《调性与极值最值》PPT课件.ppt

第四节,一、函数单调性,二、函数的极值,函数的单调性与极值,o,x,x,o,y,y,则能否用导数的符号来判断函数的单调性呢?,当曲线为上升(或下降)时,其上各点切线与x轴正向夹角为锐角(或钝角),则其切线斜率tan是非负(或非正)的.,根据导数的几何意义知函数(x)单调增加(或减少)时,有,可见函数的单调性与导数的符号有关.,一、函数的单调性,1、函数单调性的判定法,(a,b)可导.若在(a,b)内，恒有,定理1 设函数,则 在 a,b内单调增加,(减少).,在闭区间 a,b内连续,在开区间,注：如果函数在个别点处导数为零,其余各地处都为正（或负），那么函数在该区间上仍是单调增（或 单调减少）的.,例如,若函数在其定义域的某个区间内单调的，则该区间称为函数的单调区间.,例2.确定函数,的单调区间.,(1)证明不等式:,例3 证明：当 时，,2、函数单调性的应用,利用单调性:关键是根据所给条件及区间构造辅助函数,并讨论它在指定区间内的单调性.,例4 证明方程,(2)判断方程根的个数:,在区间(-1,0)内有且只有,一个实根.,练习 证明：当 时，,作业,P 129 21(2)，(4)，24(2),(1),则称 为 的极大值点,称 为函数的极大值;,(2),则称 为 的极小值点,称 为函数的极小值.,极大值点与极小值点统称为极值点.,1、极值的定义,二、函数的极值,设函数 y=f(x)在点x0 的某邻域内有定义.,如果对该邻域内任意的 x()总有,而极大值与极小值统称为极值.,y,o,x,y=(x),M,m,a,b,2、函数极值的判定与求法,可导函数的极值点必为驻点,反之是否成立？,因此，函数的极值点只可能在函数的驻点和不可导点取到,o,x,y=|x|,定理 2(极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,则,因此求极值的一般步骤为:,(1)给出定义域,并找出函数的驻点及连续不可导点，将定义域划分为小区间;,(2)考察这些点两侧导函数的符号，从而确定极值点;,(3)求出极值点的函数值,即为极值.,例2求函数,的极值.,定理3(极值第二判别法),二阶导数,且,则 在点 取极大值;,则 在点 取极小值.,若(x)在驻点 处的二阶导数,则该判别法失效.,对于一阶导数,二阶导数不存在的点,不能用第二判别法判定.,故第一判别法 比第二判别法 更普遍.(只需点连续即可),定理3(极值第二判别法),二阶导数,且,则 在点 取极大值;,则 在点 取极小值.,作业：P13025(1)(4)26(2),第五节、最值问题,y,o,x,y=(x),M,m,a,b,极值点或端点,第五节、最值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到.,求函数最值的方法:,(1)求 在 内的极值可疑点,(2)最大值,最小值,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值,则也是最大 值.,(小),(小),在实际问题中,若由分析得知确实存在最大值或最小值,而所讨论的区间内仅有一个可能的极值点,那么这个点的函数值一定是最大值或最小值.,例2.设圆柱形有盖茶缸容积V为常数,求表面积为最小时,底半径 r 与高 h 之比.,h,r,解 设表面积为s,则目标函数为,作业：P130 28(3),30,则其最值只能,在极值点或端点处达到.,当 在 内只有一个极值可疑点时,若在此点取极大 值,则也是最大 值.,(小),(小),在实际问题中,若由分析得知确实存在最大值或最小值,而所讨论的区间内仅有一个可能的极值点,那么这个点的函数值一定是最大值或最小值.,课堂小结,例3.求函数,的极值.,解:1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故 为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,若,定理 设函数,则 在 I 内单调递增,(递减).,在开区间 I 内可导,课堂小结,一、单调性,二.连续函数的极值,(1)极值可疑点:,使导数为0 或不存在的点,(2)第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3)第二充分条件,为极大值,为极小值,求极值的一般步骤为:,(1)给出定义域,并找出函数的驻点及连续不可导点，将定义域划分为小区间;,(2)考察这些点两侧导函数的符号，从而确定极值点;,(3)求出极值点的函数值,即为极值.,作业：P13025(1)(4)26(2),练习:求函数 的极值.,个驻点,例1.证明,时,成立不等式,证:令,从而,因此,且,证,*证明,令,则,从而,即,例2 求函数 的极值.,故函数有极大值(0)=0.函数有极小值,