《选择函数形式》PPT课件.ppt

第六章 双变量线性回归模型的延伸,目 录,6.1 过原点回归6.2 尺度与测量单位6.3 标准化变量的回归6.4 回归模型的函数形式6.5 怎样测度弹性：对数线性模型6.6 半对数模型：线性到对数与对数到线性模型6.7 倒数模型6.8 函数形式的选择6.9 关于随机误差项的性质,6.2 尺度与测量单位,1988-1997年美国私人国内总投资与国内生产总值GPDIBL=以1992年10亿美元计私人国内总投资GPDIM=以1992年百万美元计私人国内总投资GDPB=以1992年10亿美元计国内生产总值GDPM=以1992年百万美元计国内生产总值,假使在GPDI和GDP的回归中某一研究者使用以10亿美元计的数据，而另一研究者使用以百万美元的同样变量的数据。这两种情形的回归结果是否会是一样的？为了回答Y和X的测量单位是否会造成回归结果的任何差异这个问题，我们令：其中Y=GPDI，X=GDP。定义：其中w1 和w2 为常数，称为尺度因子(scale factors)，w1 和w2 可以相等或相异。如果Y 和X 是以10亿美元度量的而现在改用百万美元去表示，则有,现考虑使用如下回归：其中我们要找出以下每组变量之间的关系式：,把OLS法应用于新的回归我们得到：容易证明：,由此可以看出，当尺度因子相同时，即 时，斜率系数及其标准差不受尺度从 变到 的影响。截距及其标准差放大或缩小了w1 倍。若X尺度不变（即w2=1），而Y的尺度按因子w1 改变，则斜率和截距系数以及各自的标准差都要乘以因子w1。若Y尺度不变（即w1=1），而X尺度按因子w2 改变，则斜率系数及其标准误要乘以因子1/w2，截距系数及其标准差不变。,一个数值例子：1988-1997年美国GPDI与GDP的关系,GPDI和GDP都以10亿美元计算：GPDI和GDP都以百万美元计算：如理论所示，(6.2.22)中截距及其标准差都是回归（）中相应值的1000倍（w1=1000），但斜率系数及其标准差不变。,一个数值例子：1988-1997年美国GPDI与GDP的关系,若GPDI以10亿美元计算而GDP以百万美元计算：仅X改变尺度w2=1000，所以斜率系数及其标准差是（）中的1/1000倍。若GPDI以百万美元计而GDP以10亿美元计算：如理论所示，X尺度不变，Y 按w1 改变，截距和斜率系数及其标准差都是它们在（）中的1000倍。,为结果的解释进一言,因为斜率系数 无非就是变化率，它的单位就是如下比率的单位：因变量Y的单位 解释变量X的单位 例如在回归（）中，斜率系数0.3016的意义是，GDP每改变一个单位，即10亿美元，GPDI平均改变0.3016个10亿美元。在回归（）中，GDP的一个单位即1百万美元的变化，平均导致GPDI的0.000302个10亿美元的变化。当然，这两个结果从它们的GDP对GPDI的影响看是完全相同的；只不过用不同的测量单位来表示而已。,6.3 标准化变量的回归,刚才我们看到回归子和回归元的单位会影响到回归系数的截距。如果我们把回归子和回归元表示成标准化变量，这种影响就可以避免。于是，在Y对X的回归中，如果我们把这些变量重新定义为：其中=Y的样本均值，=Y的样本标准差，=X的样本均值，=X的样本标准差。变量 和 被称为标准化变量(standardized variables.),标准化变量的一个有趣特征是，其均值总是0，标准差总是1.注：样本方差自由度为n-1，因为样本中如果知道了均值，那么只需要知道其他n-1个数就可以把样本中每个数都确定了。,于是我们对标准化变量做回归：由于对标准化的回归子和回归元做回归，所以截距项总是零。（截距=因变量的均值-斜率*回归元的均值，对标准化变量而言，因变量和回归元的均值都是零。）（）是一个过原点的回归。标准化变量的回归系数（、表示）被称为系数。如何解释系数呢？其解释是，如果标准化回归元增加一个单位的标准差，则标准化回归子平均增加 单位个标准差（标准化变量的标准差为1）。与传统模型不同，我们度量的变量影响用标准差为单位。