《量纲简化微分讲义》PPT课件.ppt

数学模型 量纲分析法建模,北京理工大学 王宏洲,关于量纲分析法,量纲分析法是二十世纪初，一些物理学家提出的一种在物理领域建立数学模型的办法。,所谓量纲分析法，即在经验和实验的基础上，利用物理量的量纲所提供的信息，根据量纲齐次原则来确定物理量之间的关系。,量纲，即物理量的单位，如速度的量纲就是 m/s,一、量纲齐次原则,物理量的量纲,长度 l 的量纲记 L=l,质量 m的量纲记 M=m,时间 t 的量纲记 T=t,动力学中基本量纲 L,M,T,速度 v 的量纲 v=LT-1,导出量纲,加速度 a 的量纲 a=LT-2,力 f 的量纲 f=LMT-2,引力常数 k 的量纲 k,对无量纲量，=1(=L0 M0 T0),=fl2m-2=L3M-1T-2,国际单位制SI制的基本量,长度 l 米L质量 m 公斤M时间 t 秒 T电流强度 I 安培A温度 开尔文K光强 J 堪德拉cd物质的量 摩尔N,其他所有物理量的单位都由这7个基本量复合得到。,量纲齐次原则,所谓量纲齐次原则，即,等式两端的量纲一致,量纲分析利用量纲齐次原则 寻求物理量之间的关系,具体做法：将所研究问题涉及的所有物理量都列出来，设作等式，根据等式两边量纲一致的原则，确定各物理量之间的关系。,单摆运动示例,假设：1、不考虑空气阻力；,2、忽略地球自转对单摆运动的影响；,3、摆线是刚体，在摆动中无形变；,4、摆轴部分没有摩擦。,在此条件下，与单摆运动有关的物理量有：,t、m、l、g、,单摆运动的规律由公式F(t,l,m,g,)=0 给出,例：单摆运动求摆动周期 t 的表达式,单摆运动示例,对比这里计算出的公式和实际公式,参数通过测量和最小二乘法计算可以得到。,设 t,m,l,g 之间有关系式,1,2,3 为待定系数，为无量纲量,对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2，p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2),为什么假设这种形式,设p=f(x,y,z),如果将x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍,单摆运动中 t,m,l,g 的一般表达式,量纲分析法的Pi定理,设 f(q1,q2,qm)=0,ys=(ys1,ys2,ysm)T,s=1,2,m-r,F(1,2,m-r)=0 与 f(q1,q2,qm)=0 等价,F 待定,是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,Xn 是基本量纲,n m,q1,q2,qm 的量纲可表为,量纲矩阵记作,Pi定理的意义,Pi定理实际上给出了一个量纲分析法建模的方法和理论支持，即这个定理证明了：量纲分析法是可行的，没有任何理论上的疑点。,量纲分析法在工程实践方面有一些应用，不过由于适用的函数关系过于简单，无法用于研究复杂的实际问题，如 sint，lnx等，属于比较初级的建模方法，因此在现代科学、工程研究中应用比较少。但是我们在建立一些复杂模型的时候，也要注意量纲问题。,Max f=x2+y z,卖冷饮的收入 销售额 成本 气温,数学模型 微分法建模,北京理工大学 王宏洲（静态优化模型）,关于静态优化模型,飞机外形布局快餐店的店内布置和服务方式工厂、商店的订货、储货策略乒乓球团体赛中的对阵安排,现实世界中普遍存在着优化问题,静态优化问题指最优解是数(不是函数),建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数,求解静态优化模型一般用微分法,静态优化（微分法）建模的主要内容,一、存储模型二、森林救火模型三、最优价格四、消费者均衡模型五、冰山运输,一、存储模型,问题背景,工厂需要订购并储存原料，商场需要进货并库存进行零售，水库雨季蓄水为旱季准备灌溉和发电用水。这里都有一个储存多少的问题。,仔细考虑会发现，这些问题其实都有随机因素在起作用。比如顾客对商品的需求，天气对蓄水的影响等。