《导数和极限》PPT课件.ppt

第二章 导数与极限,2.1 导数的概念,2.2 极限,2.3 函数的连续性,2.4 导数的计算,2.5 高阶导数,2.1 导数的概念,1 问题的引出,2 导数的定义,3 由定义求导数,4 导数的几何意义和物理意义,一、问题的提出,-瞬时速度问题,设作直线运动的质点，它的路程规律是s=s(t)，求它在任意时刻t0的速度v(t0),.,时间:,路程:,第一步,第二步,在这段时间间隔内的平均速度,最后,切线问题,播放,切线问题,割线的极限位置切线位置,如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,二、导数的定义,定义,其它形式,即,思考,三、由定义求导数,步骤:,例1,例,四、导数的几何意义与物理意义,1.几何意义,切线方程为,法线方程为,2.物理意义,在均匀情况下，凡是用除法定义的物理概念，在不均匀情况下，绝大多数是导数,均匀,不均匀,速度,加速度,电流强度,线密度,角速度,关于导数的说明：,五小结,1.导数的实质:增量比的极限;,2.导数的几何意义:切线的斜率;,3.求导数最基本的方法:由定义求导数.,2.2 极限,1 数列极限的定义,2 函数极限的定义,2.2.1 数列的极限,1 数列的定义,2 数列极限的定义,3 数列极限的性质,一尺之棰，日取其半，万世不竭,一根一尺长的木棒，每天拿去剩下的一半，却永远拿不完。,一、数列的定义,例如,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,有界性,例如,有界,无界,单调性,单调增加,单调减少,单调数列,二、数列的极限,问题:,当 无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例1,证,所以,注意：,例2,证,所以,说明:常数列的极限等于其本身.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,例3,证,例4,证,三、数列极限的性质,四则运算法则,子数列,注意：,例如，,定理1 以下三个命题等价,有一子列发散的数列必发散或两个子列都收敛但收敛于不同值的数列也发散，例,定理2 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,例,2.2.2 函数极限的定义,1 自变量趋于有限值时函数的极限,2 自变量趋于无穷大时函数的极限,1 自变量趋向于有限值时函数的极限,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,记作,几何解释:,注意：,单侧极限:,例如,左极限,右极限,例,2 自变量趋向于无穷大时函数的极限,另两种情形:,几何解释:,例,函数极限的统一定义,小结,2.2.3 函数极限的性质,1 唯一性 2局部有界性3局部保序性 4局部保号性,2.有界性,1.唯一性,一 函数极限的性质,注意：这是极限存在的一个必要不充分条件。,可得又一个判断极限不存在的方法：函数在某点的去心邻域内无界，则在这点的极限必不存在。,3.不等式性质,定理7(保序性),定理（比较区别）,推论1(保号性),推论2,2.2.4 无穷小与无穷大,1 无穷小的定义与性质2 无穷大的定义与性质3 无穷小与无穷大的关系,1、定义:,极限为零的变量称为无穷小.,二 无穷小与无穷大,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是唯一可以作为无穷小的常数.,性质：无穷小与函数极限的关系,意义,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,定义 绝对值无限增大的变量称为无穷大.,2 无穷大,若，则称函数f(x)为 时的无穷大。,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是 无界变量未必是无穷大.,定理9 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,3 无穷小与无穷大的关系,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,性质:(1)若在x的某一变化过程中，f(x)是无穷大，g(x)是有界量，则f(x)+g(x)是无穷大。,(2)若在x的某一变化过程中，f(x)是无穷大，g(x)满足|g(x)|M(M0),则f(x)g(x)是无穷大。,2.2.5 极限的运算法则,A 无穷小的运算法则,B 极限的运算法则,C 复合函数求极限的换元法,D 夹逼准则,A、无穷小的运算性质:,定理10 在同一过程中,有限个无穷小的和仍是无穷小.,定理11 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积 是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,定理12,B 极限的运算法则,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例,解,例,(消去零因子法),例,解,(无穷小因子分出法),小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,思考题,在某个过程中，若 有极限，无极限，那么 是否有极限？为什么？,极限不存在,在某个过程中，若f(x)极限不存在，g(x)极限也不存在，则f(x)+g(x)极限是否存在？为什么？,不一定，可能存在，可能不存在,意义：,D 极限存在准则,C 复合函数求极限的换元法,E 两个重要极限,2.2.5 极限的运算法则,2.2.6 无穷小的比较,A 无穷小的阶,B 等价无穷小代换定理,C 无穷小的主部,D 极限存在准则,1.夹逼准则,例,E、两个重要极限,(1),(2),证明:不妨设,显然,即,有,即,两个重要极限的推广,例1,例2,例3,例4,例5,例6,另一个常用的重要极限,例1,例2,例3,其中,结论,例4,2.2.6 无穷小的比较,例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,A 无穷小的阶,定义:,例2,例1,例3,从而得,例4,即,即,B 等价无穷小代换,定理12(等价无穷小代换定理),若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限,注意,不能滥用等价无穷小代换.,切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.,例1,显然,而,所以,即,=1,例2,解:由题意知,所以a=2,例3,例4,例5,注意:在用等价无穷小代换时,必须是在乘积形式 的极限中,和差形式不能代换.,例6,C 无穷小的主部,意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如,常用等价无穷小:,小结,1、无穷小的比较,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.,2、等价无穷小的代换:,求极限的又一种方法,注意适用条件.,高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.,则,思考：,证明：,