《弹性力学基础》PPT课件.ppt

重庆交通大学,有限元分析岩土工程数值计算,主讲：翁其能2009年9月,地质工程专业课,重庆交通大学,第三章 弹性力学基础（二）,3.1 平面问题中一点的应力状态3.2 边界条件3.3 圣维南原理及应用3.4 虚功原理3.5 相容方程3.6 求解示例（位移、应力）3.7 常体力情况下的平面问题,重庆交通大学,3.1 平面问题中一点的应力状态,前面我们介绍了平面问题的三类基本方程：平衡微分方程、几何方程、物理方程。下面继续从平面问题的静力学方面入手，考察一下平面问题中一点的应力状态。,重庆交通大学,x,y,O,P,P,A,B,(a),(b),重庆交通大学,x,y,O,重庆交通大学,x,y,O,令角，有,求法向和切向应力,重庆交通大学,设经过P点的某一斜面上的切应力为零，,则该斜面上仅有正应力，该正应力称为P点的一个主应力，而该斜面称为P点的一个应力主面，该斜面的法线方向（也即主应力的方向）称为P点的一个应力主向。同时存在另外一个与此方向垂直的应力主向。,重庆交通大学,小 结,物体内的应力是与作用面有关的，前面经常提到基本位置函数，只是表示一点的 x,y 坐标面上的应力分量。在校核强度条件时，还要求求出通过此点的任一斜面上的应力。斜面上的全应力 p 可以分解为沿坐标方向的分量（，）或沿斜面法向、切向的分量（，）。1、首先求斜截面应力分量（，）由三角形微分体的平衡条件可得,重庆交通大学,2、分别计算（，）在斜面法向和切向的投影，求得斜面上的正应力和切应力：3、求出主应力和应力主向（Mohr圆）,重庆交通大学,4、进一步求出最大和最小的正应力和切应力，设，则有：,重庆交通大学,本节内容需重点掌握：,平面问题中一点的应力状态及求解；,重庆交通大学,3.2 边界条件,表示弹性体在边界上位移与约束、或者应力与面力间的关系式。分为：位移边界条件，应力边界条件，混合边界条件,1、位移边界条件：如在弹性体部分边界 上给定约束位移分量 和，则对于此边界上的每一点，位移函数 u 和 v 应该满足条件此即平面问题的位移（约束）边界条件。特殊地：对于完全固定约束，则,重庆交通大学,2、应力边界条件：如在弹性体部分边界 上给定面力分量 和，在边界上任一点取出一个微分体（见上节），则根据微分体平衡条件可以导出应力与面力的关系式。此时，斜面 AB 即相当于边界，此面上的应力分量和 对应于面力分量 和，而坐标面上的 分别成为应力分量的边界值，有平衡条件得出平面问题的应力（面力）边界条件：,其中 和 在边界上是坐标的已知函数，l，m 是边界面外法线的方向余弦。,重庆交通大学,3.混合边界条件:部分位移边界条件,部分应力边界条件。,重庆交通大学,q,y,z,y,x,l,h,1,O,O,例:图示薄板悬梁,试确定边界条件,重庆交通大学,薄板梁内可视为平面应力状态,板内各点的应力分量中 由：,重庆交通大学,重庆交通大学,重庆交通大学,补充作业：图示薄板在y方向上受均布拉力作用，试证明：板中突出部分的尖端A点无应力存在。,B,o,C,A,x,y,q,q,提示：不要实际求解应力分量。可分别列出AB边界和AC上应力分量及其边界条件，A点为两边交界点，须同时满足两边的条件。,n,n,重庆交通大学,重庆交通大学,3.3 圣维南原理及其应用,从前几节的学习可以看出，求解弹性力学问题时，应力、形变和位移分量必须满足区域内的三套基本方程，还必须满足边界上的边界条件。但是，实际问题中边界条件往往非常复杂，欲使边界条件完全得到满足，往往非常困难。为此，必须进行一定的简化。,圣维南原理,重庆交通大学,圣维南原理,圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么面力作用点近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。,圣维南原理可以大大简化局部边界上的应力边界条件，为计算带来了很大便利。,重庆交通大学,F,F,F,F/2,F,F/2,F/2,F/2,F/2,F/2,F,F/A,F/A,应力分析,重庆交通大学,1、不能离开“静力等效”的条件（力等效、力矩等效）；2、不仅变换的面力必须与原面力静力等效，而且只能在局部边界上进行静力等效变换。