但为了简化模型，这里没有考虑随机因素，只给出静态优化模型。,在讨论具体问题之前，必须说明：此类寻找最优值的问题并非找到数学最优解即可，而是要认真考虑实际问题的环境。,1、不允许缺货模型,炼钢厂订购废钢铁供炼钢使用，需求量一定，而且不允许缺货。制订最优存储策略，即多长时间订一次货，订多少货才能使费用最低。,在不缺货条件下，需要考虑两种费用：订货费（订货需要的一次性费用）；储货费（占有场地、占用资金的费用）。,不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。,模型分析与假设,设T天订货一次（订货周期），订货量为Q，则总费用=订货费+储存费，设法求T和Q，使得总费用最低。模型假设1：钢厂单位时间的需求量为 r；模型假设2：一次性订货费c1，每天每吨货物储存费为c2。模型假设3：每T天订货Q，当存量为0时立即订货。,目的：求T、Q的值，使费用最低。,需要平衡的地方：频繁订货则c1增加而储存费降低，T小；减少订货次数则c1减少而储存费增加，T大。,构造模型,记q(t)为t时刻货物的存量，具体形式为：,q(t)=Q-rt，0 t T且Q=rT,考虑一个定货周期的总费用：,从此模型不难看出，当T=0 时总费用最低。,即不设仓库，随时购买随时使用，将库存费用完全省去就可以将一次订货的总费用降到最低。,这个结论有什么问题吗？,模型结果分析,随时购买随时使用，这个结论对于企业而言是没有意义的。这样做虽然节省了每一个订货周期的费用，但却大大增加了订货次数，由此增加的费用对企业来说是得不偿失的。,由于每次订货费用远远比库存费用要高，所以如果计算单位时间的总费用，那么拉长订货周期可能费用更低。,因此用一个订货周期的总费用来作为目标函数并不适合。,模型修正,取目标函数为每天的平均费用，记作 C(T)：,这样做的合理性在于企业生产是一个长期、连续的过程，只有降低单位时间（每天）的费用，才能起到降低企业每年总费用的目的。,注：做数学模型必须注意到实际背景和对方的真实意图，不能简单地给出一个脱离实际的结果。,求T、Q使C(T)最小：,经济订货批量公式,下面做简单的定性检验,模型检验,与实际经验相吻合，所以说模型是基本合理的。,2、允许缺货模型,背景：为商场解决最优订货周期和批量问题。由于商场销售并非必须随时有货物，所以允许在一定时间内缺货。,模型假设1：单位时间的需求量为 r；模型假设2：一次性订货费c1，每天每吨货物储存费为c2；模型假设3：允许缺货，每天每吨缺货损失费c3；模型假设4：每T天订货Q吨。,构造模型,构造：,记q(t)为t时刻货物的存量，具体形式为：,q(t)=Q-r t，Q=r T1,T1时货物售完，在T1,T时间内缺货。,一次性订货周期的总费用：,构造模型,不允许缺货模型,允许缺货模型,模型分析,说明：在允许缺货的情况下，周期可以比不允许缺货的情形长一些，同时每次订货的数量也可以少一些。,3、订货多者优惠情形,批发单位对一次性订货较多的订户在价格上给予一定的优惠。设单位货物的价格为 e(Q)。,非常复杂，但这才是现实中可行的方案，毕竟现实问题不像数学一样，追求干净利落的结论。,二、森林救火模型,法国在地中海海滨地区，由于每年夏季晴朗，天气干燥，经常发生难以扑灭的森林大火。因此，在时常发生大火的地中海海岸边，法国设置了超过1000人的消防队伍。而且这支队伍的灭火设备特别现代化，其中包括20多架专为扑灭森林大火而设计的加拿大出产的救火机。根据法国消防队的资料，一般离开水源不远的住所，每次救火飞机往返，需时仅3至4分钟。如果每次火灾有10架救火机参加战斗，往返10次就有1000吨，100次就有1万吨的水泻在火场上，森林大火很快就会被扑灭。正是因为这样，地中海岸边的森林尽管火灾繁多，但很少能延续到一天以上。,加拿大会在森林地带设置防火了望台，配合巡逻飞机、遥感卫星等手段监视火情。借助现代通信技术，森林防火部门可以实时观测火场情景，半小时至一小时内灭火队伍就能赶到火灾现场。加拿大在每年的防火期内，用于防火、灭火的飞机可超过10000架次。遇有火灾，防火中心可根据火情，用直升机运送灭火人员及时赶到火场扑救，或调用水陆两用洒水机投入扑火战斗。