X射线晶体学(第一章).ppt

X射线晶体学,制作者:钱存富 耿 岩,前 言,材料各种参数的测量已经成为材料研究的主要手段。而这些参数是人们建立理论、设计新材料、制定新工艺和改进材料性能的根本依据。射线晶体学是使用射线衍射方法测定晶体材料的某些参数和内部结构的一门学科。,课程的主要内容：,基本理论：射线的基本知识、晶体结构的基本知识、晶体对射线的衍射。实验方法：粉末照相法、劳埃照相法、衍射仪法。应用：衍射花样的指数标定、点阵常数的精确测定、单晶定向、物相的定性及定量分析和织构的测定等。,主要参考书：,1、晶体结构几何理论，肖序刚，冶金工业出版社 2、X射线金属学，范雄，机械工业出版社 3、金属物理研究方法（一），赵伯麟，冶金工业出版社 4、晶体X射线衍射学基础，李树棠，冶金 工业出版社 5、粉晶X射线物相分析，地质出版社 6、固体X射线学，黄胜涛，高教出版社,第一章,晶体学基础,1-1 晶体及晶体结构,一、晶体与非晶体 传统观点认为:把具有固定熔点和规则外形的一类固体称为晶体；把无固定熔点和规则外形的一类固体称为非晶体。例如：食盐、冰、水晶、通常所看到的金属及金属制品等为晶体；橡胶、塑料、玻璃等称为非晶体。注：将固体分为晶体与非晶体，是从传统意义上讲的。现在有人将固体分为晶体、非晶体和准晶三类。,左上图为硅氧四面体，为氧，为硅。石英晶体（水晶）和石英玻璃的化学成分都是SiO2，都构成Si、O四面体，这些四面体以不同的方式排列，分别得到晶体和非晶体,如左下图。,晶体与非晶体的本质区别为:晶体是具有按一定的几何规律排列的内部结构的固体.而非晶体的内部结构排列得不十分规律或毫无规律。,二、晶体结构,晶体的内部结构称为晶体结构。它是以原子、离子、分子或原子集团按照一定的规律排列而成的。原子的规则排列实际上是从时间平均意义上来说的，实际上是为原子出现几率最大点的规则排列，因为原子在围绕这一点作振动。通常情况下，金属和金属制品都是晶体，但如果让金属和金属或金属和非金属（甚至一种金属）的熔液以每秒106度以上的冷却速度冷凝,所得到的金属合金,其内部原子的排列呈现长程无序,把这样的合金称为非晶态合金(金属玻璃).它们的许多性能比晶态优越.,单晶体和多晶体：,在晶体形成过程中，原子按同一几何规律排列成一个完整结构的区域称为一个单晶体。由两个以上的单晶体所组成的晶体称为多晶体。单晶体呈现为各向异性，而多晶体呈现为各向同性。,三、几种常见的晶体结构类型,1、金属晶体 晶体的原子外层的电子脱离原来的原子成为自由电子，它们在正离子之间运动，形成电子云，其处于公有化状态，金属晶体的结合是靠处于公有化状态的价电子和正离子间的吸引力。1）面心立方结构（A1型）八个顶点和六个面中心有原 子。主要有：铜（Cu）、银（Ag）、金（Au）、铝（Al）、铅（Pb）、镍（Ni）、-铁（-Fe）等。,2）体心立方结构（A2型）八个顶点和体中心有原子。主要有：锂（Li）、钠（Na）、钾（K）、铯（Cs）、铬（Cr）、钼（Mo）、-铁（-Fe）、钒（V）、钨（W）等。,3)蜜排六方结构（A3型）除八个顶点有原子外,在体内还有一个原子,但其不在体中心。主要有：镁（Mg）、铍（Be）、锌（Zn）、-钛（-Ti）等。,2、共价晶体,它们是靠共价键结合的,即由相邻原子的公用价电子结合而成。左图为金刚石型结构（A型），除八个顶点和六个面中心有原子外，体内还有四个原子，这些原子也不在体中心。金刚石、硅（Si）、锗（Ge）等属于这种结构。,3、离子晶体,构成晶体的基本粒子是离子，晶体的结合是靠正负离子间的静电吸引作用，其中一种离子的最近邻必是异性的原子。1）NaCl型晶体结构（B1）如图，晶体结构中含有 两种类型的离子，一正一 负。主要有：VC、NbC、TiC、ZrC、NaCl、MgCl、PbS、AgCl、TiO、AgBr 等。,2）CsCl型结构（B2）,如图,晶胞中也有两种类型的原子,属于这种结构的有:CsCl、Zn、FeCo、NiAlAgCd、CuZn、FeAl等。）