原理中提到的“近处”也是指局部边界的附近区域（根据实际经验，这个区域一般是变换面力边界的12倍范围内，此范围外可以认为是“远处”）。3、圣维南原理指出：在近处范围内，应力随面力的变换发生显著变化；此范围外对应力的影响很小，可略。即：在小边界上进行面力的静力等效变换，仅仅改变局部区域的应力分布，对其他大部分区域的应力没有显著影响。,应用圣维南原理必须注意：,重庆交通大学,如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（应力主矢量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，远处的应力可以不计。如：,p,p,圣维南原理的推广（局部影响原理）：,重庆交通大学,y,重庆交通大学,重庆交通大学,O,x,y,h/2,h/2,l,l,M,y,dy,重庆交通大学,虚功原理及虚功方程,图示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程：,杠杆绕支点转动，位移位：,则：,上式以功的形式表述：图a的平衡力系在图b的位移上作功时，功的总和必须等于零，叫虚功原理,重庆交通大学,虚功原理,进一步分析。当杠杆处于平衡状态时，和 这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足上式的关系。将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图1-8a中的P A和P B所作的功就不是发生在它本身(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡的不存在位移)，而是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a)来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。,重庆交通大学,虚功原理,必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该约束力叫做被动力。(如图1-8中，支点C没有位移，故反力所作的虚功等于零)。反之，如图1-8中的P A和P B是在位移过程中作功的力，称为主动力。因此，在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。,重庆交通大学,虚功原理,虚功原理表述如下：在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功(各力所作的功的代数和)恒对于零。虚功原理用公式表示为：这就是虚功方程，其中P和 相应的代表力和虚位移。,重庆交通大学,弹性体的虚功原理,虚功方程是按刚体的情况得出的，即假设图1-8的杠杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程中没有内功项出现，而只有外功项。将虚功原理用于弹性变形时，总功W要包括外力功(T)和内力功(U)两部分，即：W=T-U；内力功(-U)前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。根据虚功原理，总功等于零得：T-U=0 外力虚功T=内力虚功U 弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功)。,重庆交通大学,弹性体的虚功原理,图示i点外力分量为，j点外力分量为外力分量用 表示，相应引起的内力分量用 表示,重庆交通大学,重庆交通大学,弹性体的虚功原理,在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功为：,同样，在虚位移发生时，弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚功为：,因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功为：,根据虚功原理：,这就是弹性变形体的虚功议程，通过虚位移和虚应变表明外力与应力之间的关系,重庆交通大学,弹性体的虚功原理,应该指出，在虚位移发生时，约束力(支座反力)不做功的，因为约束力在其所约束的方向是没有位移的。