加拿大的森林灭火专用飞机，飞机俯冲至水面并继续前进一段距离，水即可自动由水勺经导管灌入水箱，20秒钟即可装满5吨，然后带水飞向火场。,国内森林防火的手段主要依赖地面人员和装备，因此，对日常监控和早期预警比较重视。,森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。,问题,模型分析,记队员人数 x,失火时刻 t=0,开始救火时刻 t1,灭火时刻 t2,时刻 t 森林烧毁面积 B(t).,损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.,救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.,存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小,关键是对B(t)作出合理的简化假设.,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形,分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.,模型假设,3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）,1）0tt1,dB/dt 与 t成正比，系数(火势蔓延速度）,2）t1tt2,降为-x(为队员的平均灭火速度）,4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3,火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比,如果现场刮着大风怎么办？,构造模型,目标函数总费用,0,模型构造,目标函数总费用,模型求解,求 x使 C(x)最小,结果解释,/是火势不继续蔓延的最少队员数,其中 c1,c2,c3,t1,为已知参数,结果分析,模型应用,c1,c2,c3已知,t1可估计,c2 x,c1,t1,x,c3,x,c1 烧毁单位面积损失费,c2 每个队员单位时间灭火费,c3 每个队员一次性费用,t1开始救火时刻,火势蔓延速度,每个队员平均灭火速度.,可设置一系列数值,由模型决定队员数量 x,类似的问题,考虑参与一场军事行动的人数和装备数量步枪小口径化与威力和军队战斗力之间的关系火炮大口径化与威力之间的关系广告投入与企业利润之间的平衡推销力度与销售量之间关系,VCD的故事,1992年4月，姜万勐发现MPEG压缩技术，与C-CUBE公司孙燕生决定利用MPEG技术开发后来被称为VCD的电子消费产品。1992年12月生产出世界第一台家用VCD。随后双方出资1700万美元成立公司，取名“万燕”。1993年9月，万燕第一代产品问世；1994年，万燕销售出2万台VCD，独占VCD市场。,由于前期投 入和固定成本太高，产品平均成本高达每台4000多元。同时，一批新企业很快进入VCD行业。1996年全国VCD销量达600万台，但万燕市场份额已由两年前的100降到2。同年，万燕被另一企业兼并。,三、最优价格模型,1995年4月，在万燕举步维艰之际，爱多公司在广东成立，并利用进口散件迅速生产出整机。产品上市后，爱多高价聘请电影明星成龙拍广告，并以8000多万元天价夺取中央电视台电子类广告标王。,万燕与爱多都在VCD行业花费了一个亿左右投资，但投入方式和效果大不相同。万燕成功地进行技术创新和产品开发，然而由于后续融资能力限制，未能通过规模经济优势获得更多市场回报，因而从企业利益上看投资收益不 佳。,万燕的前期开发及其后来面临的困难，为爱多等后进入企业提供了便利条件。爱多投资重点是宣传自己的产品品牌，成功运用市场营销手段使它一时获得较好的市场回报。,中国VCD销量增长很快，1994年售出2万台，1996年正规厂销量为600万台，1998年生产能力达到1200万台，销量却只有800万台。,1996年10月，爱多率先将VCD价格降至2000元左右。