闪锌矿型结构（B）如图,也是由两类原子组成，属于这种结构的有:ZnS、BeS、CdTe、InSb等。,1-2 空间点阵,一、空间点阵概念 1、等同点 在晶体结构中几何环境和物理环境都相同的点称为等同点。如NaCl晶体结构中,Na离子所在点为一类等同点,Cl离子所在点为另一类等同点.,2、空间点阵,在同一晶体结构中，由各类等同点单独所组成的图形具有完全相同的排列规律。如左图 概括地表示晶体结构中等同点规则排列的几何图形（点的集合）称为空间点阵。左图为NaCl晶体结构所对应的空间点阵,二、对空间点阵的说明,1、构成空间点阵的点是抽象的几何点，通常称为结点或格点。在上面的例子中，它们可代表Na离子，也可以代表Cl离子，还可以代表任一没有离子存在的等同点，例如它们的中点。2、晶体结构是由无数个质点排列而成。空间点阵也是无限的，它概括了晶体结构的周期性。把结点在同方向以相等距离重复出现的性质叫做周期重复性，简称周期性。在相同方向，结点之间的距离是相等的，不同方向结点之间的距离不一定相等。,用不在同一平面内的三个方向的平行直线束将空间点阵穿接起来，构成“空间格子”。通过结点的直线称为结 点直线，一组平行的结点 直线称为结点直线束。以两个方向的结点直线 构成的平面称为结点平面，平行的结点平面称为结点 平面族。整个空间点阵分成无数个大小相同的平行六面体，每一个平行六面体称为单位空间格子（单位点阵、单位阵胞），空间点阵也可称为空间格子。,三、晶体结构与空间点阵的关系,某些物质，不论它们的晶体结构之间如何有差异，繁简差异如何之大，只要它们的空间排列的周期性相同，它们就具有相同的空间点阵。,四、几种常见晶体结构的空间点阵,1、面心立方点阵 Cu晶体结构具有和NaCl晶体结构相同的空间点阵面心立方点阵。所不同的只是各方向上的周期不同。左图为Cu的空间点阵，也为NaCl的空间点阵。,金刚石结构完全由碳原子组成。但它们是由两类等同点组成，如左图所示。同类等同点所组成的空间点阵也是面心立方点阵。,2、初基（简单）六方点阵,镁晶体结构中的原子也是由两类等同点组成（如下页所示）。其空间点阵如右图所示。,3、体心立方点阵,Fe、Li、Na、K、V、Mo、W等的空间点阵为体心立方点阵。问题：CsCl的空间点阵是什么类型？,五、晶体的严格定义,晶体是其内部结构具有空间点阵这种几何图形的固体。非晶体不具有空间点阵这种几何图形，因而其不具有周期重复性。准晶体,1-3 晶体的对称性,对称是物质体系中各组成部分之间相互联系、相互作用的一种较为普遍的现象。晶体结构中，原子的排列同样具有对称的特性。如果一个物体经过某种动作后能够恢复原状，物体上每一点的新位置与开始时另一点在这个位置上的情况完全重合。也就是说，其位置、形态相对于观察者来说没有发生变化，称此现象为规则重复。使物体产生变化的动作称为对称操作（对称动作、对称变换、对称运用）。在对称操作中所凭借的几何元素（点、线、面）称为对称元素（对称要素）。,一、宏观对称操作,1、旋转 以晶体结构中某一直线作轴，整个晶体围绕它旋转一定的角度而得到规则重复，这种对称操作称为旋转。旋转所围绕的直线是旋转操作的对称元素，称为旋转对称轴（简称旋转轴、对称轴）；旋转所转动的最小角度称为基转角，记为；n称为旋转轴的轴次，按圣弗利斯符号记为Cn，国际符号记为n,晶体结构中一共存在五种旋转对称操作,(1)一次旋转，=360，旋转轴记为C1（1）；（2）二次旋转，=180，旋转轴记为C2（2）；（3）三次旋转，=120，旋转轴记为C3（3）；（4）四次旋转，=90，旋转轴记为C4（4）；（5）六次旋转，=60，旋转轴记为C6（6）。问题：立方体的所有对称轴？,在晶体结构中不存在五次和大于六次的旋转轴,2.反映,图形中一部分沿中分面与另一部分互成镜像，即物体表面或内部的每一点通过该物体中的一个平面反映，在平面的另一侧等同距离处可以找到相同的点，则这种对称操作称为反映。