[信息与通信]数电第1章.ppt

数 字 电 子 技 术,主编 刘守义 钟 苏,(第二版),中国高等职业技术教育研究会推荐高职系列教材,主 讲 教 师:杨润丰,1,2,第 1 章 逻辑事件及其表示方法,实训1 信号灯的逻辑控制 1.1 逻辑事件与逻辑控制 1.2 基本逻辑事件的表示方法 1.3 逻辑变量与逻辑函数 1.4 逻辑函数的化简,3,实训1 信号灯的逻辑控制,1.实训目的（1）了解逻辑控制的概念。（2）掌握表示逻辑控制的基本方法。,4,2.实训设备和器件 实训设备和器件:发光二极管，限流电阻，继电器两个，直流电源，导线若干。,5,对于继电器的“常开、常闭”触点，可以这样来区分：继电器线圈未通电时处于断开状态的静触点，称为“常开触点”；处于接通状态的静触点称为“常闭触点”。,6,3.实训电路图 图1.1为实训电路图。这是一个楼房照明灯的控制电路。设A、B分别代表上、下楼层的两个开关，发光二极管代表照明灯。在楼上按下开关A，可以将照明灯打开，在楼下闭合开关B，又可以将灯关掉；反过来，也可以在楼下开灯，楼上关灯。,7,图1.1 照明灯的逻辑控制电路,8,4.实训步骤与要求 1)连接电路 按图1.1连接好电路，注意JA、JB两个继电器的开关不要接错。2）试验开关和发光二极管的逻辑关系 接通电源，分别将开关A、B按表1.1的要求接通或者断开，观察发光二极管的亮灭情况，并填入表1.1中。,9,表 1.1,10,5.实训总结与分析（1）图1.1中，JA和JB分别代表继电器的两个线圈，JAK1、JBK1代表继电器的常开触点，JAK2、JBK2代表继电器的常闭触点。在实训图所示的状态下（开关A、B均断开），由于没有通路给发光二极管供电，因而发光二极管灭。当开关A闭合时，继电器线圈JA通电，其常开触点JAK1闭合，常闭触点JAK2断开，JBK1、JBK2则维持原来状态，此时图1.1最上面的一条电路连通，通过电源给发光二极管供电，发光二极管亮。同样道理，如果只闭合开关B，也会给发光二极管构成通路使之点亮。当开关A、B均闭合时，由于没有通路，所以发光二极管灭，读者可自行分析。,11,（2）发光二极管的状态(用F表示)，我们称为输出，是由开关A、B来决定的，开关A、B称为输入。输出和输入是一种逻辑控制电路，而且输入量和输出量都只分别对应两种状态。（3）从试验结果可以看出，当A、B同时闭合，或者同时断开，即处于相同状态时，二极管灭；相反，当A、B处于不同状态时，发光二极管点亮。如果定义开关闭合和灯亮为逻辑“1”，定义开关断开和发光二极管不亮为逻辑“0”，则A、B、F都可用两种逻辑状态“1”、“0”来描述。注意此时的“1”、“0”不代表任何数量的大小。表格的左边是两个输入状态的所有取值的组合，表格的右边是对应的输出状态。这样我们可以将实验步骤2)得到的表重新写为表1.2，这种表征逻辑事件输入和输出之间全部可能状态的表格称为逻辑事件的真值表。,12,表 1.2,13,1.1 逻辑事件与逻辑控制,通过实训1，我们初步认识了一个逻辑事件的控制电路。所谓逻辑，简单地说，就是表示事物的因果关系，即输入、输出之间变化的因果关系。而逻辑事件是具有如下共性的一类事物：其存在或表现形式有且仅有两个相互对立的状态，而且它必定是这两个状态中的一个。例如：实训1中的开关只有“闭合”和“断开”两种状态，而且开关的状态必为二者之一；发光二极管只有“亮”、“灭”两种对立状态。再例如：生物的活与死；射击导弹的击中目标与未击中目标；竞选的成功与失败；外星人的存在与不存在上述事件都是逻辑事件，又可以叫做逻辑量。,14,在现实生活中的一些实际关系，会使某些逻辑量的取值互相依赖，或互为因果。