属，经过试验发现：这两种金属成分之和x与合金的膨胀系数y有如下关系，建立描述这种关系的数学表达式.,解：首先作出散点图:x=37:0.5:43;y=3.4,3,3,2.27,2.1,1.83,1.53,1.7,1.8,1.9,2.35,2.54,2.9;plot(x,y,*),发现：有点像抛物线，故选二次函数拟合.,p=polyfit(x,y,2),p=0.1660-13.3866 271.6231,即为所求拟合曲线,误差平方和：R=sum(polyval(p,x)-y).2)=0.2523,(图6.2),设有实验数据,寻找函数使得函数在点 处的函数值与观测数据偏差的平方和达到最小.即求满足如下条件的函数 使得 最小,解决此类问题有以下几个步骤：（1）首先作出散点图，确定函数的类别；（2）根据已知数据确定待定参数的初始值，利用Matlab软件计算最佳参数；（3）根据可决系数，比较拟合效果。,2.非线性拟合,其中,R2越趋近于1表明拟合效果越好.,如果是多项式函数，则称为多项式回归，此时的参数即多项式的系数；如果为指数函数、对数函数、幂函数或三角函数等，则称为非线性拟合.下面的图形给出了常见曲线与方程的对应关系：,在Matlab中实现可决系数的命令：,R2=1-sum(y-y1).2)/sum(y-mean(y).2),可决系数的计算公式为,幂函数,指数函数,双曲线函数,对数函数,指数函数,S形曲线,具有S形曲线的常见方程有：,罗杰斯蒂（logistic）模型：,龚帕兹（Gomperty）模型：,理查德（Richards）模型：,威布尔(Weibull)模型：,为了实现非线性拟合，首先要定义函数,1.inline 定义的函数：用于曲线拟合、数值计算,步骤：(1)建立M文件；(2)fun=inline(f(x),参变量，x),例1.建立函数：a,b,c为待定的参数,fun=inline(b(1)*(1-b(2)*exp(-b(3)*x),b,x);,此处，将b看成参变量，b(1),b(2),b(3)为其分量.,若计算函数在x=0:0.1:1上的函数值，由于此时x为矩阵，只需将函数表达式中的某些量表示成向量有些*改成.*即可.,在实际问题中，有时散点图作出后未必是多项式的图形，可能像其他的曲线，这时可以猜测曲线类型，然后利用如下命令：,beta,r,J=nlinfit(x,y,fun,beta0),其中，x,y为原始数据，fun是在M文件中定义的函数，beta0是函数中参数的初始值；beta为参数的最优值，r是各点处的拟合残差，J为雅克比矩阵的数值.,例2.已知如下数据，求拟合曲线,k=0,47,93,140,186,279,372,465,558,651;,y=18.98,27.35,34.86,38.52,38.44,37.73,38.43,43.87,42.77,46.22;,plot(k,y,*),根据右图，我们猜测曲线为：,现在利用最小二乘法确定最佳参数：b1,b2,b3,b0=43,0.6,0.1;%初始参数值fun=inline(b(1)*(1-b(2)*exp(-b(3)*k),b,k);b,r,j=nlinfit(k,y,fun,b0);b%最佳参数R=sum(r.2)%误差平方和,b=42.6643，0.5483，0.0099,即拟合曲线为：,(图6.3),拟合结果如右图所示，红色为拟合曲线图形，*为原始散点图.,y1=42.6643*(1-0.5483*exp(-0.0099*k);plot(k,y,*,k,y1,-or),作图程序为：,(图6.4),练习：计算可决系数,例3.炼钢厂出钢时所用盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，容积不断增大，我们希望找出使用次数与增大容积之间的函数关系.实验数据如下：表4.2 钢包使用次数与增大容积,分别选择函数,拟合钢包容积与使用次数的关系,在同一坐标系内作出函数图形.,x1=2:16;y1=6.42,8.2,9.58,9.5,9.7,10,9.93,9.99,10.49,10.59,10.6,10.8,10.6,10.9,10.76;b01=0.1435,0.084;%初始参数值fun1=inline(x./(b(1)+b(2)*x),b,x);%定义函数b1,r1,j1=nlinfit(x1,y1,fun1,b01);y=x1./(0.1152+0.0845*x1);%根据b1写出具体函数 plot(x1,y1,*,x1,y,-or);,下面给出分式函数拟合程序：,初始参数b0的计算，由于确定两个参数值，因此我们选择已知数据中的两点（2,6.42）和（16,10.76）代入方程，得到方程组：,可决系数计算：,上述方程组有两种解法：手工，Matlab,下面介绍Matlab 解方程组的方法,x,y=solve(6.42*(2*a+b)=2,10.76*(16*a+b)=16),取点：(2,6.42),(8,9.93),(10,10.49)代入上述方程,a,b,c=solve(log(b)+c*2=log(6.42/a-1),log(b)+c*10=log(10.49/a-1),log(b)+c*8=log(9.93/a-1),注意：如果出现复数解，则只取实部,