上述平面称为对称面（反映面），记为（国际符号为m）。立方晶系有9个对称面，如下图所示。,3、反演,物体表面上每一点如果与物体中心点连一直线，并延长与该物体的另一侧相交，在交点处得到与直线这一端同样的一点时，则这种对称操作称为反演。施行反演操作所凭 借的i点称为反演中心（对称中心），记为i（国际符号为I）。立方晶系的对称中 心如图所示。,4、旋转反演,晶体绕一固定轴转动 后再经反演，对观察者来说，位置、形态与动作前一样，这种操作称为旋转反演。左图为立方体的Ci4对称操作，A转到B，反演到H；B转到C，反演到E；C转到D，反演到F；D转到A，反演到G。同样，E反演旋转到D；F反演旋转到A；G反演旋转到B；H反演旋转到C。对观察者旋转前后完全一样。,旋转反演是旋转和反演两个动作的联合，是一种复合对称操作，对称元素为反演轴，记为Cin，（国际符号为）。与旋转轴一样，晶体 中只有、五种反演轴。,由图可以看出：Ci1=I;Ci2=;Ci3=C3;Ci4=C2C4,C4具有Ci4作用;,Ci6=C3C6,C6具有Ci6作用.,二、微观对称操作,1、平移 将晶体结构（或空间点阵）平行移动到与原来环境完全相同的位置，这种对称操作称为平移。沿 方向的格点直线平移所凭借的对称元素称为平移轴，记为,2、螺旋旋转(旋转+平移),首先绕一固定轴旋转 角度后接着平移方能得 到规则重复,这种复合对称操作称为螺旋旋转。凭借的轴称为螺旋轴,记 为,它平行于结点直线,也只能有1、2、3、4、6次。,矢量 称为螺旋旋转的平移成份，,（P=1、2、3.n-1）一次螺旋旋转，螺旋轴记为11；二次螺旋旋转，螺旋轴记为21；三次螺旋旋转，或 螺旋轴记为31和32。,四次螺旋旋转，、和 螺旋轴记为41、42和43；六次螺旋旋转，、和 螺旋轴记为61、62、63、64 和 65。一般螺旋轴记为Sn（国际符号记为np）,3、滑移（反映+平移）,凭借一个平面施行反映之后，再平行于该面施行平移，而使晶体结构图形得到规则重复，这种对称操作称为滑移。滑移对称操作中的反映面称为滑移面。平移矢量 称为滑移的平移成分。,1-4 对称群,晶体结构的对称元素是相互制约而又互相协同的。因此，对称元素所标志对称操作也是互相关联地呈现在一个晶体结构，并按一定内在规律组合在一起。晶体结构中，按一定规律组合在一起的对称操作的集合（对称操作的组合）称为晶体结构的对称群。根据组成对称群的对称操作的不同，对称群可分为点群、平移群和空间群。,一、点 群,在晶体结构中，由旋转、反映、反演、旋转反演这4种宏观对称操作所构成的对称群称为点群。之所以称为点群，是因为对一个对称图形施行这几种对称操作时，对称图形中至少有一个不动点，而标志各对称操作的对称元素至少要相交于一点。点群只表明晶体结构的对称性。可以证明，从晶体结构三维空间对称图形来看，其点群只有32种，称为32点群（32晶类、32对称型）,二、平移群,在作为无限图形的空间点阵中，其各个方向上的平移操作之集合所构成的对称群称为平移群。空间点阵的周期性可由平移群来表征。平移群共有14种，称为14种平移群（14种布拉维点阵）三、空间群 在晶体结构中，由旋转、反映、反演、旋转反演、平移、螺旋旋转、滑移这7种对称操作集合而成的对称群称为空间群。空间群既可表明晶体结构的周期性，又可表明晶体结构的对称性。可能有的空间群共230种。,1-5 布拉维格子和晶系的划分,一、布拉维格子的选取 整个空间点阵是由一定形状的平行六面体作为单元堆积而成。平行六面体是可以任意选取的，如图,为了表示出各种晶体结构中质点排列的规律性，特别是它的对称性，必须确定一种选择方式，使得所选的单位格子能够唯一地表征每一种晶体结构在原子排列上的特殊周期性和特殊对称性。布拉维格子就是为达到这个目的而选取的单位格子。,1、布拉维格子的选取,1）所选取的单位格子应该能够反映出整个空间点阵所固有的点群对称性。