《系统函数》PPT课件.ppt

信号与系统课程体系,第七章 系统函数,第一章 信号与系统的基本概念第二章 连续系统的时域分析第三章 离散系统的时域分析第四章 傅里叶变换和系统的频域分析第五章 连续系统的s域分析第六章 离散系统的z域分析第七章 系统函数第八章 系统的状态变量分析,系统函数 第七章,Z变换第六章,拉普拉斯 变换 第五章,傅里叶变换 第四章,离散时域 第三章,连续时域 第二章,绪论第一章,状态变量 第八章,基本概念引导 核心内容,拓宽加深部分,第七章 系统函数,信号与系统课程体系,主要内容,第七章 系统函数,7.1 系统函数与系统特性一、系统函数的零、极点分布图二、系统函数与时域响应四、系统函数与频率响应7.2 系统的稳定性7.3 信号流图7.4 系统模拟一、直接实现二、级联实现三、并联实现,7.1 系统函数与系统特性,一、系统函数的零、极点分布图,第七章 系统函数,系统函数,对连续系统,对离散系统,称的根为系统函数的极点。,称的根为系统函数的零点。,LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即,7.1 系统函数与系统特性,一、系统函数的零、极点分布图,第七章 系统函数,系统函数可以写为：,7.1 系统函数与系统特性,一、系统函数的零、极点分布图,第七章 系统函数,极（零）点的分布类型：,一阶实极（零）点：,位于 s 或 z 平面的实轴上,一阶共轭虚极（零）点：,位于 s 或 z 平面虚轴上，且对称于实轴,一阶共轭复极（零）点：,位于 s 或 z 平面上，并且对称于实轴,我们只讨论零点个数小于等于极点个数的情况。,二阶及二阶以上极（零）点,7.1 系统函数与系统特性,第七章 系统函数,二、系统函数与时域响应,自由响应与冲激响应(单位序列响应)的函数形式由A(.)=0确定。,一、连续系统：,极点的位置:左半开平面、虚轴、右半开平面,左半开平面：负实单极点、共轭复极点、r重极点,负实单极点,衰减,一对共轭复极点：,衰减,7.1 系统函数与系统特性,第七章 系统函数,二、系统函数与时域响应,r重极点：,综上：极点在左半开平面时，响应均衰减。暂态分量。,r 重实极点,衰减,r 重复极点,衰减,7.1 系统函数与系统特性,第七章 系统函数,二、系统函数与时域响应,(2)在虚轴上：单极点、r重极点,单极点：,r重极点：,等幅,增长,综上：极点在虚轴上：响应单极点等幅；重极点增长,7.1 系统函数与系统特性,二、系统函数与时域响应,第七章 系统函数,(3)在右半开平面:正实单极点、共轭复极点、重极点,正实单极点,增长,一对共轭复极点,增长,重极点,增长,综上：极点在右半开平面时，响应均增长。,7.1 系统函数与系统特性,二、系统函数与时域响应,第七章 系统函数,结论：LTI连续系统的冲激响应函数形式由H(s)的极点确定。,(1)左半平面:响应函数为衰减的。即当t时，响应均趋于0。,(2)虚轴上:单极点对应响应函数为稳态分量，重极点增长。,(3)右半平面：响应函数都是递增的。当t，响应均趋于。,7.1 系统函数与系统特性,二、系统函数与时域响应,第七章 系统函数,2离散系统:极点位置：单位圆内、单位圆上、单位圆外,单位圆内：,实极点,一对共轭极点,重极点：,衰减,7.1 系统函数与系统特性,第七章 系统函数,二、系统函数与时域响应,(1)单位圆内:响应序列为衰减的。即当k时，响应均趋于0。,(2)单位圆上:一阶极点对应的响应函数为稳态响应。高阶极点对应的响应序列是递增的.,(3)单位圆外:响应序列都是递增的。即当k，响应均趋于。,7.1 系统函数与系统特性,三、系统函数与频率响应,第七章 系统函数,1、连续因果系统：若系统函数H(s)的极点均在左半平面，则它在虚轴上(s=j)也收敛，有H(j)=H(s)|s=j，,改成极坐标形式，令,其中,据模、辐角随的变化，可绘出幅频特性曲线和相频特性曲线。,7.1 系统函数与系统特性,三、系统函数与频率响应,第七章 系统函数,例7.1-1：二阶系统函数其中。粗略画出其幅频、相频特性曲线。,解：系统函数的零点：,系统函数的极点：,则系统函数：,因为，极点在左半开平面，系统函数在虚轴收敛，所以,7.1 系统函数与系统特性,三、系统函数与频率响应,第七章 系统函数,分析与幅度和相角的关系：,带通滤波器,系统的幅频响应|H(j)|为常数，则称为全通系统，其相应的H(s)称为全通函数。凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为全通函数。