但是如果解除了某一个约束，而代之以约束力，那么，在虚位移发生时，这个约束力就要在相应的虚位移上做虚功，而这个约束力的分量及其相应的虚位移分量就应当作为列矩阵及中的元素进入虚功方程。,重庆交通大学,从几何方程可知，应变与位移的关系，三个方程、两个未知量，则方程组存在矛盾的可能。为解决此问题，补充一个方程，这个补充方程可以从几何方程和物理方程中消去位移分量和形变分量来得到。下面来看一看具体步骤：首先从几何方程中消去位移分量。,几何方程：,（2-16）,3.5、相容方程。,重庆交通大学,对y求二阶导数,对x求二阶导数,+,=,=,(形变协调方程或相容方程),重庆交通大学,相容方程的意义：在连续性假定下，物体的变形满足几何方程，并且形变分量 不是互相独立的，它们之间是相关的，必须满足相容方程给出的条件，才能保证对应的位移分量u和v的存在。如果形变分量 是任意选取的，不满足相容方程，则根据三个几何方程中的任何两个求出的位移分量必将和第三个方程相矛盾。即：不满足相容方程的形变分量在物体中不存在，也求不出对应的位移分量。下面来看一看例子：,重庆交通大学,形变分量为：,显然该形变分量不满足相容方程(),根据几何方程：可知，应该是一个“y的函数+x的函数”的形式，不应该含xy项，这和 相矛盾。,仅为y的函数,仅为x的函数,验证其是否满足相容方程,重庆交通大学,相容方程 是用应变分量表达的，下面我们把物理方程代入上式，从中消去形变分量，得到用应力分量表达的相容方程。对于平面应力问题，物理方程为：,将其代入相容方程得：,用应力表达的相容方程。,重庆交通大学,应用平衡方程可以将上式进一步简化：消去,重庆交通大学,得到以下方程：,上式即为用应力表示的相容方程。,以上的推导过程是针对平面应力问题进行的，对于平面应变问题，只须做如下变换：,，,即可得到平面应变情况下的应力相容方程：,重庆交通大学,相容方程的物理意义可以从以下两个方面说明：1、相容方程是连续体中位移连续性的必然结果。在物体的连续性假定下，位移分量u和v必然是连续的，由此可以导出几何方程，并进一步导出相容方程。2、相容方程是形变对应的位移存在且连续的必要条件。当形变分量满足了相容方程后，我们就能求出对应的位移分量，也就是说，对应的位移存在而且必然连续。反之，不满足相容方程的形变分量，不是物体中实际存在的，也求不出对应的位移。定性地说就是：在变形前，物体内各微分体之间是连续的。在变形后，各微分体都发生了变形，只有当形变分量满足相容方程的情况下，各微分体才能保持连续，既不互相重叠，也不互相脱离。下面我们从一个结构力学中的例子来理解一下这个含义。,重庆交通大学,1,2,3,图中三个连杆在变形前共同铰接于 点。受力后发生变形，必然在 继续保持共点，也就是说，三根杆之间的形变之间必须保持协调。,重庆交通大学,本节内容需重点掌握：,1、圣维南原理的内容、应用圣维南原理时必须注意的问题。,2、虚功原理。,3、相容方程的意义，判断应变分量是否满足相容方程,重庆交通大学,作业验证下面的应变分量是否可能发生：,式中a为常数,重庆交通大学,1、位移法（按位移求解）取位移分量为基本未知量(函数)，从各方程和边界条件中消去应力和形变分量，导出只含有位移分量的方程(函数)和边界条件。由此解出位移分量，并进而求出形变分量和应力分量。（类似于结构力学中的位移法）,2、应力法（按应力求解）取应力分量为基本未知函数，从各方程和边界条件中消去位移和形变分量，导出只含有应力分量的基本方程和边界条件。由此解出应力分量，并进而求出形变分量和位移分量。（类似于结构力学中的力法）,平面问题的求解方法分为两大类,重庆交通大学,2、平面问题基本方程：,平衡微分方程：,几何方程：,物理方程：,重庆交通大学,平面问题中共有8个未知函数：3个应力分量、3个形变分量、2个位移分量。它们必须满足弹性体区域内的平衡微分方程、几何方程、物理方程以及边界上的应力或位移边界条件。,应力边界条件：,位移边界条件：,重庆交通大学,下面以平面应力问题为例，看一看按位移求解的基本步骤。1、取u和v为基本未知函数。