757第十一章、矩阵与线性方程组.ppt

第十一章、矩阵与线性方程组,第一节、矩阵的概念与运算第二节、矩阵的初等变换第三节、逆矩阵第四节、方阵行列式,本章学习要求,1、了解矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念.2、理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.3、理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.重点：矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩、线性方程组的解.难点：矩阵的初等变换、矩阵的秩的定义及计算、线性方程组有解的条件及应,第一节、矩阵的概念与运算,一、矩阵的概念二、几种特殊的矩阵三、矩阵的运算,一、矩阵的概念,矩阵是从许多实际问题的计算中抽象出来的一个重要的数学概念，给出矩阵定义之前，先看几个例子.例1 某学校印刷厂印制甲、乙、丙三种类型的作业本，一、二月份的生产与销售情况如下表：,例2 设含有n个未知数，m个方程的线性方程组,如果把它的系数 按原来的位置和顺序写出，就得到一个矩形数表：,方程组（1）完全有它的系数和常数项决定，具体来说，方程组（1）完全有矩阵（2）唯一确定。因此，为讨论方便，常把矩形表（2）作为方程组（1）的代表进行研究。以上的探讨可以得到如下定义.,定义 由 个数 排成 的矩形表,叫做 矩阵，简称 矩阵。,记作,其中 称为矩阵元素，的 第一个下标称为行标,的第二个下标 j 称为列标。矩阵通常用大写英文字母A，B，C或（）（），（）表示。,例如,是一个24矩阵，记作,二、几种特殊的矩阵,1.行矩阵只有一行的矩阵，此时m=1,2.列矩阵只有一列的矩阵，此时n=1,3.方阵行数和列数相等的矩阵,4.零矩阵 所有元素都为零的矩阵，简记作 0 如,5.对角矩阵主对角线上的元素不全为零，其它的元素都为0的方阵，简记作A。,6.单位矩阵主对角线上的元素都是1的对角形矩阵，简记 如：,7.上三角形矩阵主对角线下方元素全为零、上方的元素不全为0的方阵。如：,8.下三角形矩阵主对角线上方的元素全为零，下方的元素不全为0的方阵。,9.同型矩阵：有相同的行数与相同的列数的两个矩阵，称为同型矩阵。如,只有矩阵 A 与矩阵 B 同型,三、矩阵的运算,1.相等矩阵若 A、B两矩阵同型且对应位置上A、B 的元素相等，则称 A、B相等，记作A=B。注意：同型是相等的必要条件。,例2 已知,2.矩阵的转置把矩阵A所有的行依次换成同顺序的列后所得到的矩阵，叫做A的转置矩阵，记作,性质：,3.矩阵的加法定义 设A=(aij),B=(bij)都是 mn 矩阵,矩阵 A 与B 的和记成 A+B,规定为 注意：只有同型矩阵才能相加。,例3 某工厂生产的甲、乙、丙三种产品，一、二两月在A、B、C三个地区的销售如表 销售地销量产品一月二月ABCABC甲982442551944乙391522435338丙221517114020将销售写成矩阵形式为,一、二两月份合计在各地区的销售量如下表,销售地销量产品ABC甲98+5524+1942+44乙39+4315+5322+38丙22+1115+4017+20,一、二两月份合计在各地区的销售量的矩阵形式为,这说明：两个矩阵相加就是把两个矩阵的所有对应元素相加。,类似地，如果我们求一月份比二月份多销售量的产品数，应为,这说明：两个矩阵相减就是把两个矩阵的所有对应元素相减。,矩阵的加法运算满足规律,1.A+B=B+A(交换律)2.(A+B)+C=A+(B+C)(结合律)3.A+0=A4.设A=(aij),记 A=(aij),称 A 为 A 的负矩阵,易知A+(A)=0规定 A B=A+(B)例4 若,求A+B，A-B,例5 已知,4.数乘矩阵,前面例3中二月份各种产品销售量都是一月份两倍则二月份销售量矩阵为,数乘矩阵的运算规律：,5.矩阵的乘法例6 某学校、后两年计划建造教学楼与宿舍楼，有关建筑面积及单位面积材料平均耗用量如下表,因此，明、后两年三种建筑材料的耗用量如下表,上述三个数表用矩阵表示为,可以看出矩阵C中第一行第一列的元素55等于矩阵A的第一行所有元素与矩阵B的第一列各对应元素的乘积之和，即 55=202+101.5矩阵C中第二行第一列的元素90等于矩阵A的第二行所有元素与矩阵B的第一列各对应元素的乘积之和，即90=302+101.5 其余照此类推。