《维纳滤波》PPT课件.ppt

第五章维纳滤波（Wiener Filtering）,维纳于1894年生在美国密苏里州哥伦比亚市的一个犹太人的家庭中。他的父亲是哈佛大学的语言教授。维纳18岁时就获得了哈佛大学数学和哲学两个博士学位，随后他因提出了著名的“控制论”而闻名于世。1940年，维纳开始考虑计算机如何能像大脑一样工作。他发现了二者的相似性。维纳认为计算机是一个进行信息处理和信息转换的系统，只要这个系统能得到数据，机器本身就应该能做几乎任何事情。而且计算机本身并不一定要用齿轮，导线，轴，电机等部件制成。麻省理工学院的一位教授为了证实维纳的这个观点，甚至用石块和卫生纸卷制造过一台简单的能运行的计算机。维纳在1940年写给布什的一封信中，对现代计算机的设计曾提出了几条原则：（1）不是模拟式，而是数字式；（2）由电子元件构成，尽量减少机械部件；（3）采用二进制，而不是十进制；（4）内部存放计算表；（5）在计算机内部存贮数据。这些原则是十分正确的。,（图）维纳在讲解控制论。根据这一理论，一个机械系统完全能进行运算和记忆。,第一节 维纳滤波器的时域解第二节维纳预测器第三节维纳滤波器的应用,设有一个线性系统，它的单位脉冲响应是，当输入一个观测到的随机信号，简称观测值，且该信号包含噪声和有用信号，简称信号，也即,则输出为,我们希望输出得到的与有用信号尽量接近，因此称为的估计值，用来表示，我们就有了维纳滤波器的系统框图 这个系统的单位脉冲响应也称为对于的一种估计器。,用当前的和过去的观测值来估计当前的信号称为滤波；用过去的观测值来估计当前的或将来的信号 N=0，称为预测；用过去的观测值来估计过去的信号，N=1，称为平滑或者内插。,系统框图中估计到的信号和我们期望得到的有用信号不可能完全相同，这里用来表示真值和估计值之间的误差(5-3)显然是随机变量，维纳滤波和卡尔曼滤波的误差准则就是最小均方误差准则(5-4),.维纳滤波器的时域解（Time domain solution of the Wiener filter）,设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小均方误差下滤波器的单位脉冲响应或传递函数的表达式，其实质就是解维纳霍夫（WienerHopf）方程。我们从时域入手求最小均方误差下的用表示最佳线性滤波器。这里只讨论因果可实现滤波器的设计。,.因果的维纳滤波器,设是物理可实现的，也即是因果序列：因此，从式(5-1)、(5-2)、(5-3)、(5-4)推导：(5-5)(5-6),要使得均方误差最小，则将上式对各m0，1，求偏导，并且等于零，得：,从维纳霍夫方程中解出的h就是最小均方误差下的最佳h，。,求到，这时的均方误差为最小：,.有限脉冲响应法求解维纳霍夫方程,设是一个因果序列且可以用有限长（N点长）的序列去逼进它，则式(5-5)(5-10)分别发生变化：(5-11)(5-12),于是得到N个线性方程：,写成矩阵形式有：简化形式：RxxH=Rxs(5-17)式中，Hh(0)h(1)h(N-1)是待求的单位脉冲响应,RxxH=Rxs 只要Rxx是非奇异的，就可以求到H：H=Rxx1Rxs 求得H后，这时的均方误差为最小：,进一步化简得：若信号与噪声互不相关，即，,【例5-1】如图，信号与噪声统计独立，其中 噪声是方差为1的单位白噪声，试设计一个N2的维纳滤波器来估计，并求最小均方误差。,解：依题意，已知信号的自相关和噪声的自相关为：代入式,解得：0.451，0.165。,求得最小均方误差：,.预白化法求解维纳霍夫方程,.预白化法求解维纳霍夫方程,随机信号都可以看成是由一白色噪声激励一个物理可实现的系统或模型的响应，如图5.2所示 图5.2 s信号模型,由于，在图5.2的基础上给出的信号模型，图5.3所示。把这两个模型合并最后得到维纳滤波器的信号模型，图5.4所示，其中传递函数用B（z）表示。图5.3 x的信号模型 图5.4 维纳滤波器的输入信号模型,白噪声的自相关函数为它的z变换就等于。