也就是它的对称性应与空间点阵的点群一致。而空间点阵是晶体结构的抽象，因此所选单位格子也就表明了原来晶体结构的点群对称性。2）在满足第一条的基础上，所选取的单位格子的平面角要尽可能等于直角。3）在满足上述两条的基础上，所选取的单位格子的体积要尽可能的小。,2、一个例子,立方体：，正方体：，菱面体：,3、14种布拉维格子,二、晶系的划分,1、晶系划分的原则 空间点阵的点群对称性是晶体结构的固有特性。根据这种特性，可以把晶体划分为七大晶系。,2、各晶系的特征对称元素1）三斜晶系，无Cn（n2）和；2）单斜晶系，具有m个C2和n 个，且m+n=1或2；3）正交（斜方）晶系，具有m个C2和n 个，且m+n=3或6；4）三方晶系，具有1个C3或Ci3；5）四方（正方）晶系，具有1个C4或Ci4；6）六方晶系，具有1个C6或Ci6；7）立方晶系，具有4个C3。,三、四种类型的布拉维格子,1、划分原则 根据单位格子中的格点的位置划分。2、类型1）初基（简单）格子，仅在八个顶点有格点，常用字母P表示，其平移矢为、。每个单位格子中有一个格点。,2）底心格子，除八个顶点有格点外，在上下（左右、前后）面中心也有格点，常用字母C（B、A）表示，其平移矢量为、。每个单位格子中有两个格点。3）体心格子，除八个顶点有格点外，在体中心也有一个格点，常用字母I表示，其平移矢量为、。每个单位格子中有两个格点。,4）面心格子，除八个顶点有格点外，各个面的中心也都含有有格点，常用字母F表示，其平移矢量 为、和。每个单位格子中有四个格点。,四、单位晶胞,在晶体结构中，由单位平行六面体（单位点阵、单位格子）所圈划出来的那一部分称为单位晶胞，简称晶胞。晶胞常数和点阵常数相同，通称为点阵常数。处于晶胞角顶处的原子是8个晶胞所共有，其有 属于该晶胞，而面上的原子有 属于该晶胞，棱上有 属于该晶胞。同样可算出单位点阵中 的阵点(格点)数。,1-6 晶体定向一、晶体定向的意义 同方向上的原子平面不仅互相平行，而且互相之间的距离也相同，各原子平面上的原子分布情况也完全相同。因为不同方向上的原子面上的原子分布不完全相同，因此不同方向的原子平面具有不同的特性，晶体表现出各向异性，所以要进行晶体取向的确定工作。在晶体结构中引人一套坐标系的手续称为晶体定向。,二、标准定向,在晶体结构中，把标志晶体结构对称性和周 期性的布拉维格子的三边选作基矢、，并用、定出 ox、oy、oz三个坐标轴，这样的定向称为标准定向，或称为布拉维标准定向。各个晶系的布拉维格子互不相同,三、点的坐标,如果R为晶体结构中的任一点，则由坐标原点到此点的矢量 可根据矢量代数写成：其中、为坐标的基矢，x、y、z为 在3个轴上的投影。则R的坐标可记为xyz 或（x，y，z）、xyz。xyz为3个实数。,四、晶向指数,在晶体点阵（晶体结构）中，任何一条格点（质点）直线的方向称为晶向。其数字表示符号uvw称为晶向指数或称为直线指数。,1、晶向指数确定根据,晶体定向以后,对于标志着一定方向和周期为 的格点直线束L来说,只考虑其中过坐标原点的LO即可，因为L0已把L的取向和周期表示出来。设L0上一格点R0，其坐标为x0 y0 z0，则 若L1上有两格点R1和R2，其坐标分别为x1 y1 z1，x2 y2 z2，则,若L1上有两格点R1和R2，其坐标分别为x1 y1 z1，x2 y2 z2，则,所以 上式表明，L格点直线束中任一格点直线上两格点R1和R2相应坐标差的比等于L0上任意一点R0的坐标之比。,2、晶向指数的求法,1）求法一 a、过坐标原点作一直线L0 平行于直线L1，b、在L0 上取一点R0，以a、b、c为单位，求出其在x、y、z轴上的3个坐标xo、yo、zo，c、将这3个数化成没有公 约数的整数（互质整数）连 比，即 uvw即是L格点直线束的晶向指数,2）求法二,在L1格点直线上 任取两点,其坐标 分别为R1x1y1z1 和R2x2y2z2,将、化成三个 互质数连比，即,3、注意点 1）如果坐标是负值，即直线指向负方向，则在相应的指数上加一负号；2）方向指数100与点坐标100不可混淆；3）互相平行的格点直线，其方向指数相同。