《隐函数微分》PPT课件.ppt

一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,隐函数和参数方程求导,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数,由,表示的函数,称为显函数.,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.,函数为隐函数.,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求由方程,在 x=0 处的导数,解:方程两边对 x 求导,得,因 x=0 时 y=0,故,确定的隐函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求椭圆,在点,处的切线方程.,解:椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求,的导数.,解:两边取对数,化为隐式,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1)对幂指函数,可用对数求导法求导:,说明:,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2)有些显函数用对数求导法求导很方便.,例如,两边取对数,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导,且,则,时,有,时,有,(此时看成 x 是 y 的函数),关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.设由方程,确定函数,求,解:方程组两边对 t 求导,得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以,100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m,时,仰角的增加率是多少?,提示:,对 t 求导,已知,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2.对数求导法:,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数,3.参数方程求导法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求其反函数的导数.,解:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,备用题,1.设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、微分运算法则,三、微分在近似计算中的应用,一、微分的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的微分,一、微分的概念,引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x,面积为 A,则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的微分,定义:若函数,在点 的增量可表示为,(A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理:函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理:函数,证:“必要性”,已知,在点 可微,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理:函数,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、微分运算法则,设 u(x),v(x)均可微,则,(C 为常数),分别可微,的微分为,微分形式不变,5.复合函数的微分,则复合函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2.微分运算法则,微分形式不变性:,(u 是自变量或中间变量),3.微分的应用,近似计算,估计误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.已知,求,解：因为,所以,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方程两边求微分,得,已知,求,解：,2.,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,