《重积分应用》PPT课件.ppt

第四节 重积分应用举例,一、体积,曲顶柱体的体积为：,2空间区域的体积为：,利用二重积分可以计算空间立体的体积.,例1 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,解:设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,被圆柱面,所截得的,解:设,由对称性可知,例2 求球体,(含在柱面内的)立体的体积.,例3 求半径为R的球面:与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.,R,r=2R cos,.,.,M,r,=,二、曲面的面积,设曲面的方程为：,如图，,曲面S的面积元素,曲面面积公式为：,解,例 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,解:设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,则所求体积为,例3、求 x2+y2=a2 与 x2+z2=a2 相截得立体的表面积.,解,例4、求球面x2+y2+z2=a2的表面积.,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,三、质心(重心)1、平面薄片的质心(重心),设有一平面薄片，占有xOy面上的有界闭区域D，其面密度为(x,y)，设(x,y)在D上连续，则由,得平面薄片的重心 为.,当薄片是均匀的，质心称为形心(或中心).,解,因区域 D 关于 y 轴对称，,故形心在 y 轴上，,区域D的面积,回顾定积分公式,2、空间物体的重心,当物体是均匀的，重心称为形心.,四、转动惯量1、平面薄片的转动惯量,薄片对于 x 轴的转动惯量,薄片对于 y 轴的转动惯量,设有一平面薄片，占有xOy面上的有界闭区域D，其面密度为(x,y)，设(x,y)在D上连续，则,薄片对于原点的转动惯量,解,如图建立坐标系：,对 y 轴的转动惯量为：,同理：对 x 轴的转动惯量为：,解,2、空间物体的转动惯量,对于 x 轴的转动惯量：,对于 y 轴的转动惯量：,对于 z 轴的转动惯量：,解,G为引力常数,物体对点 处单位质点的引力,五、引力 1、空间物体对质点的引力,解,由积分区域的对称性知,解,由积分区域的对称性知,薄片对 轴上单位质点的引力,G为引力常数,2、平面薄片对质点的引力,解,由积分区域的对称性知,所求引力为,几何应用：立体的体积、曲面的面积,物理应用：质心、转动惯量、对质点的引力,（注意审题，熟悉相关物理知识）,六、小结,思考题,例3、求 x+y+z=1 被三坐标割线的第一卦限部分的面积.,薄片关于 轴对称,思考题解答,练 习 题,练习题答案,