,4、举例,求面心斜方格子x、y、z 轴和L1、L2的晶向指数。解：因为x、y、z轴上距坐标原点最近的点的坐标为100、010、001，故 uvwx=100 uvwy=010 uvwz=001,对L1，其上两点R1、R2，坐标分别为 和 则:,对L2，其上两点坐标分别为 和，则:,五、晶面指数,通过点阵中若干格点而成的一个平面称为格点平面（在晶体结构中称为晶面），晶面的数字表示符号（hkl）就是晶面指数（面指数），又称为蜜勒（Miller）指数。,1、晶面指数确定的根据,如图，ABC为一格点平面，分别交x、y、z轴于A、B、C点，O为原点，其截距分别为 a、b、c为轴单位，m、n、p为相应的截距系数。根据平面方程的截距式可以写成 式中m、n、p为三个有理数，并且总可以找到另一正的有理数t，使得,Hkl为三个互质整数，所以上式可以写成 m、n、p的不同，平面方位就要变化。所以对于一 固定平行平面族、这个连比值是一定 的。即hkl是一定的，因此可以用h：k：l 来表明 面的位向。,2、晶面指数的确定,1)求法一 a、找出ABC面与x、y、z轴的截距系数m、n、p；b、写出这三个截距的倒数、；c、把上述三个分数化为互质整数连比则（hkl）即为晶面ABC的面指数。,1)求法二,如果已知所求平面上的三个格点R1x1 y1 z1、R2x2 y2 z2和R3x3 y3 z3，将它们分别代人 方程中，得一组方程组,联立求解，得,3、注意点,1）如晶面与某一轴的负方向相交，则相应的指数上加一负号表示，如；2）当晶面与一晶轴平行时，则可认为与该轴在无 穷远处相交，即截距系数为，而 等于0，所以相应于这个轴的指数为0；3）在晶体结构中凡是互相平行的晶面，其晶面指数均相同。此外，,4、例：求面心格子的 ABGF、EFG、HIB等平面的 面指数,解：1）ABGF平面与x、y轴的截距系数分别为1和1，与z轴平行。其面指数为：,2）平面EFG，其上可找出 三点，坐标分别为：E110、F101和 G011，则：也可用截距来求，其截距分别为-1、-1、-1，则其晶面指数也为（111）。,3）对平面HIB，其上三点的坐标分别为 H、I 和 B。,六、六方晶系的四轴定向,1、四轴定向的必要性 1）三轴定向使用了与z轴垂直的两个二次轴来定义 x、y轴，就不能显示出六方晶系的对称特性。,2）在晶向和晶面指数的表示上也不能显示其对称情况。,2、四轴定向的表示原则 将垂直于z轴的三个二次轴都选作坐标轴，分别记为、和，其上的基矢记为、,3、四轴定向下的点的坐标,若则R点的坐标可以记为因为可得,上式为4轴定向的点坐标转换成3轴定向的点坐标关系式。在4轴定向中，为了便于计算，规定点的坐标在x1、x2、x3轴上分量应满足：这样得3轴和4轴定向的点坐标转换关系式：,4、四轴定向下的直线的晶向指数,设3轴定向下的指数为UVW，4轴定向下的指数为uvtw，则有转换关系式：,5、六方晶系的晶面指数,1）由该晶面与四个晶轴的截距的倒数求得，即：2）根据平面截距式方程得 3）有时写成注意：在立方晶系中，如果一晶向和某一晶面的指数数值相同，则这一晶向一定和该晶面垂直。在其它晶系中，这种关系就不一定了。,六、单形和聚形,1、晶向单形 在晶体结构中凡能用宏观对称操作（点群对称操作）而产生规则重复的晶向组合称为一个晶向单形（点群直线系）例如：在立方晶系中，可通过宏观对称操作与 作规则重复，所以这六个晶向构成一 个晶向单形，记为,2、晶面单形,1）定义：在晶体结构中，凡能用宏观对称操作（点群对称操作）而产生规则重复的晶面的组合称为一个晶面单形（点群平面系），简称单形。