2、将其他未知函数用基本未知函数u和v表示。首先，直接采用几何方程将形变分量用u和v表示。其次，将应力分量用u和v表示。这一过程可分两步：先用物理方程将应力分量用形变分量来表示。即,3.6 按位移求解平面问题,重庆交通大学,将几何方程代入上式，将应力分量进一步用u和v来表示。即,重庆交通大学,重庆交通大学,3、将用位移分量表示的应力分量代入区域内的平衡微分方程，得到用位移分量表示的平衡微分方程：,在 上的位移边界条件仍然表示为：,重庆交通大学,4、将用位移分量表示的应力分量代入 上的应力边界条件，得到用位移分量表示的应力边界条件：,在 上的位移边界条件仍然表示为：,重庆交通大学,归纳起来讲，平面应力问题按位移求解方法，就是要使位移分量u和v满足区域内的平衡微分方程，并在边界 上满足应力边界条件，在 上满足位移边界条件。解出位移分量后，在根据几何方程求出形变分量，进而根据物理方程求出应力分量。,平面应变问题步骤类似，只须做简单变换：,，,位移法是弹性力学的一种基本解法，能适应各种边界条件问题的求解。但由于用位移分量表示的基本方程和边界条件形式比较复杂，因此求解较为困难，已经得出的函数解答很少。,重庆交通大学,y,O,x,h,例题：上端为固定,下端为自由,受自重体力:,例题求解：本例问题可简化为y方向上的一维问题，设：u=0,v=v(y),泊松比=0，代入位移分量表示的平衡方程：,重庆交通大学,y,O,x,h,例题求解：本例问题可简化为y方向上的一维问题，设：u=0,v=v(y),泊松比=0，代入位移分量表示的平衡方程：,第一式自然满足，由第二式得：,上边：,下边：,由物理方程得,重庆交通大学,y,O,x,h,上边：,下边：,重庆交通大学,3.7 按应力求解平面问题,按应力求解的方法，我们仍以平面应力问题为例（对于平面应变问题，只需将E,作简单变换即可）阐述其基本步骤：1、取 和 为基本未知函数。2、将其他未知函数用应力表示。形变分量可通过物理方程用应力来表示，再由形变分量求解位移分量。这是一个积分过程，因此，位移分量用应力分量表示的公式一般含有积分带来的未定项，形式比较复杂。这就使得位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。因此，再按应力求解弹性力学问题时，我们通常只考虑全部为应力边界条件的问题。,重庆交通大学,两个平衡微分方程中只包含应力分量，可以作为求解应力的分量。但应力分量有三个，方程只有两个，还缺少一个方程。这个补充方程可以从几何方程和物理方程中消去位移分量和形变分量来得到。就是变形协调方程或相容方程。,3、在弹性体区域内导出求解应力的基本方程,重庆交通大学,应用平衡方程可以将上式进一步简化：消去,重庆交通大学,得到以下方程：,上式即为用应力表示的相容方程。,以上的推导过程是针对平面应力问题进行的，对于平面应变问题，只须做如下变换：,，,即可得到平面应变情况下的应力相容方程：,重庆交通大学,4、应力边界条件。如果全部边界上均为应力边界条件，则有：,重庆交通大学,2、按应力求解平面问题（平面应力问题），取应力分量 和 为基本未知函数，且应力分量必须满足下列全部条件：(1)平衡微分方程,(2)相容方程,(4)若为多连体，还须满足位移单值条件。,(3)应力边界条件(假设全部为应力边界条件),重庆交通大学,单连体,多连体,重庆交通大学,小 结,1、按位移求解平面问题（平面应力问题），取位移分量u和 v为基本未知函数，u和 v 必须满足下列全部条件：(1)用位移表示的平衡微分方程,(2)用位移表示的应力边界条件,(3)位移边界条件：,重庆交通大学,2、按应力求解平面问题（平面应力问题），取应力分量 和 为基本未知函数，且应力分量必须满足下列全部条件：(1)平衡微分方程,(2)相容方程,(4)若为多连体，还须满足位移单值条件。,(3)应力边界条件(假设全部为应力边界条件),重庆交通大学,本节需重点掌握的内容：,1、按位移求解平面问题的步骤及基本未知函 数须满足的条件；,2、按应力求解平面问题的步骤及基本未知函 数须满足的条件。,重庆交通大学,3.7 常体力情况下的简化应力函数,重庆交通大学,3.7 常体力情况下的简化应力函数,在很多的工程问题中，体力为常量，即体力分量 和 不随坐标 x 和 y 而变化。