,（）,回到上一例：其中GPDI和GDP以10亿美元计。标准化变量的回归结果为：解释（）：若GDP提高1美元，则GPDI平均提高0.3美元.解释（）：若GDP增加一个标准差，则GPDI平均约增加0.94个标准差。,标准化回归模型与传统模型相比有什么优势？1.若不止一个回归，我们就能将它们放在同等地位直接进行比较。2.可以用系数作为各个回归元相对解释力的一种度量。如果一个标准化回归元的系数比模型中另一个标准化回归元的系数大，那么前者就能比后者更多的解释回归子。注意：传统模型的系数与这里的系数之间存在关系，在双变量情形中，这种关系如下：因此，若知道回归元和回归子的样本标准差，则可以将两个系数相互转换。,6.4 回归模型的函数形式,如第3章指出的，本课程主要考虑对参数为线性的模型，对变量则可以是或不是线性的。在下面的几节中，我们考虑一些常用的回归模型，它们也许对变量是非线性的，但对参数是线性的。或者可通过适当的变量代换而转变为对参数线性。具体讨论如下的回归模型：1.对数线性模型2.半对数线性模型3.倒数模型4.对数倒数模型,6.5 怎样测度弹性：对数线性模型,考虑以指数回归模型命名的如下模型：可表达为如果写成其中，这个模型就是对参数和2 为线性，并且对变量Y和X的对数为线性，从而可用OLS回归来估计。由于这一的线性性质，这种模型本称为对数-对数（log-log），双对数（double log）或对数线性(log-linear)模型。,（）,如果经典线性回归模型的假定均得到满足，则可用OLS法估计（）中的参数。令其中，。所得的OLS估计量 和 将分别是和2 的最优线性无偏估计量。对数-对数模型一个使它普通应用的特点，是斜率系数2 测度了对的弹性，也就是由给定的的百分比的变化引起的的百分比的变化。比如说，代表对某一商品的需求量，代表其单位价格，则2 测度了需求的价格弹性。如图：图6.3(a)给出了需求量与价格的关系，6.3（b)给出了价格弹性（-2）的估计。,图.不变弹性模型,对数线性模型的特点,1.该模型假定Y与X之间的弹性系数2在整个研究范围内保持不变，因此又名不变弹性模型(constant elasticity model)。2.虽然 和 是和2 的无偏估计量，但1 进入原始模型的参数估计 本身是一个有篇估计量。然而在大多数实际问题中，截距项都居于次要地位，我们没有必要为得到一个无偏估计量而发愁。在双变量模型中，决定对数线性模型能否拟合好数据的简单办法，是描绘出lnY 对lnX 的散点图，看是否差不多落在如图6.3（b）那样的直线上。,例：耐用品支出与个人消费总支出之间的关系,表6.3给出了个人消费总支出（personal consumption expenditure,PCEXP）、耐用品支出（expenditure on durable goods,EXPDUR）、非耐用品支出（expenditure on nondurable goods,EXPNONDUR）和劳务支出（expenditure on services,EXPSERVICES）。假设我们想求耐用品支出（EXPDUR）对个人消费支出（PCEXP）的弹性。将耐用品支出的对数相对个人消费支出的对数描点。将看到二者之间存在线性关系。因此，双对数模型可以适用。,运用定义变量：series lnexdur=log(expdur)series lnpcex=log(pcexp),回归结果如下：其中*表示p值极小。如结果所示，EXDUR对PECX的弹性约为1.90这表明，若个人消费支出提高1%，耐用品支出则提高约为1.9%。因此，耐用品支出很容易受到个人消费支出变动的影响。这就是耐用品生产者总是关注个人收入和个人消费支出变动的原因之一。,6.6 半对数模型：线性到对数与对数到线性模型,经济学家，企业人员与政府常常对某些经济变量，如人口、GNP、货币供给、就业、生产力、贸易赤字等等的增长率感兴趣。假设我们相对表6.3中的数据求出个人劳务消费支出的增长率。