例如：在立方晶系中，可通过宏观对称操作与 作规则重复，所以这六个晶面构成一个晶面单形，记为：100.同一单形中的晶面，其形状、大小和性质等应该是完全相同的。,2）单形的种类,a、闭形：如果一个单形的各晶面能围成封闭的多面 体，则此单形称为闭形。b、开形：凡是不能构成封闭多面体的则为开形。3）重复次数 构成单形的晶面的数目称为该单形的重复次数（重复因子）。4）单形符号的写法a、根据点群元素确定晶系，选取坐标系。写出晶面（晶向）指数；b、尽可能选取指数中正数较多者；c、尽可能选取指数中数字按大小递减次序排列；d、4轴定向时，第四个数字除外，然后按2）、3）两条选取。,3、聚形,由两个或两个以上的单形所组成的多面体称为聚形。如果单形中出现n种大小、形状不同的晶面，一般这个聚形含有n种单形。,概括：单形的晶面在物理性质和化学性质上彼此相同，在理想结晶情况下，晶面的外形也相同，因此可以借助对称操作由一个晶面推道出其余的晶面。聚形的各种晶面间毫无对称操作联系，因此在外形上、数量上以及其他性质上可能各不相同，它是单形的总和。,1-7 倒易点阵概念,为了能够简便地解决晶体学中的一些问题和更清楚地解释各种衍射问题，现在引人一种新的几何图形倒易点阵，它是在空间点阵（晶体点阵、正点阵）的基础上按照一定的对应关系建立起来的，它也是一种点的集合，是一种数学模型。倒易点阵是由被称为倒格点或倒易点的点所构成的一种点阵，它也是描述晶体结构的一种几何方法，它和空间点阵具有倒易关系。,一、倒易点阵几何,倒易点阵中的一格点对应着晶体点阵中一族晶面间距相等的格点平面。如果让两个点阵的原点重合，它们之间的关系为：1、晶体点阵中的 晶面在倒易空间中用一 点 来表示，和 间的连线垂直于晶 体点阵中的 晶面；,2、如果倒易点阵中的矢量 称为倒易矢量（严格说为倒格矢量），则 或 式中 称为 晶面族的晶面间距，它为该晶面族中相临两个晶面间的垂直距离。利用上述转换关系，可以由任何一个空间点阵得到其对应的倒易点阵，或者反之。,二、倒易点阵的矢量分析,1、若空间点阵的基矢为、，其相应的倒 易矢量的三个基矢为、，则这两个点阵的基本关系表示为：,证明：1）因为 所以2）因为式中 为 和 的夹角，所以,2、求、的大小和方向,解：因为 垂直于包含、两个矢量的平面，而 也垂直于包含、所在的平面，所以 与 成比例，即 将两边同乘以，则,所以即同样可得到其它两个值。,3、倒易矢量 表示对应于（hkl）面族的倒易矢量，则,三、正、倒点阵关系,1、小结 1）正点阵中的晶面在倒点阵中用一个倒易点表示，倒易点的指数用它所代表的晶面指数（干涉指数）标定。2）倒点阵中的点阵矢量 垂直于正空间中指数相同的格点平面，点阵矢量的长度 等于该格点平面 的面间距 的倒数，倒格点平面的指数用与其垂直的点阵矢量系数uvw来表示。,3）正点阵中的点阵矢量 垂直于倒空间中指数相同的倒格点平面 点阵矢量的长度 等于该倒格点平面的面 间距 的倒数，格点平面的指数用与其垂直的点阵矢量系数hkl来表示。,4)倒易点阵与正点阵的指数变换,一个晶面（HKL）的法向在正空间和倒空间分别有不同的表述方式，在倒易空间该晶向即为其所对应的倒易矢量，记为，在正空间中该晶面的法向是与其垂直的点阵矢量，记为 这记号为同一晶向在正、倒空间的不同表达形式，故可令：,分别点乘、可得 写成矩阵形式为：,分别点乘、可得 写成矩阵形式为：,2、举例,1）对于互相平行的晶面，倒易点阵为一维的图形。因为 所以,2）对于二维方向的平行晶面，倒易点阵为二维的图 形,图中实线为单斜晶系正点阵的ac平面，b轴与图面垂直，格点用小圆圈所代表。其对应的倒易点阵用虚线表示，格点用黑点表示。倒易格点100、001分别在正点阵的（100）和（001）晶面的法线上，且,和 的夹角为，这里，即 和 互为补角；倒易点阵与正点阵的阵胞具有相似的形状，但相当于绕原点旋转了90度。注:三斜和三方晶系无这种互补关系.,3、对于三维空间点阵，对应的倒易点阵也为三维图 形，如图。