《重修中值定理》PPT课件.ppt

第三章 中值定理与导数的 应用,一、中值定理,几何解释:,注意:1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,又例如,(3)若f(a)=f(b)=0,则a,b为f(x)的两个零点。,结论：可导函数的两个零点之间至少有一个导,函数的一个零点,2、拉格朗日中值定理,几何解释:,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,注：1 拉格朗日中值公式,推论,2 个重要结论,3、柯西(Cauchy)中值定理,几何解释:,二 典型题型,解,1.验证定理的正确性,这就验证了命题的正确性.,2 根（零点）的判别,1 f(x)=x(x-1)(x-2)，不解方程，问 f(x)有几个零点，位于哪个区间。,解：显然f(x)处处可导，f（0）=f（1）=f（2），由罗尔定理知，,而f(x)是二次多项式，仅有两个根，所以 f(x)有且仅有两个零点，分别位于区间（0，1）、（1，2）内。,（1）,分析：存在（0，a）使（1）成立,证明：令,由罗尔定理，存在（0，a），使,3 中值等式的证明,小结：用罗尔定理证明微分中值等式的一般方法,（1）将欲证等式写成g()=0的形式,（2）观察分析能否将 g()或 g()h()(h()应是一非零因子)看成某函数 F(x)在 x=点的导数.,（3）检验辅助函数 F(x)在所论区间上是否满足罗尔定理的条件，如满足则定理得证。,常用辅助函数：xk f(x)，ex f(x)，f(x)eg(x)，f(x)g(x)(xx0)k f(x)，,（3）,在a,b上连续,在(a,b)内可导，由拉格朗日中值定理得,即,设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导,证明,证明,（4）,证,分析:,结论可变形为,4 证明恒等式,（1）,证,5 不等式的证明,（1）,证,由上式得,二洛必达法则,1、洛必达法则,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,2 洛必达法则II,3 洛必达法则中的条件是充分而非必要的.,例1,解,例2,解,二 例子,所以当x 0时,(1+x)1 x(为实数）,特别地,例3,解,例4,解,例5,解,注:可以先化简并且极限不为0的因子的极限可以先求出.,另解,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.,例6,解,例7 设f(x)二阶可导，求,解：由f(x)二阶可导，知f(x)连续，,但不可再用洛必达法则，,是否存在无法判断。,下一步应利用二阶导数定义：,例1,解,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.,步骤:,例2,例1,解,步骤:,解：原式=,解：,步骤:,例1,解,例2,解,例3,解,一、总结,1 三个中值定理及应用,罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理,二、练习题,1、求极限,1、,3、,解法一：原极限,解法二：先求:,原极限,2 对函数f(x)=x2+2，F(x)=x31在 1,2 上验证柯西定理的正确性。,解：易知 f(x)、F(x)在 1,2 上连续,(1,2)内可导，,这样就验证了柯西定理的正确性。,满足柯西中值定理的条件。,在(1，2)内不为零，,4 中值等式的证明,证明,(3)设 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，证明：存在一点,(a,b)使,证,在a，b上由拉格朗日中值定理得,在a，b上由柯西中值定理得,由(1),(2)得,