矩阵A和B之间的这种关系，可以表达成,定义 设矩阵，定义矩阵A与矩阵B的乘积为 其中 是矩阵A的第 i行所有元素与矩阵B的第 j列各对应元素的乘积之和，即 矩阵A与矩阵B的乘积记作AB，即AB=C求两个矩阵乘积的运算叫做矩阵的乘法。由上述定义可以简记为：,例7 已知,求AB和BA,解：因为A的列数与B的行数相同，所以A与B可以相乘。同理B与A可以相乘。,从以上例题的结果表明：矩阵乘法不满足交换律,例8 已知,验证,矩阵乘法满足以下运算规律,例9 已知,第二节 矩阵的初等变化,一、矩阵的初等变换的概念二、初等矩阵三、矩阵的秩,一、矩阵的初等变换的概念,本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换“初等变换”.首先分析用消元法解线性方程组的初步。例题，解线性方程组,在上面求解过程中我们对方程组依次作了一些变化和化简，所以作的变化有以下三种：（1）交换方程组中某两个方程组的位置；（2）用一个非零的乘以组中的每一个；（3）求出未知数的值；以上例题可记,定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换.（1）对换变换 对换矩阵的任意两行（列）（对换 i,j记作rij)（2）被乘变换 用非零常数 乘以矩阵的某一行（列）（用 乘以第 j行记作rj()（3）被加变换 把矩阵中某一行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）的对应元素上去（第j行的k被加到第 i行上，记作 ri+j(k)矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换.,定义2 若矩阵A经过有限次初等变换后成矩阵B，则称矩阵A与B等价,记作 矩阵之间的等价关系有下列性质:(1)自反性：(2)对称性：(3)传递性：,二、初等矩阵,定义 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵,称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等矩阵.,1.初等对换矩阵对单位矩阵I进行第1种初等变换，即对换I的第 列两行后得到的矩阵,初等对换矩阵 I(i,j)是对单位矩阵I进行对换变换 rij而得到的。,2.初等倍乘矩阵对单位矩阵I进行第2种初等变换，即用非零常数 乘以I的第i 行后得到的矩阵,初等倍乘矩阵 是对单位矩阵I进行倍乘变换，而得到的。,3.初等倍加矩阵对单位矩阵I进行第3种初等变换，即I中的第 j行的K倍加到第i行的对应元素而得到的矩阵,初等倍加矩阵 是对单位矩阵I进行倍加变换，而得到的,例如：设矩阵,对矩阵 进行初等变换行（列）变换相当于对左右乘相应m(n)阶初等矩阵，即（1）对换A的第 i，j两行等同于；（2）用非零常数 乘以A的第 i行等同于；（3）A的第 j乘以常数k加到第i 行等同于,三、矩阵的秩矩阵的秩是一个很重要的概念，在研究线性方程组的解等方面起着非常重要的作用.在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0，每个台阶只有一行即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵阶梯矩阵。例如，,定义 若矩阵A等价于阶梯形矩阵B，则B的非零行的行数r叫做矩阵的秩，记作R（A）r规定R（0）=0(零矩阵0没有非零行),第三节 逆 矩 阵,一、逆矩阵的概念二、逆矩阵的性质三、逆矩阵的求法,一、逆矩阵的概念,在数的运算中，当 时有 在矩阵的运算中，单位阵 I 相当于数的乘法运算中的1,那么，对于矩阵A是否存在一个矩阵 A-1 使得 AA-1=A-1A=I成立？为此有下面的逆矩阵的概念.定义：对于 n 阶方阵 A，如果有一个 n 阶方阵 B 使得AB=BA=I则说方阵A 是可逆的，并把矩阵 B叫做A的逆矩阵，记做A-1。