图5.2中输出信号的自相关函数为，根据卷积性质有,(5-22)对式（522）进行Z变换得到系统函数和相关函数的z变换之间的关系：(5-23)同样，对图5.4进行z变换得(5-24),图5.4中利用卷积性质还可以找到互相关函数之间的关系：,如果已知观测信号的自相关函数，求它的z变换，然后找到该函数的成对零点、极点，取其中在单位圆内的那一半零点、极点构成另外在单位圆外的零、极点构成，这样就保证了是因果的，并且是最小相位系统,从图5.4可得(5-26)由于系统函数的零点和极点都在单位圆内，即是一个物理可实现的最小相位系统，则也是一个物理可实现的最小相移网络函数。我们就可以利用式（526）对进行白化，即把当作输入，当作输出，是系统传递函数。,将图5.1重新给出，待求的问题就是最小均方误差下的最佳，如图5.5（a）所示，为了便于求这个，将图5.5（a）的滤波器分解成两个级联的滤波器：和G（z），如图5.5（b）所示，则(5-27)（a）（b）图5.5 利用白化方法求解模型,白化法求解维纳霍夫方程步骤如下：）对观测信号的自相关函数求z变换得到）利用等式找到最小相位系统）利用均方误差最小原则求解因果的G（z），即得到维纳霍夫方程的系统函数解,步骤3,G的求解过程 按图5.5（b）有(5-28)均方误差为,由于代入上式，并且进行配方得(5-29),均方误差最小也就是上式的中间一项最小，所以(5-30),注意，这里的是因果的。对该式求单边z变换，得到(5-31),所以维纳霍夫方程的系统函数解表示为,由式(5-32),利用帕塞伐尔定理，上式可用z域来表示(5-34),因果的维纳滤波器的最小均方误差为：(5-33),将图5.1重新给出，待求的问题就是最小均方误差下的最佳，如图5.5（a）所示，为了便于求这个，将图5.5（a）的滤波器分解成两个级联的滤波器：和G（z），如图5.5（b）所示，则(5-27)（a）（b）图5.5 利用白化方法求解模型,白化法求解维纳霍夫方程步骤如下：）对观测信号的自相关函数求z变换得到）利用等式找到最小相位系统）利用均方误差最小原则求解因果的G（z），即得到维纳霍夫方程的系统函数解,【例5-2】已知图5.1中，且与统计独立，其中的自相关序列为，是方差为1的单位白噪声，试设计一个物理可实现的维纳滤波器来估计，并求最小均方误差。解：依题意，已知,步骤1,步骤2由于，容易找到最小相位系统和白噪声方差,步骤3利用式对括号里面求反变换，注意括号内的收敛域为，,取因果部分，也就是第一项，所以,步骤4最小均方误差为：,5.2 维纳预测器（Wieners predictions）,5.2.1 因果的维纳预测器 N0 图5.6维纳预测器,设是物理可实现的，也即是因果序列：，则有(5-35)(5-36)要使得均方误差最小，则将上式对各m0，1，求偏导，并且等于零，得：(5-37),(5-38)用相关函数R来表达上式：,由于，则,z变换得(5-40),因果的预测器的传递函数为：(5-41)最小均方误差为(5-42)利用帕塞伐尔定理，上式可用z域来表示(5-43),【例5-3】已知图5.6中，且与统计独立，其中的自相关序列为，是方差为1的单位白噪声，试设计一个物理可实现的维纳预测器估计，并求最小均方误差。解：依题意已知,求z变换由于，容易找到最小相位系统和白噪声方差,由式（541），N1，对括号里面求z反变换，注意括号内的收敛域为，,取因果部分，也就是第一项，所以,把上式写成差分方程形式有：,最小均方误差为：,.纯预测器（N步）纯预测器指的是噪声为零的情况下，对信号将来值的预测。如图5.7所示。图5.7 N步纯预测器这时，用白化法来求解预测器的系统函数。,因为，从而有(5-44)将上式代入式（541）、（543）得(5-45),假设B（z）是b（n）的z变换，且b（n）是实序列，则上式可以利用帕塞伐尔定理进一步化简：(5-46)又因为B（z）是最小相位系统，一定是因果的，上式可以简化(5-47),上式说明最小均方误差随着N的增加而增加，也即预测距离越远误差越大。,【例5-4】已知图5.7中，其中的自相关序列为，试设计一个物理可实现的维纳预测器来估计，并求最小均方误差。