《若干初等函数类》PPT课件.ppt

高等数学,中州大学基础科学学院数学教研室,第四节 若干初等可积函数类,一、有理函数的积分,三、无理函数的积分,二、三角函数有理式的积分,有理函数：,两个多项式的商表示的函数称之有理函数,一、有理函数的积分,称为真分式；,称为假分式,利用多项式除法,假分式可以化成一个,例如,多项式和一个真分式之和,多项式的积分是容易的，于是有理函数,的知识有如下定理,的积分只须考虑真分式的积分根据代数学,定理 设 分别为 次实系数,多项式，且已知 可因式分解为：,一组常数,使,定理表明，真分式可以分解为下列两类分式,（称为最简分式）之和：,第一类：,第二类：,的积分把真分式如何化成最简分式，具体,因此，真分式的积分化为上述两类最简分式,步骤如下：,第一步：将 在实数范围内分解成,一次和二次质因式的乘积，分解结果只含,两种类型的因式：一种是，另一种,是，其中，,、为正整数,分式是指这样一种简单分式，其分母为一次,式或二次质式的正整数次幂）具体方法是：,第二步：按照 的分解结果，将,真分式 拆成若干个部分分式之和（部分,若 有因式，则和式中对应,地含有以下 个部分分式之和：,若 有因式，则和式中对应,地含有以下 个部分分式之和：,为待定常数，可通过待定系数法,求得即,（1）分母中若有因式，则分解后为,（2）分母中若有因式，其,如下：,最简分式中的待定系数如何确定，举例说明,例1 将真分式 分解成最简分式,之和,解 分母，由,定理，设,右边通分，得,比较等式左右两端的分子中 同次幂的,系数，得,即,得到待定系数的值,也可给 一些特殊的值（即称为赋值法），,于是,消去分母，得,令，得，故,令，得，故,于是,例2 将真分式 分解成最简分式之和,解 由定理，设,消去分母，得,令，得，故,令，得，故,令，得,故,于是,例3 将真分式 分解成,解 由定理，设,最简分式之和,消去分母，得,或,比较等式左右两端中 同次幂的系数，得,于是,真分式的积分归结为两类最简分式的积分，有,第一类：,第二类：,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解 设,消去分母，得,令，得，故,令，得，故,令，得，故,于是,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,解,例10 求,解,例11 求,解,例12 求,以三角函数为变元的有理函数，统称为三角,二、三角函数有理式的积分,函数有理式记为,对三角函数有理式的不定积分,作如下变换（称为万能变换）：,设,则有,，且,于是,例13 求,例14 求,解（一）令,解（二）令,解（三）,例15 求,解,讨论类型,解决方法：,作代换去掉根号,例16 求,解 令,三、简单无理函数的积分,则,例16 求,解 令,则,例16 求,练习题,一、填空题：,1、,2、,5、有理函数的原函数都是_.,二、求下列不定积分：,三、求下列不定积分（用以前学过的方法）：,5、初等函数.,练习题答案,3、,；,7、,；,