例如实训1中开关的通、断决定了发光二极管的亮、灭，反过来也可以从发光二极管的状态推出开关的相应状态，这样的关系称为逻辑控制。在实际应用中，会遇到各种复杂的逻辑控制电路，但它们都是由基本的逻辑关系组成的。在数字电路中，有一些基本的逻辑控制电路，反映了这些基本的逻辑关系（又称逻辑运算）这些基本的逻辑运算是构成各种复杂逻辑电路的基础。下面分别讨论几种基本的逻辑关系。,15,图 1.2 非逻辑电路、符号和真值表,16,1.非,1.2 基本逻辑事件的表示方法,对逻辑变量A进行逻辑非运算的表达式为,其中，读做A非或A反。注意在这个表达式中，变量（A、F）的含义与普通代数有本质的区别：无论输入量（A）还是输出量（F）都只有两种取值0、1，没有第三种值。,17,2.与、与非,18,图 1.3 与逻辑电路、真值表和符号,逻辑函数F与逻辑变量A、B的与运算表达式为,式中“”为逻辑与运算符，也可以省略。,19,20,3.或、或非,21,图 1.5 或逻辑电路、真值表和逻辑符号,22,23,24,图 1.7 的真值表和逻辑符号,25,26,通过图1.7和图1.8中的真值表也可以看出，异或和同或互为非运算，即,上面我们讨论了几种基本的逻辑运算，这些基本的逻辑关系也可以推广到多变量的情况，例如：F=ABC F=A+B+C,27,28,1.3 逻辑变量与逻辑函数,29,30,如果两个逻辑函数具有相同的真值表，则这两个逻辑函数相等。因此，证明以上定律的基本方法是用真值表法，即分别列出等式两边逻辑表达式的真值表，若两张真值表完全一致，就说明两个逻辑表达式相等。,31,表 1.3 证明 的真值表,32,2.逻辑代数的三个基本规则 1）代入规则在任何一个含有变量A的逻辑代数等式中，如果将所有出现A的地方都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。例如，在等式B(A+C)=BA+BC中，将所有出现A的位置都代以函数(A+D)，则：等式左边为 B(A+D)+C=B(A+D)+BC=BA+BD+BC 等式右边为 B(A+D)+BC=BA+BD+BC显然，等式仍然成立。,33,34,3）对偶规则 对于一个逻辑表达式F，如果将F中的与“”换成或“+”，或“+”换成与“”，“1”换成“0”，“0”换成“1”，那么就得到一个新的逻辑表达式，这个新的表达式称为F的对偶式F。变换时要注意变量和原表达式中的优先顺序应保持不变。例如，F=A(B+C)，则对偶式F=A+BC。又如，F=(A+0)(B1),则对偶式F=A1+(B+0)。所谓对偶规则，是指当某个恒等式成立时，则其对偶式也成立。如果两个逻辑表达式相等，那么它们的对偶式也相等，即若F=G，则F=G。,35,3.常用公式 利用上面的公理、定律、规则可以得到一些常用的公式，掌握这些常用公式，对逻辑函数的化简很有帮助。1）吸收律,2）还原律,36,3）冗余律,证明,推论：,37,1.3.2 逻辑函数的表示方法 逻辑函数的表示方法主要有：逻辑函数表达式、真值表、卡诺图、逻辑图等。1.逻辑函数表达式 用与、或、非等逻辑运算表示逻辑变量之间关系的代数式，叫逻辑函数表达式，例如，F=A+B,G=AB+C+D等。,38,2.真值表 在前面的论述中，已经多次用到真值表。描述逻辑函数各个变量的取值组合和逻辑函数取值之间对应关系的表格，叫真值表。每一个输入变量有0和1两个取值，n个变量就有2n个不同的取值组合，如果将输入变量的全部取值组合和对应的输出函数值一一对应地列举出来，即可得到真值表。表1.4分别列出了两个变量与、或、与非及异或运算的真值表。