令Yt 表示t时期对劳务的真实支出，Y0 表示劳务支出的初始值。复利公式：其中r是Y在时间上的复合的增长率。去自然对数，得现假设：则,怎样测量增长率：线性到对数模型,加一个干扰项得：此模型和任何其他线性模型一样，也是对参数为线性的。唯一的区别，在于回归子是Y的对数而回归元是取值为1、2、3等的“时间”。此模型称为半对数模型（semilog model）,因为只有一个变量以对数形式出现。为便于叙述，只是回归子取对数的模型叫做线性到对数模型。区别之前讲的对数线性模型（意为取对数后为线性）。稍后将考虑回归子是线性而回归元是对数的模型，称为对数到线性模型。,在此半对数模型中，斜率系数度量了给定回归元（在本例中为时间变量t）取值的绝对改变时Y的恒定比例或相对改变量，也就是：（）如果将Y的相对该变量乘以100，则（）将给出相对于回归元X的绝对改变量的、Y的百分比变化或增长率。即100乘以2 给出Y的增长率。100乘以2 在文献中被称为Y对X的半弹性(semielasticity)。,回归子的相对改变量,回归元的绝对改变量,例：劳务支出的增长率,根据增长模型，考虑表6.3中给出的劳务支出数据，得到回归结果如下：解释：1993年第1季度到1998年第3季度期间，劳务支出以（每季度）0.743%的速度增加。粗略的讲，这等于2.97%的年增长率。截距项7.7890=研究期初EXS的对数，所以取其反对数则得到EXS期初值（1992年第4季度末）为2413.90（单位为10亿美元）。如图是方程给出的散点图。,图6.4 1972-1991年美国实际GDP的增长：半对数模型,瞬时与复合增长率。增长模型 中的2 给出瞬时（指一个时点）的增长率而不是复合（指一个时期）增长率。只需取2 估计值的反对数，再减1，再乘以100%.对于该例，估计的斜率系数为0.00743。因此（antilog(0.00743)-1）=(e0.00743-1)=0.00746或0.746%。因此，在该例中，劳务支出的复合增长率约为每季度0.746%，略高于0.743%的瞬时增长率。这是由于复合效应所致。,线性趋势模型。有时研究者不去估计增长模型，而估计如下模型：不做lnY对时间的回归，而是做Y对时间的回归。该模型称为线性趋势模型（linear trend model），并且把时间变量t取名为趋势变量（trend variable）。趋势的意思，是一个变量的行为中一种持续上升或下降的运动。如果上式中的斜率系数为正，则Y有一种上升趋势，如果它是负的，则Y有一下降趋势。,考虑劳务支出数据，拟合线性趋势模型的结果如下：该结果释义如下：在1993年第1季度至1998年第3季度期间，劳务支出以每季度约200亿美元的速度增加。即劳务支出有上涨的趋势。增长模型与线性趋势模型之间的取舍，有赖于人们对实际GDP的相对或绝对变化的偏好。尽管对于许多研究目的来说，相对变化更为重要。,在增长模型中，我们感兴趣的是对X的一个绝对单位的变化，Y的百分比增长。现在我们感兴趣的是对X的一个百分比变化，找出Y的绝对变化量。这一模型可写为：我们把这一模型称为对数到线性模型。斜率系数2 一个数的对数变化就是它的相对变化。,对数到线性模型,Y的变化,lnX的变化,Y的变化,X的相对变化,用符号表示或这个方程即是说Y的绝对变化等于2 乘以X的相对变化。如果后者乘以100，则该式给出了X变化1%时Y的绝对变化量。例如 变化0.01个单位（或1%）时，Y的绝对变量是。例如2=500，那么Y的绝对变化量是0.01（500）=5.0因此，当人们用OLS来估计类似 的回归时，要将斜率系数的估计值乘以0.01.,例：印度食物支出,回归例3.2有关印度食物支出的例子。若描点则得到图6.5中的散点图。,恩格尔支出模型德国统计学家Ernst Engel提出：用于食物的总支出以算术级增加，而总支出以几何级数增加。如图所示，食物支出比总支出增加的更缓慢，这可能是恩格尔法则的凭证。将数据拟合到对数线性模型的结果如下：约等于257的斜率系数意味着总支出每提高1%，导致样本中的55个家庭的食物支出平均增加约2.57卢比（注意：将斜率系数乘以0.01）。