1997年6月，爱多在北京宣布实施“阳光行动”，其生产的四种主要机型零售价下调20-25%。VCD另外两巨头“新科”，“万利达”迅速跟进。十几家知名厂家相继加入了降价行列。在不到一年内，每台VCD平均售价由大约2500元下降到1500元左右。国产VCD通过降价，1997年7月市场占有率已由1996年年底不足50%，上升到75%左右。,作为厂商，究竟应该如何确定VCD的价格，才能让自身的利益最大化？,最优价格模型,1、问题背景：一个经理有权制订产品的销售价格，那么怎样定价才能让企业的利润最大化？,定价高,单个产品的利润上升,市场销量下降,企业总利润不见得高,产销平衡工厂生产的产品等于市场上的销量。,产销平衡定价，由于产量可以调整，一般是预测市场销量，计算成本，预定利润率，再决定产量。,经济学概念,利润=总收入-总成本,总成本：指生产一批产品所需的全部经济资源投入的费用总额。由固定成本和可变成本两部分组成。,固定成本：固定资产消耗、保险费用等；可变成本：原料、劳动力成本等。,总收入：出售一定量产品所得的全部收入。,模型分析,模型假设：,I(p)=xp,C(p)=xq,需求函数,建模目的：求 p，使得利润最大化。,模型构造,解：,模型结果分析,根据假设,注意：最优价格 p*由两部分组成，一是成本的一半；另一部分由需求函数中的参数 a、b 决定。,参数估计,模型中有两个参数：a 和 b，如何估计？,当 p=0 时，得到 x(p)=a。,a 解释为“绝对需求量”，即产品免费供应时社会的需求量。,在实际工作中如何寻找a、b？这里的办法并不实用。,参数估计,注意到需求函数 x(p)关于 p 是线性函数，我们可以找出几个点，利用最小二乘法得到参数。,请大家思考：,1）x(p)取做其他减函数可以吗？,2）在静态模型中 p 不变，但在市场经济下 p 是随 t 变化的，如果取 p(t)，模型该怎样建立？,2、供需不平衡情形的最优价格问题,前面讨论的是供需平衡情形，可是在大多数情况下，供需并不平衡，即或者供大于求，或者供不应求。在这种情形下，企业如何定价？,比如苹果公司的iPhone，在上市之前就大肆宣传，上市后供不应求，其总裁预计当年会销售上千万部，定价非常高；最近销售放缓，苹果公司开始考虑降低价格。那么，究竟该降低多少？,模型分析,xd表示需求：在一定条件下，单位时间内消费者欲购且有支付能力的商品量；xs表示供应：在一定条件下，单位时间内企业愿意出售且可供出售的商品量。,当p比较高时，生产者都愿意多生产，所以xs也会相应的增加，g(p)是p的增函数；当p比较高时，能够承受的消费者数量会减少，即xd会降低，所以f(p)应该是p的减函数。,模型假设与求解,假设1、市场上供需量相等的价格，即均衡价格是最优价格；假设2、需求量 xd=a bp=f(p)；供给量 xs=-c+dp=g(p).,得到：,a是市场的绝对需求量；b是消费者对价格的敏感度；d是企业对市场价格变动的敏感度；c反映企业所能容忍的最低价格(成本).,3、价格随行就市情形下的最优价格问题,即设 p=p(t)；假设1、市场上供需量相等的价格，即均衡价格是最优价格；假设2、需求量 xd=a bp=f(p)；供给量 xs=-c+dp=g(p).假设3、p(t)的涨速与过剩需求xd-xs 成正比。,代入xd 和 xs 的表达式：,需求不变，但产品的成本上升时，也会造成价格涨速提高；供应量不变，但需求骤增，则价格上涨。,模型分析,供需平衡下的最优价格,这说明，虽然p(t)是波动的，但随着时间的推移，价格趋于稳定，且与最优价格靠近,比如一些新产品面世，或者新兴的消费热潮，价格难免宽幅振荡；随着时间推移，消费趋于理性，价格也逐渐稳定下来，不再大起大落。但体现成本的c上升时价格波动会向高位移动。,极端情况下的模型,如果消费者的刚性需求巨大，手中也持有一定量货币，而产品供应能力相对不足，比如房地产、粮油、肉类、石油，这时会出现经济中的极端情况。,这时xd(常数)xs(常数)，则模型变成：,这时 p(t)可以随时间无限增大:,这时出现通货膨胀，同样的货币能买到的东西越来越少。,解决通胀的关键：降低消费资金投放；增加商品供应量。,即降低xd，提高xs，从而达到平抑物价飞涨趋势的目的。