且：,1-8 晶体结构的有关计算一、正、倒单位阵胞的体积计算 1、单位晶胞的体积 2、单位倒易阵胞的体积计算二、晶面间距的计算三、晶面夹角的计算四、晶向夹角的计算五、晶面和晶向夹角的计算,1-9 晶带,一、晶带及其性质1、定义 在晶体结构（空间点阵）中，平行于某一固定晶向（直线）的所有晶面的集合称为晶带,2、性质,1）属于同一晶带的晶面的交线互相平行，其中通过坐标原点的那一条直线称为晶带轴，晶带轴的晶向指数即为该晶带的指数，称为晶带符号，记为。2）同一晶带的各晶面均平行于晶带轴，则这些晶面的法线均垂直于该晶带轴；属于同一晶带的所有晶面所对应的倒易矢量都位于通过倒易原点且与晶带轴垂直的平面上，这个平面被称为倒格点（倒易点）平面；因而，每个通过倒易原点的倒格点平面上的所有倒格点所对应的晶面均属于同一晶带。3）在晶体结构中，任一晶面至少同时属于两个晶带。,二、晶带定理,设 为某晶带的晶带轴，为这个晶带中某晶面（hkl）的倒易矢量。则 因为晶面（hkl）平行于晶带轴，所以 即 这就是说，凡是属于 晶带的晶面（hkl）都必须符合这个公式，通常称这个公式为晶带定理。,三、晶带计算,1、已知晶带内两个晶面（h1k1l1）和（h2k2l2），求此晶带轴T的指数uvw。解：因为这两个晶面均平行于晶带轴，所以它们均符合晶带定理，即联立求解得：,2、已知两个晶带 和，求这两个晶带交面的指数,解：根据晶带有：所以注意：三方晶系和六方晶系进行晶带计算时必须先变换为三轴定向。,四、倒格点平面与晶带的对应关系,倒易空间中过倒易原点的倒格点平面与晶体空间中的晶带相对应，即晶体空间的晶带在倒易空间中变换为过倒易原点 的倒格点平面，记为，o 表示过倒易原点 的倒格点平面。若倒格点 在这个倒格点平面上，则 这就是晶带定理。对应关系有下列几种情况：1、倒格点 位于 上，意味着晶面 属于晶带，符合晶带定理，即,2、两个格点、同在 上，意味着、这两个晶面同属于晶带，其条件是,3、三个格点、同在 上，意味着、这三个晶面同属于晶带，其条件是,4、与 相交于过 的直线（即），表明晶面 同属于两晶带 和，其条件是,5、交于倒格点直线，表明三晶带、共有一个晶面，其条件是,五、广义晶带定理,三维倒易格子可以用某一方位的倒格点平面族 表示，在这些 中，只有过 点的 与晶带 相对应，其余不过 的倒格点平面按距 的远近，依次标定为 在正方向，最靠近 点的倒格点平面 的方程式为：即：,在、上的截距分别、，故 的方程式为 即 由于 上的倒格点均为整数点，所以有 上式所表示的倒格点平面 与晶带 的关系称为广义晶带定理。,六、过倒易原点的二维倒易点阵平面的画法,1、采用试探法选两个满足晶带定理的低指数晶面所对应的倒易点 和；2、根据已知晶体结构的a、b、c、，分别算出、和 与 之间的夹角；3、根据、和角，作出 上的两个倒格矢量 和；4、以 和 为基矢进行周期重复，画出平面格子，即；5、检查是否有遗漏的点，并将其补上。,1-10 晶体投影,所谓晶体投影就是将晶体的三维空间问题变成二维平面问题的一种方法。如果在三维图形与二维图形之间建立一定的对应关系，就可以用二维图形来表示三维图形中晶向和晶面的对称配置和测量它们之间的夹角，这样就会把解决起来比较困难的问题简单化。晶体投影就是把三维晶体中的晶向和晶面的配置关系和数量关系投影到二维平面上来。晶体投影分两步，第一步将晶体投影到球面上，称之为球面投影；第二步将投影到球面上的图形再投影到平面上去。,一、球面投影,将一个很小的晶体放在一个大圆球的中心上。假设晶体尺寸与该大圆球的半径相比较很小，所以可以认为晶体的每条晶棱和每个晶面都经过球心。将晶体结构图形投影到球面上去，这种投影称为球面投影。这个球称为投影球（参考球、极球）。这个圆球的球面称为投影球面。,1、投影球,1）将投影球的位置固定，选取三条互相垂直的直径 作坐标轴，直立轴记为NS，前后轴记为AB，左右轴记 为CD。