《达朗贝尔公式》PPT课件.ppt
1,两个求导公式,1 关于一元函数含参变量积分的求导公式,2 关于二元函数含参变量积分的求导公式,2,第三章 行波法与积分变换法,本章我们将介绍另外两个求解定解问题的方法，,一是行波法(或达朗贝尔解法)，二是积分变换法。,行波法只能用于求解无界区域内波动方程的定,解问题。,虽有很大的局限性，但对于波动问题有其,特殊的优点，所以该法是数理方程的基本解法之一。,积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无,界区域，但对于有界区域也能应用。,3,3.1 达朗贝尔公式.波的传播,3.1.1 弦振动方程的达朗贝尔解法,如果我们所考察的弦线长度很长，,而我们需要,知道的又只是在较短时间且离开边界较远的一段,范围内的振动情况，,那么边界条件的影响就可以,忽略。,不妨把所考察弦线的长度视为无限，而需,要知道的只是有限范围内的振动情况。,此时，定解问题归结为如下形式：,(1),(2),4,(1),(2),对于上述初值问题，由于微分方程及定解条件,都是线性的，所以叠加原理同样成立。,(3),(4),(5),(6),即如果,和,分别是下述初值问题,和,的解，,则,是原问题(1)(2)的解。,5,(3),(4),首先我们考察问题(3)(4).,通过自变量变换求解。,为此，令,(7),其逆变换为,(8),用,记新的未知函数，则,6,(3),(4),(7),利用复合函数微分法则，得到,同理可得,(9),(10),将(9)(10)代入方程(3)化简即得,7,(3),(4),(7),将(9)(10)代入方程(3)化简即得,(11),方程(11)可以通过积分法直接求解。,先关于,积分一次，,积分一次，便可得到方程(11),再关于,的通解为,(12),其中,都是具有二阶连续导数的任意函数。,再将自变量变换(7)代入(12)则可得,8,(3),(4),方程(3)的通解可表示为,(13),下面，我们利用初始条件(4)来确定通解(13)中,的任意函数,将(4)代入(13)得,(14),(15),再将(15)式两边积分得,(16),其中,是任意一点，而,是积分常数。,9,(3),(4),方程(3)的通解可表示为,(13),(14),(16),由(14)和(16)变形得,(17),把(17)代入通解式(13)得初值问题(3)(4)的解,10,(3),(4),方程(3)的通解可表示为,(13),(17),这种求解方法称为达朗贝尔解法。,(18),这个公式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式，,或称达朗贝尔解。,11,3.1.2 达朗贝尔解的物理意义,和,的两个函数之和,(13),(3),(4),从通解(13)式可见，自由弦振动方程的解，可,以表示成形如,通过它们可以清楚地看出波动传播的性质。,先考察,(19),显然它是方程(3)的解。,给,以不同的值，就可以,看出弦在各个时刻相应的振动状态。,12,3.1.2 达朗贝尔解的物理意义,(13),(3),(4),先考察,(19),在,时，,它对应于初始时刻的,振动状态,(相当于弦在初始时刻各点的位移状态)，,如图3.1实线所示,图3.1,13,3.1.2 达朗贝尔解的物理意义,(13),(3),(4),先考察,(19),经过时间,后，,在,它相当于原来的图形,平面上，,向右平移了一段距离,图3.1,14,3.1.2 达朗贝尔解的物理意义,(13),(3),(4),随着时间的推移，这个图还将不断地向右移动，,这说明当方程(3)的解表示成,的形式时，,振动的波形是以常速度,向右传播，,图3.1,15,3.1.2 达朗贝尔解的物理意义,(13),(3),(4),因此，由函数,右传播波。,的解，称为左传播波,它描述的振动波形是以常速度,向左传播。,所描述的振动规律，称为,同样，形如,图3.1,16,3.1.2 达朗贝尔解的物理意义,(13),(3),(4),由此可见，通解(13)表示弦上的任意扰动总是,以行波形式分别向两个方向传播出去，,正好是方程(3)中出现的常数,其传播速度,达朗贝尔解法又称为行波法,图3.1,17,练习,用行波法求解下列定解问题,解,振动方程的通解为,其中,都是具有二阶连续导数的任意函数。,下面，我们利用边界条件来确定通解中的任意,函数,首先由条件,令,18,练习,用行波法求解下列定解问题,解,振动方程的通解为,利用条件,令,19,练习,用行波法求解下列定解问题,解,振动方程的通解为,将,代入通解公式即得定解问题的解为,20,(3),(4),(18),3.1.3 依赖区间、决定区域和影响区域,初值问题(3)(4)的解在一点,的数值与初值,条件在,轴上哪些点的值有关？