注意一旦一个模型的函数形式已知，就可根据该定义计算弹性。,弹性,6.7 倒数模型,属于以下类型的模型均称为倒数（reciprocal）模型。（）虽然此模型对变量X是非线性的，但模型对1 和2 却是线性的，因此它是一个线性回归模型。特点：随着X无限增大，项趋于零，而Y趋于极限或渐进值1。因此像（）这样的模型在结构上有一内在的渐近线或极限值。当变量X值无限增大时因变量将取此极限值。如图为与（）相符的一些可能形状。,图6.6 倒数模型,图6.7 64个国家中儿童死亡率与人均GNP的关系,考虑表6.4中给出的数据，目前主要考虑儿童死亡率（CM）和人均GNP这两个变量，描出相应的点如上图。此图与图6.6(a)相似：假定所有其他变量保持不变，随着人均GNP的提高，预计儿童死亡率会因人们能承担更多的健康医疗费用而下降。但这种关系不是一条直线：随着人均GNP的增加，CM首先明显下降，但随着人均GNP继续增加，CM的下降逐渐减弱。如果我们试图拟合倒数模型，得到如下回归结果：（inv:reciprocal,1/x）随着人均GNP无限增加，儿童死亡率趋近其渐进值，每千人中死亡82人。（1/PGNP）的正系数意味着CM与PGNP反向变化。,图6.6（b）的重要应用之一，是宏观经济学中著名的菲利普斯曲线。如图6.8表明，工资变化对失业水平的反应，存在有不对称性：当失业率低于自然失业率（被定义为保持通货膨胀不变所需要的失业率）Un 时，由失业的单位变化引起的工资上升，要快于当失业率高于自然水平时，由失业的同样变化引起的工资下降。而1 表示工资变化的渐进底线。菲利普斯曲线的这一具体特征可能源于工会的讨价还价能力、最低工资规定、失业补贴等制度因素。,货币工资变化率，%,自然失业率,失业率，%,菲利普斯曲线几经演变，一个相对近期的表述由Olivier Blanchard提供。令 表示t时期的通货膨胀率，其定义是价格水平（如消费者价格指数CPI）的百分比变化，令 表示t时期的失业率，则现代版的菲利普斯曲线表述如下：其中=第t年的实际通货膨胀率=在第（t-1）年对第t年通货膨胀率的预期=第t年的实际失业率=第t年的自然失业率由于 不能直接观测，所以可以简化假定，即今年的预期通货膨胀率为去年的通货膨胀率。,将这个假定带入（），并写成标准形式：其中。该式说明，两个时期之间通货膨胀率的变化域当前的失业率线性相关。据经验，预计2 为负，而1 为正。顺带一提，（）中的菲利普斯曲线在文献中被称为修正的菲利普斯曲线或加速主义者菲利普斯曲线（表明低失业率导致通货膨胀上升，并因而成为价格水平的。加速器）表6.5给出1960-1998年间的通货膨胀率和失业率数据，其中通货膨胀由消费者价格指数的逐年百分比（CPI膨胀）来度量，失业率指城市失业率。我们从数据可得通货膨胀率的变化，并相对城市失业率描点。Eviews中 由差分表示：data inflrate1/inflrate1=D(inflrate),图6.9 修正的菲利普斯曲线,通过图6.9可以看出，恰如所料，通货膨胀率变化和失业率之间存在负向关系低失业率导致通货膨胀率的提高，并因此使价格水平加速提升，加速主义者菲利普斯曲线因此得名。从图中并不能看出是直线回归模型还是一个倒数回归模型，我们做如下回归：线性模型倒数模型这两个模型的所有估计系数都是个别统计显著的，所有的p值都低于0.005的水平。,模型（）表明，若失业率下降1个百分点，则通货膨胀率平均上升约0.7个百分点，反之亦然。模型（）表明，即便失业率无限增加，通货膨胀率的最大变化也只下降约3.25个百分点。从方程（）可以计算出其背后的自然失业率：即自然失业率为6.06%。经济学家认为自然失业率介于5%到6%之间。,对数双曲线或对数倒数模型,通过考率如下形式此为对数倒数模型。如图所示Y首先以递增的速度增加，然后以递减的速度增加。这样的模型可能适合于短期生产函数模型。如果劳动和资本是一个生产函数的投入，而且我们保持资本投入不变但增加劳动投入，则产出与劳动之间的短期关系就类似该图。