《量子统计南大》PPT课件.ppt

第八章、玻色统计和费米统计,(一)、热力学量的统计表达式,MB 分布,则量子效应就必须考虑，需要用量子统计,：玻色分布：费米分布,我们引进巨配分函数：,（，y）的函数,取对数：,平均粒子数：,总能量：,外界对系统的广义力：,利用上述公式得到：,对于一个孤立的系统，粒子数目的变化为零，有：,根据热力学第二定律：,根据ln 的定义，以及最可几分布给出的参数间的关系，可以得到玻尔兹曼关系式：，其中我们已经取积分常数为零。,对于一个开放的系统，粒子数目的变化不为零，有：,在热力学中，我们知道：,。,对于遵从玻色、费米分布的系统，只要求出了系统的巨配分函数的对数ln，就可以求出系统的平均粒子数、内能、物态方程、熵等，从而确定系统的所有的平衡性质。ln是以，y（对应简单系统，即：T，V，）为自然变量的特征函数。热力学中知道，这种系统的特征函数是巨热力势JUTS N。这样，我们得到巨热力势用ln表示的形式：。所以：知道粒子的能级和简并度，就可以求出所有的热力学函数，确定系统的平衡性质：,(二)、弱简并的玻色和费米气体,我们知道，一般气体满足经典极限条件，可以用玻尔兹曼分布处理。这种气体称为非简并性气体。需要利用玻色和费米分布讨论的气体称为简并气体。首先，讨论弱简并的玻色、费米气体的特性。,为了简单，不考虑分子的内部结构。只有平动自由度，分子的能量为：。在体积V内，在能量从到d的范围内，分子可能的状态数目为：,g为粒子的自旋自由度引入的简并度,系统的总分子数满足：据此可以求出系数。,系统的内能U为：,两个被积函数的分母可以写成：,令：,在e1的情况下，e-x是一个小量，因此可以将右式中括弧内的项展成级数。只取前两项，有：,两式相除得到右式：,上式中第一项是根据玻尔兹曼分布得到的内能；第二项是在考虑弱简并情况下，由微观粒子的全同性原理引起的粒子统计关联所导致的附加内能。值得注意的是：该附加内能对玻色气体为负；对费米气体为正。可以认为：粒子的统计关联使得费米粒子出现排斥作用，玻色粒子出现等效的吸引作用。,(三)、玻色爱因斯坦凝聚,前面讨论过非简并和弱简并玻色气体的情况。现在我们讨论简并理想玻色气体的情况以及其在动量空间中的凝聚现象。,为了简单，假设粒子的自旋量子数为零，根据玻色分布，有：,由于处在任意能级上的粒子数目不能为负数。所以：,理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。如果假设粒子的最低能级（基态）能量0，则有：0，可以求出：,化学势为温度T和粒子数密度n的函数。,化学势为温度T和粒子数密度n的函数。在粒子数密度n不变的情况下，温度越低，化学势越高。,如果上式可以用积分代替，则有：,化学势随着温度的下降而上升。当温度趋于某一临界温度Tc时，化学势将趋于零（假设基态能量0）。,当温度降低到临界温度Tc时，临界温度Tc由下式计算：,00,粒子能级,T，,这说明，在利用积分式求化学势时，当温度低于Tc后，我们不可能获得负的化学势。这显然与理想玻色气体的化学势始终为负值相矛盾。,式中，实际上基态（能量0的能级）的贡献被忽略了。在温度足够高时，问题不大。因为基态上的粒子数目很小。,在低温情况下，粒子将尽可能占据能量低的能级。由于玻色子在能级上的占据数目不受限制，因此在温度趋于绝对零度时，基态上的粒子数目将会很大。因而不能忽略。在TTc时，有：,第一项为基态的贡献；第二项为激发态的贡献。计算中取=0。,首先我们计算在TTc时激发态对粒子数密度的贡献n。,那么基态对离子数密度的贡献为：,这说明，在TTc时，玻色粒子将在基态（能级0）上凝聚。其粒子数密度n0与总的粒子数密度n具有相同的量级。这一现象称为玻色爱因斯坦凝聚（Bose-Einstein-Condensation)，温度Tc称为凝聚温度。凝聚在基态上的粒子的能量和动量均为零、系统的熵也为零：动量空间的凝聚。,在T0上的粒子的能量和。,定容热容量为：,在TT c时理想玻色气体的定容热容量与T3/2成正比。当温度到达T c时，热容量达到极大值。温度超高T c后，热容量慢慢从极大值回落到经典极限值3/2Nk。可以证明，系统的热容量是连续变化的，但是，热容量对于温度的导数是不连续的。