,解：依题意，已知，则,因为 容易找到最小相位系统和白噪声方差,利用式（545）因为,只取的部分，有,代入得最小均方误差为：,它说明当N越大，误差越大，当N0时，没有误差 图5.8 例题5-3的纯预测模型,.一步线性预测器对于纯预测问题，有然而预测的问题常常是要求在过去的p个观测值的基础上来预测当前值，也就是一步线性预测公式:,一步线性预测公式，常常用下列符合表示(5-48)式中p为阶数，。预测的均方误差为(5-49),要使得均方误差最小，将上式右边对amp求偏导并且等于零，得到p个等式：(5-50)最小均方误差：(5-51),式（550）就是YuleWalker（Y-W）方程，和第七章AR模型参数估计的方程一致，,【例5-5】已知图5.7中，其中的自相关序列为，试设计一个p2的可实现的一步线性预测器，并求最小均方误差。解：得,利用Y-W方程,可以列出2个方程式,解得：即结果和例（5-4）N=1时一致,.维纳滤波器的应用（Application of Wiener filter）要设计维纳滤波器必须知道观测信号和估计信号之间的相关函数，即先验知识。如果我们不知道它们之间的相关函数，就必须先对它们的统计特性做估计，然后才能设计出维纳滤波器，这样设计出的滤波器被称为“后验维纳滤波器”。,在生物医学信号处理中比较典型的应用就是关于诱发脑电信号的提取。大脑诱发电位（Evoked Potential，EP）指在外界刺激下，从头皮上记录到的特异电位，它反映了外周感觉神经、感觉通路及中枢神经系统中相关结构在特定刺激情况下的状态反应。在神经学研究以及临床诊断、手术监护中有重要意义。EP信号十分微弱，一般都淹没在自发脑电（EEG）之中，从EEG背景中提取诱发电位一直是个难题：EP的幅度比自发脑电低一个数量级，无法从一次观察中直接得到；EP的频谱与自发脑电频谱完全重迭，使得频率滤波失效；在统计上EP是非平稳的、时变的脑诱发电位。通过多次刺激得到的脑电信号进行叠加来提取EP，这是现今最为广泛使用的EP提取方法。,为了解决诱发电位提取问题，研究者利用维纳滤波来提高信噪比，先后有Walter、Doyle、Weerd等对维纳滤波方法进行了改进。在频域应用后验维纳滤波的核心就是由各次观察信号中分解出信号的谱估计和噪声的谱估计，通过设计出的滤波器来提高信噪比。,应用实例1诱发电位的提取图a为躯体感觉诱发电位经20次累加后的平均响应。刺激加在腕部，S是施加刺激的时刻。图b为对a的后验维纳滤波结果，图c为对a采用Weerd时变滤波的结果，图d为直接做200次平均的结果。,应用实例2肌电信号的提取用矩形脉冲加在足部的正中弓上，强度约高于刺激阈值3倍，然后用表面电极从肌肉的突出部提取肌电信号。图a为累加10次的平均肌电信号，图b为对a做后验维纳滤波的结果，图c为累加400次的平均结果。,应用实例3下面将介绍时频平面的维纳滤波（timefrequency plane wiener filtering，简称TFPW）在高分辨心电图（HRECG）中的应用。,1.设一共有N次观测样本：其中是周期确定的心电信号；是第i次记录时的噪声，包括肌电、测量仪器噪声等，假设每次记录的噪声之间互不相关；是观测信号；信号和噪声相互独立。,对每次观测用短时傅立叶变换求时频表示（TFR）：,对N次观测的时频表示（TFR）求平均：(1)样本平均为：样本平均的时频表示（TFR）为：(2)从式（2）可以得到一个基于样本平均的简单时频平面后验维纳滤波器：(3),.在时频域上对式（1）（2）进行修正，给出更实际的表示：(4)(5)式中COV表示信号和噪声之间的方差，也就是考虑了信号和噪声并非相互独立；IF是干扰项；表示样本平均的噪声功率；表示样本噪声功率的平均。,.TFPW的计算过程如图5.9所示。图5.9 TFPW计算流程,.TFPW的模拟实验结果如图5.10所示。图5.10（上图）原信号是两个正弦波，观测信号混有白噪声（下图）原信号是线性调频信号，观测信号混有白噪声,.TFPW滤波中由于有二次TFR中的相关噪声以及IF项，滤波器可能包含虚部，也就是包含信号的相位信息，直接在时频平面上考虑相位问题还需要进一步研究。,