,7.1 系统函数与系统特性,三、系统函数与频率响应,第七章 系统函数,(1)全通函数,下面介绍两种常见的系统。,7.1 系统函数与系统特性,三、系统函数与频率响应,第七章 系统函数,（2）最小相移函数,对于具有相同幅频特性的系统函数，零点位于左半开平面的系统函数(右半开平面没有零点的系统函数)，其相频特性最小，称为最小相移函数。解释见p334,7.2 系统的因果性与稳定性,一、系统的因果性,第七章 系统函数,一、因果系统：零状态响应不出现在激励之前，即：,连续因果系统的充分必要条件,时域：,变换域：,离散因果系统的充分必要条件,时域,变换域,极点都在收敛域左边,极点都在收敛域内部,7.2 系统的因果性与稳定性,第七章 系统函数,二、系统的稳定性,比如：判断以下系统是否稳定,则系统的零状态响应象函数为：,考虑到,当t 很大时,系统增长超过衰减，系统不稳定！,在系统研究和设计中，系统的稳定性十分重要！,7.2 系统的因果性与稳定性,第七章 系统函数,1.稳定系统定义及充要条件：,一个系统(连续或离散)，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(BIBO)稳定系统。,即，若所有的激励|f(.)|Mf，其零状态响应|yzs(.)|My，,连续系统稳定的充要条件:,若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是连续稳定系统。,二、系统的稳定性,(2)连续因果系统 稳定的充要条件,因为连续因果系统的极点都在收敛域左边，所以若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定的因果系统。,7.2 系统的因果性与稳定性,第七章 系统函数,二、系统的稳定性,(4)离散因果系统稳定的充要条件,(3)离散系统稳定的充要条件：,若H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是离散稳定系统。,因为离散因果系统的极点都在收敛域内部，若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳定的因果系统。,7.2 系统的因果性与稳定性,第七章 系统函数,例 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)=f(k-1)(1)若为因果系统，求h(k)，并判断是否稳定。(2)若为稳定系统，求h(k).,解,(1)为因果系统，故收敛域为|z|2，所以h(k)=0.40.5k-(-2)k(k)，不稳定。,(2)若为稳定系统，故收敛域为0.5|z|2，所以h(k)=0.4(0.5)k(k)+0.4(-2)k(-k-1),二、系统的稳定性,7.2 系统的因果性与稳定性,第七章 系统函数,二、系统的稳定性,例7.2-1：如图反馈因果系统,当常数K 满足什么条件时，系统是稳定的？,解：,解得系统函数,极点为：,为使所有极点位于左半开平面,解得：,7.2 系统的因果性与稳定性,第七章 系统函数,二、系统的稳定性,例7.2-2：如图所示离散系统,当K满足什么条件时，系统是稳定的？,解：,系统函数为：,其极点为：,若1-4K0时，系统有实极点，为使极点在单位圆内：,7.2 系统的因果性与稳定性,第七章 系统函数,二、系统的稳定性,其极点为：,若1-4K0时，系统有复极点，,为使极点在单位圆内：,综上：,7.2 系统的因果性与稳定性,第七章 系统函数,三、连续因果系统稳定性罗斯-霍尔维兹准则 Routh-Hurwitz,对连续因果系统，只要判断H(s)的极点，是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。,所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。,二、系统的稳定性,1877年Routh提出了一种判别代数方程根的方法，不必求解方程就可知道它包含有多少个具有正实部的根和零实部根，1895年Hurwitz导出类似方法,7.2 系统的因果性与稳定性,第七章 系统函数,1.连续因果系统稳定的充要条件，即实系数多项式A(s)=ansn+a0=0 的所有根位于左半开平面的充要条件为：,例1 A(s)=s3+4s2-3s+2 符号不相同，不稳定 例2 A(s)=3s3+s2+2，缺项，不稳定 例3 A(s)=3s3+s2+2s+8 需进一步由罗斯列表判断。,二、系统的稳定性,(1)不缺项；(2)系数的符号相同;(3)罗斯-霍维茨列表中的第一列数元素的符号相同。