下面举例说明列真值表的方法。,39,表 1.4 两变量函数真值表,40,41,42,注意：在列真值表时，输入变量的取值组合应按照二进制递增的顺序排列，这样做既不易遗漏，也不会重复。,43,3.卡诺图 卡诺图是图形化的真值表。如果把各种输入变量取值组合下的输出函数值填入一种特殊的方格图中，即可得到逻辑函数的卡诺图。对卡诺图的详细介绍参见1.4.2节。,44,45,1.4 逻辑函数的化简,在实际问题中，直接根据逻辑要求而归纳的逻辑函数是比较复杂的，它含有较多的逻辑变量和逻辑运算符。逻辑函数的表达式并不是惟一的，它可以写成各种不同的形式，因此实现同一种逻辑关系的数字电路也可以有很多种。为了提高数字电路的可靠性，尽可能地减少所用的元器件数，希望得到逻辑函数最简单的表达式，这就需要通过化简的方法找出逻辑函数的最简形式。例如，下面为同一逻辑函数的两个不同表达式：,显然，F2比F1简单得多。,46,在各种逻辑函数表达式中，最常用的是与或表达式，由它很容易推导出其他形式的表达式。与或表达式就是用逻辑函数的原变量和反变量组合成多个逻辑乘积项，再将这些逻辑乘积项逻辑相加而成的表达式。例如，就是与或表达式。所谓化简，一般就是指化为最简的与或表达式。判断与或表达式是否最简的条件是：（1）逻辑乘积项最少;（2）每个乘积项中变量最少。化简逻辑函数的方法，最常用的有公式法和卡诺图法。,47,1.4.1 逻辑函数的公式化简法 1.并项法 利用公式A+A=1，将两项合并为一项，并消去一个变量，例如：,48,2.吸收法利用公式A+AB=A，吸收掉多余的项，例如：,49,50,51,【例1.4】用公式法化简逻辑函数,解,图1.10为该逻辑函数化简前后的逻辑电路图。显然，化简后不仅使逻辑图得到了简化，而且使用的逻辑器件相对较少。,52,图 1.10 逻辑函数化简前后的逻辑电路图(a)化简前的逻辑图;（b）化简后的逻辑图,53,【例1.5】用公式法化简,解 根据摩根定律有：,可得,54,即,根据公式A+AB=A，得,即,55,利用配项法再进行化简，可得,56,1.4.2 逻辑函数的卡诺图化简法 卡诺图就是将逻辑函数变量的最小项按一定规则排列出来，构成的正方形或矩形的方格图。图中分成若干个小方格，每个小方格填入一个最小项，按一定的规则把小方格中所有的最小项进行合并处理，就可得到简化的逻辑函数表达式,这就是卡诺图化简法。在介绍该方法之前，先说明一下最小项的基本概念。,57,58,推而广之，对于有n个变量的逻辑函数，如果其与或表达式中的每个乘积项都包含n个因子,而这n个因子分别为n个变量的原变量或反变量，并且每个变量在乘积项中出现且仅出现一次，那么这样的乘积项就称为逻辑函数的最小项。n个变量的逻辑函数，就有2n个最小项。表1.7列出了三变量函数所有最小项的真值表。,59,60,由表1.7可以看出，最小项具有下列性质：（1）对于任意一个最小项，只有变量的一组取值使得它的值为1，而取其他值时，这个最小项的值都为0。不同的最小项，使它的值为1 的那一组变量取值也不同。例如最小项，只有在变量取值为100时，的值为1，其他7组取值下，其值都为0；而对于最小项，只有在变量的取值为101时，的值才为1。（2）对于同一个变量取值，任意两个最小项的乘积恒为0。因为在相同的变量取值下，不可能使两个不相同的最小项同时取1值。（3）任意取值的变量条件下，全体最小项的和为1。,61,1)从一般表达式求最小项表达式【例1.6】写出的最小项表达式。解,上式即为F的最小项表达式。