这说明：Bose-Einstein-Condensation是一个三级相变。,近年来，利用激光冷却原子的技术，观察到了玻色爱因斯坦凝聚现象。,(四)、光子气体,在热力学中知道，平衡辐射的内能密度和内能密度的平率分布只与温度有关，而且内能密度与绝对温度的四次方成正比。,可以将空窖内的辐射场看作是光子气体。具有以下关系式：,光子是玻色子，平衡时服从玻色分布。由于空窖不断发射和吸收光子，光子气体中光子的数目时不守恒的。在导出玻色分布时，只能引入一个乘子。所以：0。即：平衡状态下光子气体的化学势为零。,光子的自旋量子数为1，自旋在动量方向上的投影有 两个可能值。所以在体积为V的空窖内，在动量从p到pdp范围内，光子的量子态数目为：,其中利用了光子的动量与圆频率间的关系：,平均光子数目为：,上式给出了辐射场内能按频率和温度的分布：普朗克公式。,维恩位移定律：,现在讨论在低频和高频极限时的结果。低频时：,辐射场内能为：,瑞利金斯公式,高频范围内：,与1896年维恩获得的公式相同,这说明，在温度为T的平衡辐射中，高频光子几乎是不存在的。或者说，温度为T的空窖发射能量远远大于kT的光子的可能性是极小的。,空窖辐射的内能为：,空窖内的内能密度为：,即：与温度的四次方成正比。这就是热力学中的斯特藩玻尔兹曼定律。,另外，根据普朗克公式，内能密度随着频率的分布有一个极大值wm。可以从下式得到维恩位移定律（wm与温度成正比）。,(五)、强简并理想费米气体 金属中的自由电子,原子结合成金属后，价电子脱离原子可在整个金属中自由运动。失去价电子后的原子变成离子。由于离子空间排列的周期性，离子在金属中产生一个周期势场。电子在周期势场中运动。为了简单，采用自由电子模型，把价电子看作是在恒定的势阱中的自由电子，形成自由电子气。根据费米分布，温度为T时处在一个能量为的量子态上的平均电子数目为：,考虑到电子的自旋，在体积V内，能量从到 d 范围内的电子的量子态数目为：,所以在体积V内，能量从到 d 范围内的平均电子数目为：,1、讨论温度T0K时的情况,在T0K时，能量小于化学势的能级都被占据了；能量高于化学势的能级都空着。根据泡里不相容原理，化学势是0K时电子的最大能量。,0K时的化学势（0）可以由下式得到：,0K时电子的最大动量，称为费米动量。0K时电子气的内能为：,0,1,（0）,0K时电子的平均能量为3(0)/5。,现在对0K时的化学势（0）作一个估计。以Cu为例，N/V=8.5X1023m-3，(0)=1.1X10-18J。定义费米温度：得到Cu的费米温度TF为7.8X104K。在一般温度下金属中自由电子气的化学势与0K时近似相等，所以化学势也被称为费米能级。由于 kT，e0K时，有：,温度不为零时，在与相差kT量级的范围内分布函数发生了变化。热激发将电子激发到能量稍高一些的能级上。,从图中看出，温度T下，同0K时相比，只有在费米能级附近的分布发生了改变。所以：只有费米能级附近的电子对热容量有贡献。,粗略估计以下。假设对热容量有贡献的电子数目为：,利用能量均分定理，金属中自由电子对热容量的贡献为：,在室温范围内，T/TF1/260，所以，电子的贡献很小，可忽略。,对自由电子气体的热容量进行定量计算。化学势由下式决定。,利用右式求出化学势后，可以计算系统的内能：,对于粒子数和内能分别为：,这两个积分式子可以写成：,令,粒子数和内能分别为：,可以证明：,有：,当T0K时，,利用kT/(0)代替 kT/，有：,系统的内能近似为：,热容量近似为：,前面的粗略估计为：两者相差一个系数。,由于费米温度很高，在常温下电子对热容量的贡献可以忽略不计。但是当温度很低时，由于离子振动的贡献按照T3衰减，电子热容量不能忽略不计。以Cu为例，D345K，TF7.8X104 K。,单位时间内，碰到单位面积的金属表面上，动量在dpxdpydpz范围内的电子数目为：,满足x的电子可以摆脱金属的束缚到达金属外。发射电流为：,(六)、热电子发射,在一般情况下，1：,功函数W一般是电子伏特的量级，因此一般在高温下（103K）才会发生可观的热电子发射。功函数越大，发射需要的温度越高。同样的温度下，功函数小的发射电流大。,