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。,7.2 系统的因果性与稳定性,第七章 系统函数,2.罗斯列表,第1行 an an-2 an-4 第2行 an-1 an-3 an-5 第3行 cn-1 cn-3 cn-5 第4行 dn-1 dn-3 dn-5 一直排到第n+1行,其它各行由第3行同样方法得到。,罗斯准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则A(s)=0所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。,二、系统的稳定性,将多项式A(s)的系数排列为如下阵列罗斯列表,7.2 系统的因果性与稳定性,第七章 系统函数,二、系统的稳定性,例：试判别以下特征方程的系统是否稳定,有符号变化,系统不稳定,解：罗斯霍维茨阵列,7.2 系统的因果性与稳定性,第七章 系统函数,二、系统的稳定性,系统稳定条件为,例：,k为何值时系统稳定,解：罗斯霍维茨阵列,即,7.2 系统的因果性与稳定性,第七章 系统函数,二、系统的稳定性,例：判断系统稳定性，特征方程为：,解：罗斯霍维茨阵列,系统不稳定,注意：在排罗斯阵列时，可能遇到一些特殊情况，如第一列的某个元素为0或某一行元素全为0，这时可断言：该多项式不是霍尔维兹多项式。,7.2 系统的因果性与稳定性,第七章 系统函数,例 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2,罗斯阵列：2 12 2 1 8 0,2,8.5 0,2,第1列元素符号改变2次，因此，有2个根位于右半平面。,二、系统的稳定性,7.2 系统的因果性与稳定性,第七章 系统函数,例 已知某因果系统函数,为使系统稳定，k应满足什么条件？,解 列罗斯阵列,33 1+k,(8-k)/3,1+k,所以，1k8，系统稳定。,二、系统的稳定性,7.2 系统的因果性与稳定性,第七章 系统函数,四、离散因果系统稳定性判断准则朱里准则,为判断离散因果系统的稳定性，要判断A(z)=0的所有根的绝对值是否都小于1。朱里提出一种列表的检验方法，称为朱里准则。,朱里列表：第1行 an an-1 an-2 a2 a1 a0第2行 a0 a1 a 2 an-2 an-1 an第3行 cn-1 cn-2 cn-3 c1 c0第4行 c0 c1 c2 cn-2 cn-1第5行 dn-2 dn-3 dn-4 d0第6行 d0 d1 d2 dn-2 第2n-3行 r2 r1 r0,二、系统的稳定性,7.2 系统的因果性与稳定性,第七章 系统函数,第3行按下列规则计算：,一直到第2n-3行，该行有3个元素。,朱里准则指出，A(z)=0的所有根都在单位圆内的充分必要的条件是:(1)A(1)0(2)(-1)nA(-1)0(3)an|a0|cn-1|c0|dn-2|d0|r2|r0|奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。,特例：对二阶系统。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得 A(1)0 A(-1)0 a2|a0|,二、系统的稳定性,7.2 系统的因果性与稳定性,二、系统的稳定性,第七章 系统函数,例 A(z)=4z4-4z3+2z-1,解,4-4 0 2-1-1 2 0-4 415-14 0 44 0-14 15209-210 56,41，154，20956 所以系统稳定。,排朱里列表,A(1)=10,7.3 信号流图,一、信号流图,第七章 系统函数,描述系统的方法：微分方程(差分方程)：方框图：比较直观。信号流图：用有向的线图描述线性方程变量间因果关系的图，比方框图更加简便。可以通过梅森公式将信号流图与系统函数联系起来。,信号流图：用结点和有向线段来描述系统，是一种赋权的有向图。,7.3 信号流图,一、信号流图,第七章 系统函数,一些基本概念：,1.结点与支路：信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。,连接两结点间的有向线段称为支路。每条支路上的权值(支路增益)就是该两结点间的系统函数,2.源点与汇点：源点:仅有出支路的结点(或输入结点)。汇点:仅有入支路的结点称为汇点(或输出结点)。有入有出的结点为混合结点,自回路:只有一个结点和一条支路的回路。