,从达朗贝尔公式(18)可以看到，,解在,点的,数值仅依赖于,轴的区间,上的初值,条件，而与其他点上的初值条件无关，,这个区间,称为点,的依赖区间。,21,(3),(4),(18),3.1.3 依赖区间、决定区域和影响区域,它是过,点分别作斜率为,轴所交截得的区间，,的直线与,如图3.2所示。,依赖区间,图3.2,22,(3),(4),(18),3.1.3 依赖区间、决定区域和影响区域,考虑初始轴,上的一个,区间,过点,作斜率,为,的直线,过点,为,的直线,作斜率,过点,为,的直线,它们和区间,一起构成一个三角形,区域，如图3.3所示。,图3.3,23,(3),(4),(18),3.1.3 依赖区间、决定区域和影响区域,区域中的数值完全由区间,此三角形区域中任一点,图3.3,的依赖区间都落在区间,内部，,因此，解在三角形,上的初值条件决定，,而与此区间外的初值条件无关。,24,决定区域,(3),(4),(18),3.1.3 依赖区间、决定区域和影响区域,即给定区间,此三角形区域称为区间,图3.3,的决定区域。,上的初值,条件，就可以在其决定区域中决定,初值问题(3)(4)的解。,25,(3),(4),(18),3.1.3 依赖区间、决定区域和影响区域,问题：,如果在初始时刻,图3.4,扰动仅在一有限,区间,上存在，,则,经过时间,后，它所影响,到的范围是什么呢？,我们知道，波动是以一定的速度,向两个方向传播,26,(3),(4),(18),3.1.3 依赖区间、决定区域和影响区域,因此，经过时间,图3.4,后，它所,传到的范围(受初始扰,所限定，,而在此范围之外仍处于静止状态。,动影响到的范围)由,不等式,(20),27,(3),(4),(18),3.1.3 依赖区间、决定区域和影响区域,影响区域,图3.4,在,平面上，(20)式,(20),所表示的区域称为区间,的影响区域，如右图,在此区域中，初值问题的解,的数值是受到区间,上初值条件的影响的；,28,(3),(4),(18),3.1.3 依赖区间、决定区域和影响区域,影响区域,图3.4,在,平面上，(20)式,(20),所表示的区域称为区间,的影响区域，如右图,在此区域外，初值问题的解,的数值则不受区间,上初值条件的影响。,29,(3),(4),(18),3.1.3 依赖区间、决定区域和影响区域,图3.5,特别的，将区间,(20),收缩为一点,的影响区域，如右图,为过此点的两条斜率各为,则可得,的直线,一点,影响区域,所夹成的角形区域。,30,(1),(2),(3),(4),(5),(6),为了求解问题(5)(6)，我们利用齐次化原理，,把非齐次方程的求解问题化为相应的齐次方程,的情况来处理，,从而可以直接利用前面有关齐,次方程的结果。,31,(5),(6),3.1.4 齐次化原理,齐次化原理,若,是初值问题,(21),的解(其中,为参数),则,(22),就是初值问题(5)(6)的解。,32,(5),(6),(21),(22),(23),令,并记,则问题(21)可化为如下形式：,33,(18),(22),(23),令,并记,则问题(21)可化为如下形式：,由达朗贝尔公式(18),知问题(23)的解为,34,(5),(6),(22),由,将变量还原得,(24),再将(24)代入公式(22)即得初值问题(5)(6)的解,(25),(5),(6),(25),事实上，由(25)确定的函数确是问题(5)(6)的解,二元函数含参变量积分的求导公式:,35,36,(5),(6),(25),事实上，由(25)确定的函数确是问题(5)(6)的解,当,具有一阶连续导数时，由(25)式可得,37,(5),(6),(25),38,(5),(6),(25),于是,再验证初始条件(6)。,即(25)满足方程(5)。,由(25)式及,可得,以上证明了由(25)确定的函数确是初值问题(5)(6)的解。,的表达式,39,(18),(25),(26),(1),(2),由叠加原理，可得定解问题(1)(2),解可表示为,40,例,求解下列初值问题,解,由公式(26)得,(26),41,内容小结,(3),(4),(18),1,无限长弦自由振动问题,的达朗贝尔解为公式,(13),其中方程(3)的通解形式为,行波法或达朗贝尔解法,42,内容小结,2,无限长弦强迫振动问题,的解为公式,(1),(2),(26),43,内容小结,3,达朗贝尔解的物理意义,依赖区间,决定区域,影响区域,影响区域,