,例如：对于方阵,例1设方阵,二、逆矩阵的性质,由逆矩阵的定义得出可逆矩阵以下性质性质1 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.性质2 矩阵 A-1的逆矩阵是A，即 性质3 若两个同阶方阵A和B都可逆，则AB可逆并且 性质4 若矩阵A可逆，则 性质5 若矩阵A可逆，且数.关于逆矩阵，还有如下的结论：（1）初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍然是初等矩阵。（2）n阶方阵矩阵A是可逆矩阵当且仅当A等价于n阶单位矩阵，当且仅当A表示为若干个初等矩阵的乘积。,三、逆矩阵的求法上面的结论（2）给出了利用矩阵的初等变换求可逆方阵矩阵 的一种方法。如果A可逆，则A必等价于单位矩阵。,例2 求方阵,由逆矩阵的求法可以看出：n阶方阵矩阵A 可逆的充分必要条件是R（A）=n，即可逆方阵的秩等于其阶数。因此，可逆方阵又叫满秩方阵而不可逆方阵叫降秩方阵。为了给出用逆矩阵解线性方程组的方法，下面介绍线性方程组的矩阵表示方法.例如：线性方程组,如果令,则根据矩阵乘法和矩阵相等的概念，可将线性方程组写成AX=B方程中的未知数矩阵X的问题当一个线性方程组的未知数和方程个数相同且其系数矩阵可逆时，可用逆矩阵方法求解。具体方法是：先把线性方程组写成矩阵方程形式，然后在将它的两边都乘，即得 于是，矩阵方程的解，即原线性方程组的解是,例3 解方程组,例4解方程组AXB=C，其中,第四节 方阵行列式,一、方阵行列式的定义二、行列式的性质三、行列式的应用,一、方阵行列式的定义,行列式的理论起源于解线性方程组，因此线性代数中行列式是一个重要的基本工具，本节将介绍行列式的相关知识1.二阶和三阶行列是下面从线性方程组出发学习行列式的概念如,叫做主对角线，从右上角到左下角的对角线叫做次对角线，就是主对角线上的两个元素之积减去次对角线上的两个元素之积的差。即二阶行列式表示排成二行，二列的四个数在规定运算下的一个数值。利用二阶行列式的定义，（2）式中的分母和两个分子可分别表示为,若令,例1 用行列式解线性方组,的余子式 乘以 后，称为元素 的代数余子式，记作 即 这样以来def(A)就可以表示 同样，也单独称 为三阶行列式,三阶行列式同样是在规定运算下的一个数值，而且它的计算可以转化为二阶行列式计算。,叫做三阶行列式的展开式.,aij（i,j=1,2,3)为第i 行第 j列的元素。,利用三阶行列式的概念，当D0时，三元线性方程组（3）的解也同样可以表示为,其中D是方程组（3）的系数行列式，D1,D2,D3 是用常数项b1,b2,b3 构成的一列数分别替换D中第一、第二、第三列的元素所得的三阶行列式，即,线性方程组（1）（3）的唯一解分别称为二元、三元线性方程组求解的克拉墨法则例2 用克拉墨法则解线性方程组,二、行列式的性质,为了进一步讨论二、三阶行列式，下面不加证明地给出行列式的一些基本性质。定义 将三阶行列式 中的行与列依次互换所得到的新行列式 叫做D的转置行列式。显然D也是 的转置行列式,性质1 行列式D与它的转置行列式 相等，即,例如，,说明：在行列式中，行与列具有相同的地位，凡是对行成立性质对列定成立；反之也正确,性质2 对换行列式的任意两行两列，行列式的 值仅改变符号。例如，二阶行列式,推论1 如果行列式中某两行（列）对应元素相同，则此行列式的值为零。,性质3 用一常数K乘行列式的某行（列）的各元素，等于用数K乘此行列式。例如，二阶行列式,推论2 行列式中某一行（列）的各元素的公因子可以提到行列式记号的外面。推论3 行列式中某一行（列）的所有元素全为零，则此行列式的值为零。推论4 行列式中某一行（列）的各元素对应成比例，则此行列式的值为零。,性质4 行列式中某一行（列）的各元素都是两项之和，则此行列式等于把这些两项和各取一项构成相应的行（列）元素，而其余行（列）元素与行列式对应元素相同的两个行列式之和。例如,推论6 行列式中某一行（列）的各元素加上另一行（列）的对应元素的K倍，则行列式的值不变。,例3 利用行列式的性质计算下列行列式：,三、行列式的应用1.逆矩阵的另一种求法以上一个具体实例给出逆矩阵的另一种方法。例4 求三阶方阵的逆矩阵,同理，方程组（2）和（3）的解为,一般得，设n阶方阵A=(aij)的行列式 则A有唯一的逆矩阵存在，且,例7 求矩阵的逆矩阵：,解 因为,