《集合和函数》PPT课件.ppt

集 合,小结 思考题 作业,函 数,第一章 函数,第一节 集合与函数,(set),(function),一、集合,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,规定,空集为任何集合的子集.,不含任何元素的集合称为,空集.,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,3.邻域:,6,称为a的,称为a的,4.逻辑符号,在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号,“”,表示“任取”,或“任意给定”.,“”,表示“存在”,“至少存在一个”,“能够找到”.,如实数的阿基米德(Archmed)公理是这样叙述的:,任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个,自然数n,用逻辑符号,将阿基米德公理改写:,Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写,Exist(存在)的 字头E的倒写,练习,8,1.常量(constant quantity)与变量(variable),二、函数(function),而是相对“过程”而言的.,常量;,变量.,在某过程中数值保持不变的量称为,而在过程中数值变化的量称为,一个量是常量还是变量,不是绝对的,常量与变量的表示方法:,通常用字母 a,b,c等表示常量,用字母 x,y,t,等表示变量.,9,定义,设有两个变量x和y,自变量,因变量,定义域(domain),记作,变量y的取值的集合称为函数的值域(range),即,变量x的变化域为D,如果对于D中的每一个x值,按照一定的法则,变,量y总有唯一的数值与之对应,则称变量y为变量,x的函数(function),2.函数概念,10,(1),函数的记号:,除常用的f 外,可任意选取,如,相应地,函数可记作:,等,等,也可记作:,在同一个问题中,讨论到几个不同的函数时,则必须用不同的记号分别表示这些函数,以示区别.,11,(2),对应的函数值y总是唯一的,否则称为,如,是多值函数,它的两个单值支是:,单值函数,多值函数.,约定:,今后无特别说明时,函数是指单值函数.,这种函数称为,(3),构成函数的,是两个不同的函数.,(因为定义域不同).,如,定义域Df与对应法则 f.,两个要素:,约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,即,简称函数表示法的,(4),无关特性.,函数的表示法只与定义域和对应法则有关,而与用什么字母无关,13,例,求下列函数的定义域:,解,定义域是,定义域是,14,例,某商店对一种商品的售价规定如下:购买量,有些函数,分段函数.,称为,函数关系也不同,除了可用一个数学式子表示函数外,随着自变量取不同的值,这种函数,不超过5千克时,每千克0.8元;购买量大于5千克而不,超过10千克时,若购买 x 千克的费用记为 f(x),则,购买量大于10千克时,超过10千克部分每千克0.4,元,元;,在自然科学、工程技术和经济学中,经常会遇到分段函数的情形.,其中超过5千克部分优惠价每千克0.6,15,用分段函数表示函数,分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案:,即,而不是几个函数!,3.,练习,并画出,其图形.,几个今后常引用的函数,绝对值函数,（1）,定义域,值域,符号函数,定义域,值域,对,（2）,有,或,(3)取整函数 y=xx表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,定义域,值域,(4)狄利克雷函数,定义域,值域,(5)取最值函数,例,解,故,1.有界性(bounded),设函数y=f(x)在区间I上有定义,则说 f(x)在区间I上有上 界.,(下),使得对所有,若存在,常数A,都有,(B),三、函数的特性,若存在常数,使得对所有,则称 f(x)在I上有界.,在 I上无界;,都有,若这样的M 不存在,则称 f(x),即为对于任何,总存在,使,则称 f(x),在 I上无界.,有界,无界,在定义域上有界的函数叫做,例,是有界函数;,是无界函数,但它在区间 上,在区间 上,一定要把区间明确出来!,不是有界函数,就是无界函数.,显然,(bounded function),有界函数.,有界等同于既有上界又有下界.,有下界,有界.,2函数的单调性:,应指明单调区间,否则会产生错误.,3函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,练习,判别给定函数的奇偶性,解题提示,奇函数的,有效方法.,判别下列函数的奇偶性:,奇函数,偶函数,有时也用其运算性质.,主要是根据,奇偶性的定义,4函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,例,狄利克雷(Dirichlet)函数,(当x是有理函数时),(当x是无理函数时),这是一个周期函数,任何正有理数r都是它,的周期.,因为不存在最小的正有理数,所以没有,最小正周期.,1.函数的四则运算,设函数,的定义域分别为,则可定义这两个函数的下列运算:,和(差),积,商,且,四、函数运算,33,设函数 y=f(x)的值域为W,则称变量x为变量y的函数,记为,定义,2.反函数(inverse function),如果对于W,中任一 y值,从关系式 y=f(x)中可确定唯一的一个,称为函数y=f(x)的反函数,习惯上 y=f(x)的,反函数记为,x值,34,求反函数的步骤,求函数的反函数 y=f-1(x).,(1)把x从方程 y=f(x)中解出;,(2)把刚才所得的表达式中的x与y对换,即得所,注意,(1)y=f(x)的图形与其反函数 x=f-1(y)的图形,y=f(x)的图形与其反函数 y=f-1(x)的图形关,直线,对称.,(2)只有一一对应的函数才有反函数.,重合;,于,y,x,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,如,其反函数为,指数函数,定义域为,值域为,写成,并不是所有函数都存在反函数.,如,函数,定义域为,值域为,但对,都有两个,和,与之对应,x不是y 的函数,不存在反函数.,并称为对数函数.,定义:,3.复合函数,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,3.反过来,一个复杂的函数根据需要也可以,分解为若干简单函数的复合.,39,复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数),由函数的最外层运算一层层剥到最,里边,切不可漏层.,如,u,v 都是中间变量.,复合函数的定义域是,即,剥皮法,例,解,(1)幂函数,定义域与 的取值有关.,五.初等函数,(basic elementary function),1.基本初等函数,(2)、指数函数,(3)、对数函数,(4)、三角函数,正弦函数,定义域为,值域为,余弦函数,定义域为,值域为,正切函数,定义域,值域,余切函数,定义域,值域,正割函数,余割函数,50,(5)反三角函数(inverse trigonometric function),定义域,值域,主值,反正弦函数,但是,可以选取这些函数的,单值支.,51,定义域,值域,主值,反余弦函数,52,主值,定义域,值域,反正切函数,反余切函数,主值,定义域,值域,幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,53,2.初等函数(elementary function),初等函数.,如,都是初等函数.,不是初等函数.,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算,(加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构,成并可用一个式子表示的函数,称为,一般分段函数不叫初等函数,想一想,可看作分段函数,是否又可看作是初等函数?,答:,故又可看作是初等函数.,是!,由于,不是用一个式子表达出来的.,因为它,例,解,综上所述,57,奇函数.,偶函数.,1)双曲函数,叠加法,(3)双曲函数与反双曲函数,双曲正弦,双曲余弦,58,奇函数,有界函数,双曲正切,59,双曲函数常用公式,（2)反双曲函数,奇函数,可得,反双曲正弦,的反函数,单调增加.,反双曲余弦,单调增加.,奇函数,反双曲正切,单调增加.,六、小结,基本概念集合,区间,邻域.,函数的概念,函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.,反函数 复合函数 初等函数,64,思考题,考研数学一,5分,及其定义域.,解题思路,此题是复合函数问题,可设,从题目条件分析u和x的关系.,解,令,则,于是,65,作 业,习题1.1(11页),