,7.3 信号流图,一、信号流图,第七章 系统函数,4.前向通路：从源点到汇点的开通路称为前向通路。,前向通路增益:前向通路中各支路增益的乘积回路增益：回路中各支路增益的乘积称为回路增益。,通路：从任一结点出发沿着支路箭头方向连续经过各相连的不同支路和结点到达另一结点的路径。,开通路：通路与任一结点相遇不多于一次。,闭通路(回路)：通路的终点就是通路的起点(与其余结点相遇不多于一次)。,不接触回路:相互没有公共结点的回路。,7.3 信号流图,一、信号流图,第七章 系统函数,信号流图的基本性质:,(1)信号只能沿支路箭头方向传输,支路输出=支路输入支路增益,(2)当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。,7.3 信号流图,一、信号流图,第七章 系统函数,信号流图所描述的是代数方程或方程组，因而信号流图能按代数规则进行化简。流图化简的基本规则：,1.串联支路的合并：增益分别为a 和b的支路相串联，可以合并为一条增益为ab的支路，同时消去中间的结点。,2.并联支路的合并：两条增益分别为a 和b的支路相并联，可以合并为一条增益为ab的支路。,3.自环的消除：一条x1x2x3的通路，如果x1x2支路的增益为a，x2x3支路的增益为c，在x2处有增益为b的自环，则可化简为的支路，同时消去x2。,7.3 信号流图,一、信号流图,第七章 系统函数,7.3 信号流图,一、信号流图,第七章 系统函数,例7.3-1：求图所示信号流图的系统函数,7.3 信号流图,二、梅森公式,第七章 系统函数,信号流图的特征行列式,：所有不同回路的增益之和；,：所有两两不接触回路的增益乘积之和；,：所有三三不接触回路的增益乘积之和；,i：由源点到汇点的第i条前向通路的标号,Pi：由源点到汇点的第i条前向通路增益；,i：第i条前向通路特征行列式的余因子，它是与第i条前向通 路 不接触的子图的特征行列式；,梅森公式：,7.3 信号流图,二、梅森公式,第七章 系统函数,例7.3-2：求图所示信号流图的系统函数,解：(1)求特征行列式,两两互不接触回路：,梅森公式：,7.3 信号流图,二、梅森公式,第七章 系统函数,(2)求，从源点到汇点的前向通路有,7.3 信号流图,二、梅森公式,第七章 系统函数,例7.3-3：如图所示为某反馈系统的信号流图，求系统函数H(s)。,7.3 信号流图,二、梅森公式,第七章 系统函数,子系统A：2条前向通路，3个回路，1对不相接触的回路,子系统B：1条前向通路，3个回路，1对不相接触的回路,7.3 信号流图,二、梅森公式,第七章 系统函数,7.4 系统结构,一、直接实现,第七章 系统函数,信号流图(方框图),为了对信号(连续或离散)进行某种处理(如滤波)，就要构造出合适的实际结构硬件实现的结构或软件运算结构。,同样的系统函数 H(s)或 H(z)，往往有多种不同的实现方法。常用的有：直接形式、级联形式和并联形式。,一、直接实现：以二阶系统为例，其系统函数可以写为：,可以改写为：,由梅森公式,分母：两个回路(相互接触),分子：三个前向通路(),7.4 系统结构,一、直接实现,第七章 系统函数,分母：两个回路(相互接触),分子：三个前向通路(),7.4 系统结构,一、直接实现,第七章 系统函数,推广到高阶系统的情形：,分母：n个回路组成的特征行列式，而且各回路都互相接触。,分子：m1条前向通路的增益，而且各前向通路都没有不接触回路。,7.4 系统结构,一、直接实现,第七章 系统函数,7.4 系统结构,一、直接实现,第七章 系统函数,例7.4-2：描述某离散系统的差分方程为 求其直接形式的模拟框图。,解：其系统函数,7.4 系统结构,一、直接实现,第七章 系统函数,7.4 系统结构,二、级联、并联实现,第七章 系统函数,级联实现：将系统函数分解为几个简单的子系统函数的乘积，即,并联实现：将系统函数分解为几个较简单的子系统函数之和，即,7.4 系统结构,第七章 系统函数,二、级联、并联实现,子系统选用一阶函数和二阶函数，分别称为一阶节、二阶节。其函数形式分别为：,二阶节：,一阶节：,7.4 系统结构,第七章 系统函数,二、级联、并联实现,例7.4-4：描述某离散系统的差分方程如下,解：求得系统函数为,(1)级联实现,用级联和并联形式模拟该系统。,7.4 系统结构,第七章 系统函数,二、级联、并联实现,7.4 系统结构,第七章 系统函数,二、级联、并联实现,(2)并联实现,7.4 系统结构,第七章 系统函数,二、级联、并联实现,第五章 连续系统的s域分析,第七章结束,第七章结束,