,可以考虑一下国内房地产价格的发展趋势，CPI指数的变化。,数学与自然现象,螺旋结构是自然界最普遍的一种形状，DNA以及许多其它在生物细胞中发现的微型结构都采用了这种构造。为何大自然如此偏爱呢？,有研究者认为：“对于螺旋结构，过去的回答是由分子之间的引力决定的。但这只能回答螺旋结构的形成原理，不能回答为什么它们是那种形状。从本质上来看，螺旋结构是在一个拥挤的空间，例如一个细胞里，聚成一个非常长的分子的较佳方式，譬如DNA。”,在细胞的稠密环境中，长分子链经常采用规则的螺旋状构造。这不仅让信息能够紧密地结合其中，而且能够形成一个表面，允许其它微粒在一定的间隔处与它相结合。例如，DNA的双螺旋结构允许进行DNA转录和修复。为了显示空间对螺旋形成的重要性，研究者模拟了一个存在于十分拥挤的细胞空间中的一个分子。观测发现对于一种短小易变形的材料而言，形结构的形成所需的能量最小，空间也最少。而螺旋当中的形结构，在几何学上最近似于在自然界的螺旋中找到的该种结构。,研究者因此认为，分子中的螺旋结构是自然界能够最佳地使用手中材料的一个例子。DNA由于受到细胞内的空间局限而采用双螺旋结构，就像为了节省空间在房屋中采用螺旋梯的设计一样。,四、消费者均衡模型,问题背景：消费者用一定数额的钱去购买两种商品，应做怎样的选择？,不难想象，此模型可以用于解决现有资源的分配问题，即如何分配资源，达到最大的满意度。,比如：个人的时间、精力的分配；国家投资在各个领域的分配；科研资金在各个专业、方向上的分配；物资采购时的资金分配等等。,问题背景：消费者用一定数额的钱去购买两种商品，应做怎样的选择？,设共有S元钱，两种商品X、Y。,显然，如果没有偏好问题，那么直线 p1q1+p2q2=S上任何一点都是一种方案。,考虑消费者偏好(需求)程度,如果将消费者的偏好（需求）考虑进来，即占有X或Y的满意度，应该如何制订资金分配方案？,像过去的实物交换模型一样，这里引入无差别曲线：问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。,设甲乙数量为q1,q2,消费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相交），记作 U(q1,q2)=c 效用函数,已知甲乙价格 p1,p2,有钱s，试分配s,决定购买甲乙数量 q1,q2,使 U(q1,q2)最大.,构造模型,即所谓的消费者均衡模型，既要让U(q1,q2)最大，同时还要满足条件：p1q1+p2q2=S.,用拉格朗日乘子法求解，设,已知甲乙价格 p1,p2,有钱s，试分配s,决定购买甲乙数量 q1,q2,使 U(q1,q2)最大.,模型结果的几何解释,直线MN:,最优解Q:MN与 l2切点,斜率,返回实际问题,边际效用,消费者均衡状态，会在两种商品的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。,效用函数U(q1,q2)应满足的条件,A.U(q1,q2)=c 所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸,考虑 B的实际意义,常用的效用函数,消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。,U(q1,q2)中参数,分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度。,常用的效用函数,购买两种商品费用之比与二者价格无关。,U(q1,q2)中参数,分别表示对甲乙的偏爱程度。,可以考虑将模型和上述函数推广到 m(2)种商品的情况,六、冰山的运输,模型准备,模型准备,建立模型的目的：,模型假设,模型分析,模型构造冰山融化规律,d 4000时 r 与 d 成正比,d 4000时 r 与d 无关,模型构造冰山融化规律,模型构造燃料的消耗,u船速；V冰山体积,模型构造运送水的总费用,模型构造,冰山运达目的地之后的体积：,模型构造,模型求解,实验法，输入数据进行测试，寻找最佳方案：,