对照表1.7，上式的最小项可分别表示为m1,m5,m6,m7,所以又可写为,62,2)通过真值表求最小项表达式 首先列出逻辑函数F的真值表，然后从真值表中找出使逻辑函数F为1的变量取值组合，并写出这些变量组合相对应的最小项，最后将这些最小项相或，即得到该逻辑函数F的最小项表达式。【例1.7】一个三变量逻辑函数的真值表如表1.8所示，写出其最小项表达式。,63,表 1.8 一个三变量逻辑函数的真值表,64,解 根据上面介绍的方法，可写出其最小项表达式为,或,或,65,2.卡诺图 卡诺图是由美国工程师卡诺（Karnaugh）首先提出的一种用来描述逻辑函数的特殊方格图。在这个方格图中，每一个方格代表逻辑函数的一个最小项，而且几何相邻（在几何位置上，上下或左右相邻）的小方格具有逻辑相邻性，即两相邻小方格所代表的最小项只有一个变量取值不同。对于有n个变量的逻辑函数，其最小项有2n个。因此该逻辑函数的卡诺图由2n个小方格构成，每个小方格都满足逻辑相邻项的要求。图1.11、图1.12、图1.13、图1.14分别画出了二、三、四、五变量的卡诺图的一般形式。,66,图 1.11 二变量的卡诺图,67,图 1.12 三变量的卡诺图,68,图 1.13 四变量的卡诺图,69,图 1.14 五变量的卡诺图,70,图中小方格中m的下标数字代表相应最小项的编号。根据逻辑函数的最小项表达式，就可以得到该逻辑函数相应的卡诺图。具体做法为：在表达式中出现的最小项所对应的小方格内填上1；不出现的最小项在其对应的小方格内填上0或者空着不填。,71,【例1.8】画出逻辑函数F(A,B,C,D)=m(0,1,2,5,7,8,10,11,14,15)的卡诺图。解 画出四变量卡诺图的一般形式，在该图中将对应于最小项编号为0，1，2，5，7，8，10，11，14，15的位置填入1，其余位置填0或空着，即可得到该逻辑函数的卡诺图，如图1.15所示。,72,图 1.15 例1.8的卡诺图,73,3.逻辑函数的卡诺图化简法 利用卡诺图化简逻辑函数的方法称为逻辑函数的卡诺图化简法。卡诺图逻辑相邻性的特点保证了在卡诺图中相邻两方格所代表的最小项只有一个变量不同。因此，若相邻的方格都为1（简称1格），则对应的最小项就可以加以合并，合并后的结果是消去不同的变量，只保留相同的变量，这是图形化简法的依据。合并最小项的规则是由卡诺图的性质决定的，下面叙述这些性质。,74,性质1：卡诺图中两个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并消去一个变量。图1.16是两个1格合并时消去一个变量的例子。在（a）图中，m1和m5为两个相邻1格，则有 在（b）图中，m4和m6为两个相邻1格，则。图1.16中还有其他的一些例子，请读者自行分析。,75,图 1.16 两个1格合并后消去一个变量,76,性质2：卡诺图中四个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并消去两个变量。,图 1.17 四个1格合并后消去两个变量,77,在（a）图中，m1,m3,m5,m7为四个相邻1格，把它们圈在一起加以合并,可消去两个变量，即,78,性质3：卡诺图中八个相邻的1格可以合并成一个与项，并消去三个变量。对此，请读者自行画卡诺图进行分析。总之，在n个变量卡诺图中，若有2k个1格相邻（k为0，1，2,，n）,它们可以圈在一起加以合并，合并后可消去k个不同的变量，使逻辑函数简化为一个具有n-k个变量的与项。若k=n，则合并后可消去全部变量，结果为1。用卡诺图化简法求最简与或表达式的步骤是：（1）画出函数的卡诺图；（2）合并最小项；（3）写出最简与或表达式。