例如重力和常加速度下平行移动时的惯性力，就是常见的常量体力。在体力为常量的情况下，弹性力学问题的求解可以得到大大简化。在介绍本节内容之前，为了便于理解，我们把前面几节学过的弹性力学平面问题的基本方程、边界条件等知识再简单回顾一下。,重庆交通大学,2、按应力求解平面问题（平面应力问题），取应力分量 和 为基本未知函数，且应力分量必须满足下列全部条件：(1)平衡微分方程,(2)相容方程,(4)若为多连体，还须满足位移单值条件。,(3)应力边界条件(假设全部为应力边界条件),重庆交通大学,5、按应力求解时的相容方程（形变协调方程）,（2-21）,（二）平面应变问题,（2-22）,（一）平面应力问题,重庆交通大学,常体力情况下的简化,在常体力情况下，相容方程（2-21）和（2-22）的右边成为零，因此两种平面问题的相容方程都简化为,即：在常体力情况下，应当满足拉普拉斯微分方程即调和方程，也就是说，应当是调和函数。为了书写方便，以下用记号 代表，则上式可简写为,（2-23）,重庆交通大学,考察平面问题的平衡微分方程、相容方程和应力边界条件可以看出，在体力为常量的情况下，上述各式中都不包含弹性常数，因而以上方程和边界条件对于两种平面问题都是相同的。,因此可以得出如下结论：,当体力为常量时，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同的边界形状，并受到同样分布的外力作用，那么，不管这两个弹性体的材料是否相同，也不管它们是在平面应力情况下还是在平面应变情况下，应力分量 和 的分布是相同的。,注意：两种平面问题中的应力分量、以及形变和位移却不一定相同。,重庆交通大学,根据以上结论，如果物体边界相同且受同样外力作用，则：,2、针对平面应力问题而求出的应力分量同样也适用于平面应变问题。,1、由某种材料构成的物体求出的应力分量同样也适用于其他材料构成的物体；,上述特点给弹性力学试验应力分析及其在工程上的应用带来了极大的便利和经济效益。比如：在用实验方法量测结构或构件的应力分量时，可以用便于加工和量测的材料来制造模型，以代替原来不便于加工和量测的材料；也可用低廉的材料代替昂贵的材料。又如，我们还可以用平面应力情况下的薄板模型来代替平面应变情况下的长柱形结构或构件。,重庆交通大学,光弹试验示意图,重庆交通大学,由以上讨论可见，在体力为常量的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量 和 应当满足平衡微分方程,（a）,以及相容方程,（b）,在边界上满足应力边界条件。多连体须满足位移单值条件。,重庆交通大学,平衡微分方程（a）是一个非齐次微分方程组，由高等数学知识可知，该方程组的解答包含两部分：任意一个特解+对应的齐次微分方程组的通解。,特解可取:,或者:,或者:,重庆交通大学,（c）,对应的齐次方程为:,弹性力学问题中偏微分方程组的求解一般都很复杂，英国数学家艾里对此进行了研究，给出了一种简化的解法。,重庆交通大学,艾里（）（1801-1892）英国数学家、天文学家1862年，发表了关于弹性力学的平面理论，提出了应力函数解法。,重庆交通大学,求解:设函数,根据微分方程理论，在二阶混合偏导数连续的条件下,该函数对 x,y 的二阶混合偏导数具有相容性，即,求导结果与求导次序无关。,根据这一性质，假如函数C和D满足:则一定存在某一函数 f，使得,重庆交通大学,将齐次微分方程组（c）的第一个方程改写为,由上述分析可知，一定存在某一个函数，使得下面两式成立，,同理，将齐次微分方程组的第二个方程改写为,则一定也存在某一个函数，使得，,重庆交通大学,考察方框内公式，可以很显然得到：,再次应用偏导数的相容性 必然存在某个函数，使得,重庆交通大学,将A、B代回、的表达式可得：,重庆交通大学,将A、B代回、的表达式可得：,齐次方程的通解,，,，,将此通解与任一组特解相叠加，即得到平衡微分方程的全解：,，,，,重庆交通大学,这里的函数 称为平面问题的应力函数，又称为艾里应力函数（Airy stress function）艾里在1862年首先提出这个概念。由于上述全解是从平衡微分方程得出的解答，所以必然满足该方程。同时，推导全解的过程本身也证明了应力函数 的存在性。