《中值定理教学》PPT课件.ppt

一、费马定理,二、罗尔(Rolle)定理,几何解释:,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,验证定理正确与否的命题，一定要验证两点：,（1）定理的条件是否满足；,（2）若条件满足，求出定理结论中的,思考2.设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,现在我们把曲线在平面内旋转一定角度,拉格朗日 Lagrange(法)1736-1813,拉格朗日中值定理,(1),(2),使得,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,注,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,微分中值定理,（3）拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,平均值公式,不满足在闭区间上连续的条件；,且,不满足在开区间内可微的条件；,以上两个都可说明问题.,8）拉格朗日中值定理的条件缺一不可：,拉格朗日中值定理,(1)在区间 a,b 上连续,满足:,(2)在区间(a,b)内可导,至少存在一点,使,思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,证明方法,作辅助函数,显然,在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且,证明:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在,即定理结论成立.,一点,例 1 证明若f(x)在a,b上可微，,(a,b),使,证明:,则至少存在一点,作辅助函数,显然 f(x)在 a,b上满足拉格朗日定理条件,有,即,推论,证:在I上任取两点,由 的任意性知,在 I 上为常数.,例2.证明等式,证:设,由推论可知,(常数),令 x=0,得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,例3.证明不等式,证:设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,柯西中值定理的 几何解释,三、柯西(Cauchy)中值定理,例8,证,分析:,结论可变形为,故证,例9.设,至少存在一点,使,证:结论可变形为,设,则,在 0,1 上满足柯西中值,定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使,即,证明,例11.试证至少存在一点,使,证:,法1 用柯西中值定理.,则 f(x),F(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,例11.试证至少存在一点,使,法2 令,则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,例11.试证至少存在一点,使,法3 令,则 f(x)在 1,e 连续,四、小结,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,费马(1601 1665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,至今尚未得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的.,拉格朗日(1736 1813),法国数学家.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书 7 本,思考题,试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.,思考题解答,不满足在闭区间上连续的条件；,且,不满足在开区间内可微的条件；,以上两个都可说明问题.,练 习 题,练习题答案,