,79,【例1.9】用图形化简法求逻辑函数F(A,B,C)=(1,2,3,6,7)的最简与或表达式。解 首先，画出函数F的卡诺图。对于在函数F的标准与或表达式中出现的那些最小项，在该卡诺图的对应小方格中填上1，其余方格不填，结果如图1.18所示。其次，合并最小项。把图中相邻且能够合并在一起的1格圈在一个大圈中，如图1.18所示。,80,图 1.18 例1.9的卡诺图,81,最后，写出最简与或表达式。对卡诺图中所画每一个圈进行合并，保留相同的变量，去掉互反的变量。例如 合并后，保留，去掉互反的变量B、，得到其相应的与项为；将 和m7=ABC=111进行合并，保留B，去掉A、及C、，得到其相应的与项为B，将这两个与项相或，便得到最简与或表达式：,82,【例1.10】用卡诺图化简函数,解 根据最小项的编号规则，可知F=m3+m9+m11+m13。依据该式可以画出该函数的卡诺图如图1.19所示。用例1.9的方法对其化简，化简后的与或表达式为,83,图 1.19 例1.10的卡诺图,84,【例1.11】用卡诺图化简函数,解 从表达式中可以看出,F为四变量的逻辑函数，但是有的乘积项中缺少一个变量，不符合最小项的规定。因此，每个乘积项中都要将缺少的变量先补上。因为,85,所以,根据上式画出卡诺图如图1.20所示。对其进行化简，得到最简表达式为,86,图 1.20 例1.11的卡诺图,87,在用卡诺图化简时，最关键的是画圈这一步。化简时应注意以下几个问题：（1）列出逻辑函数的最小项表达式，由最小项表达式确定变量的个数（如果最小项中缺少变量，应按例1.11的方法补齐）。（2）画出最小项表达式对应的卡诺图。（3）将卡诺图中的1格画圈，一个也不能漏圈，否则最后得到的表达式就会与所给函数不等；1格允许被一个以上的圈所包围。,88,（4）圈的个数应尽可能的少,即在保证1格一个也不漏圈的前提下，圈的个数越少越好。因为一个圈和一个与项相对应，圈数越少，与或表达式的与项就越少。（5）按照2k个方格来组合（即圈内的1格数必须为1，2，4，8等），圈的面积越大越好。因为圈越大，可消去的变量就越多，与项中的变量就越少。（6）每个圈应至少包含一个新的1格，否则这个圈是多余的。图1.21给出了一些画圈的例子，供读者参考。最后还有一点要说明，用卡诺图化简所得到的最简与或式不是惟一的。,89,图 1.21 卡诺图化简例子,90,4.具有约束项的逻辑函数的卡诺图化简法 实际应用中经常会遇到这样的问题，对应于变量的某些取值，函数的值可以是任意的，或者说这些变量的取值根本不会出现。例如，一个逻辑电路的输入为8421BCD码(见本书4.1.2节)，显然信息中有六个变量组合（10101111）是不使用的，这些变量取值所对应的最小项称为约束项。如果电路正常工作，这些约束项决不会出现，那么与这些约束项所对应的电路的输出是什么，也就无所谓了，可以假定为1，也可以假定为0。约束项的意义在于，它的值可以取0或取1，具体取什么值，可以根据使函数尽量简化这个原则而定。,91,化简具有约束项的逻辑函数时，在逻辑函数表达式中用d()表示约束项。例如d(2,4,5)，表示最小项m2、m4、m5为约束项。有时也用逻辑表达式表示函数中的约束项。例如，表示 和AC所包含的最小项为约束项。约束项在真值表或卡诺图中用“”来表示。,92,【例1.12】用卡诺图化简逻辑函数F(A,B,C,D)=m(1,3,7,11,15)+d(0,2,9)。解 该逻辑函数的卡诺图如图1.22（a）所示。对该图可以采用两种化简方案：（1）如图1.22（b）所示，化简结果为。（2）如图1.22（c）所示，化简结果为。,93,图 1.22 例1.12的卡诺图,94,