特别需要指出的是，虽然应力函数 依然是一个待定的未知函数，但是三个应力分量，和 用 来表示后，可以使平面问题的求解得到很大的简化：待求的未知函数从3个变为1个，并从求解应力分量，和 变换为求解应力函数。,重庆交通大学,应力函数应满足的条件,全解中所表示的应力分量应该满足相容方程：,将 的应力函数表达代入上式得：,常量,重庆交通大学,进一步简化：,上式即为应力函数表示的相容方程。从中可看出：应力函数应当满足重调和方程，也就是说，它是重调和函数。,综上所述，在常体力的情况下，弹性力学平面问题中存在着一个应力函数。按应力求解平面问题，可以归纳为求解一个应力函数，并使其满足以下条件:,(1)区域内的相容方程；,(3)对于多连体，还必须满足位移单值条件。,(2)边界上的应力边界条件(设全部为应力边界条件)；,重庆交通大学,应力函数表示的相容方程,重庆交通大学,小 结,1、常体力情况下，相容方程简化为（调和方程）,2、如果满足以下三个条件：（1）体力为常量；（2）边界形状相同且均为应力边界条件（无位移条件）；（3）弹性体为单连体（位移单值条件自然满足）。则求解应力分量 和 的平衡微分方程、相容方程、应力边界条件中均不包含任何弹性常数，得出的应力分量与弹性常数无关。这一特点带来了两个便利：,重庆交通大学,(a)对于不同材料，应力分量的理论解答相同。在用试验方法量测应力时可以用其他模型材料代替；,(b)两类平面问题的应力解答相同，理论解可以通用。在进行模型试验时可以用平面应力模型取代平面应变模型，简化模型的制作和加载。,3、常体力情况下，平衡微分方程是非齐次微分方程，它的解答是任一特解和对应的齐次微分方程的通解之和。,特解：，,通解：，,重庆交通大学,全解：，,其中 称为艾里应力函数，是一个未知函数。艾里应力函数的引入在一定程度上简化了平面问题的求解：从求解三个应力未知函数转化为求解一个应力函数。特别需要指出的是，推导应力函数 的过程本身也证明了 的存在性。,4、用应力函数求解平面问题需满足的条件：,（1）相容方程：；,（2）应力边界条件（全部为应力边界条件）；,（3）对于多连体，须满足位移单值条件。,重庆交通大学,本节内容需重点掌握：,1、常体力情况下解答的特点及工程意义；,2、应力函数的推导及其需要满足的条件。,重庆交通大学,例题：,例：试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在,应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件，即,（a）相容；,（b）须满足B=0,2A=C；,（c）不相容。只有C=0，,重庆交通大学,例题：,例：在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：,解：弹性体中的应力，在单连体中必须满足：（1）平衡微分方程；（2）相容方程；（3）应力边界条件；,重庆交通大学,例题：,解：（a）此组应力满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F,D=-E.此外，还应满足应力边界条件。（b）为了满足相容方程，其系数必须满足 A+B=0。为了满足平衡微分方程，其系数必须满足 A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此此组应力分量不可能存在。,重庆交通大学,例 图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，,重庆交通大学,解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足（1）平衡微分方程；（2）相容方程;（3）应力边界条件。将应力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。,重庆交通大学,校核边界条件，主要边界条件上：,重庆交通大学,将 代入给定的应力公式，得,重庆交通大学,将式（1）代入次要边界，,其主矢量为：,其主矩为：,重庆交通大学,其主矢量为：,其主矩为：,所有次要边界条件满足，说明式（1）为问题之解,