,6.8 函数形式的选择,在双变量情形中，通过描点就能基本上知道哪个模型合适，但涉及到多元回归模型时，选择将困难的多。在对经验估计选择适当模型时，需要大量技巧和经验，但仍有一些指导原则可供参考：1.模型背后的理论（如菲利普斯曲线）可能给出一个特定的函数形式。2.最好能求出回归子Y相对回归元X的变化率（即斜率）和回归子Y对回归元X的弹性。如表6.6 给出了各种模型的斜率和弹性系数公式：,表6.6,线性,对数线性,线性到对数,对数到线性,倒数,对数倒数,模型,方程,斜率,弹性,3.所选模型的系数应该满足一定的先验预期。如考虑汽车的需求是价格和其他变量的函数，那我们应该预期价格变量的系数为负。4.有时不止一个模型能不错的拟合一个给定的数据集。如在修正的菲利普斯曲线一例中，我们对同样的数据拟合了一个线性模型和一个倒数模型。在两种情况下，系数都与先验预期一直，也都是统计上显著的。一个重要区别在于，线性模型的r2 值比倒数模型的r2 大。因此人们略微倾向于使用线性模型。但注意，在比较两个r2 时，两个模型的因变量必须相同，解释变量可采用任何形式。5.不应该过分强调r2 这一度量，并非模型的r 2 越大越好。下一章会讨论，在模型中添加更多的回归元，r 2 会不断增大。,6.9 关于随机误差项的性质的注记,考虑如下回归模型：这是一个没有误差项的模型，为了估计的目的，可把此模型表达成三种不同形式：,对这些方程两边取对数得：其中像（）这样的模型本质上是线性回归模型，因为通过适当的变换即可将该模型变成对参数和2 是线性的。但模型（）本质上对参数非线性，因为ln(A+B)不等于lnA+lnB。没有对其取对数的简单方法。虽然（）和（）同是线性回归模型，都可用OLS法加以估计，但要记得OLS的BLUE性质要求ui 有零均值、恒定方差和零自相关。还假定ui 是正态分布的。,要点与结论,1.有时一个回归模型并不明显含有截距项。这样的模型被称为过原点归回。除非有很强的理论原因，否则还是在模型中引入一个截距为好。2.因为单位和尺度是回归系数赖以解释的关键，所以用什么单位和尺度来表达回归子和回归元很重要。研究者不仅要注明数据的来源，还要声明变量是怎样度量的。3.同样重要的是，回归子与回归元之间的函数关系。本章讨论了一些重要的函数形式：（a）对数线性或恒定弹性模型。（b）半对数回归模型。（c）倒数模型。4.在对数线性模型中，回归子和回归元都用对数形式来表达。对数回归元的回归系数被称为回归子对回归元的弹性。,要点与结论,5.在半对数模型中，回归子或回归元以对数形式出现。在回归子为对数回归元为时间的半对数模型中，所估计的斜率系数度量回归子的瞬时增长率。这样的模型常被用来度量许多经济现象的增长率。在回归元是对数形式的半对数模型中，它的系数测出回归元取值的给定百分比的变化所引起的回归子的绝对变化率。6.在倒数模型中，将回归子或回归元表达为倒数或反比形式，以刻画经济变量之间的非线性关系，如同著名的菲利普斯曲线。,习 题,6.3 考虑如下回归模型：注：Y和X都不为零。A.这是一个线性回归模型吗？B.你怎样估计这个模型？C.随着X趋向无穷大，Y有怎样的行为？D.你能给出一个该模型可能适用的例子吗？,6.11 考虑如下模型它表示一个线性回归模型吗？若否，你能用什么技巧使其变成一个线性回归模型？,6.13 给定数据如表6.7所示：用以下模型去拟合这些数据并求出通常的回归统计量。,6.14 为了度量资本投入和劳动力投入之间的替代弹性，当今著名的CES（恒定替代弹性，constant elasticity of substitution）生产函数的作者Arrow、Chenery、Minhas和Solow用了以下模型：其中（V/L）=单位劳动力的附加值 L=劳动力投入 W=实际工资率系数2 度量着劳动力与资本之间的替代弹性（因素的比例变化/因素相对价格的比例变化）。用表6.8给出的数据，验证估计的弹性是1.3338，并且它在统计上与1无显著差异。,