2）通过球心的平面与球相 交所成的交圆，称为大圆。不通过球心的平面与球相交所成的交圆，称为小圆。,3）由AB、CD轴所决定的平面称为赤道平面。赤道平面与球相交的大圆为水平大圆，称为赤道。平行于赤道平面的平面与投影球的交圆称纬线（水平小圆）。经过NS轴的平面（子午 面）与投影球的相交大圆 称为经线（子午线、直立 大圆）。,4）任何一根经线与SCN经线间的夹角称为经度，用表示。顺时针为正。SCN的经度为0度。经线上某纬度线与N极（或S极）间的的夹角（从N或S极向赤道数）称为极距（极角），用表示。赤道的极距为90度。从赤道沿经线到所求纬线 的角度称为纬度，用表示，赤道的纬度为0。球面上一点的坐标用极 距和经度表示，记为（）。和称为这点的球面坐标。,2、球面投影方法,1）迹式球面投影 根据假设,晶面、晶棱均通过球心。晶面的投影是将晶面扩展与投影球相交得一大圆，这个大圆称为晶面的迹线（迹圆），即这个大圆是这个晶面的迹式球面投影。,晶棱（直线）的投影是将晶棱（直线）延长，与投影球相交得两点，这两点称为晶棱（直线）的迹点，或称为出露点，这两个出露点互称为对跖点。三维图形中两晶棱间的夹角等于它们在球面上两个对应的出露点间的弧度。,2）极式球面投影,晶面、晶棱也均通过球心。晶面的投影是过球心作晶面的法线与投影球相交得一个交点，称为极点，这个极点即为该晶面的极式球面投影。,晶棱（直线）的投影是过球心作晶棱（直线）的垂直平面，使其扩展与球相交得一大圆，称为晶棱（直线）的极线（极圆），其即为该晶棱（直线）的极式球面投影。在实际工作中，这两种投影方法往往是混合使用的，应注意加以区分。,二、二维投影方法,1、心射切面投影 以过投影球N极的切面为投影平面，如要求球面上一点p的投影，则连op，以op为投影线，交平面于g点，这就把球面上一点转换到一个平面上，这种投影称为心射切面投影。图中g点即为p的心射切面投影。,2、极射赤面投影,1）极射赤面投影的绘制a、以赤道平面为投影面，把赤道大圆称为投影基圆；b、设晶体中某一晶面p 的球面投影为p1（在上半球），由S极经过p1引直线（投影线）交赤道平面于s1点，则s1点即为p1点的极射赤面投影，也就是晶面p的极射赤面投影。,因为是以S点为投影点，则应从N侧去“阅读”投影图，把从N看到的投影面作为正面，在正面的投影点以实心点标记。在上半球的点的投影点都在投影基圆内。C、若晶面p的球面投影点 在下半球（S侧），如再 按上述方法投影，则其 投影点将位于投影基圆之 外，这就很不方便使用。为此，在绘制投影时，再以N极为投射点，相对于刚才来说，这时的投影点在投影面的反面，通常以标记。,1 d、如果晶面p的法线（pp1）与ON的夹角为，则极点s1至投影圆心的距离为：os是参考球（投影球）的半径。,2）极射赤面投影的特点,a、若投影球上有两个迹线（迹点），其夹角为，则它们在极射赤面投影图上投影的夹角仍为。极射赤面投影法是保角投影。b、球面上一个圆的极射赤面投影仍为一个圆，但投影图上圆的几何中心并不一定是投影球上的几何中心的投影。（证明参看：北京地质学院结晶矿物教研室译“结晶学原理”第三章，或潘兆橹、彭志忠合编“结晶学原理”p89）。下面分几种情况：,球面上的圆 极射赤面投影大圆 与投影面垂直的直立大圆 投影基圆的直径 a 与NS垂直的大圆 投影基圆本身 b 倾斜大圆 基圆内一大圆弧 c,球面上的圆 极射赤面投影小圆 与NS垂直的小圆 与基圆同心的圆 d 与投影面垂直的小圆 在基圆内的小圆弧 e 倾斜小圆 不与基圆同心的圆 f,三、极式网,以ABCD平面（赤道平面）为投影面，将投影球上的经纬线网作极射赤面投影所得到的图形称为极式网。球面上一点的坐标（，），可因其投影点所在的直径Q1Q2和小圆 定出,四、乌里弗网,将过AB的倾斜大圆和垂直于AB的小圆投影到赤道平面上所得到的投影图称为乌里弗网，简称乌氏网。如果将投影球上的经线都经过AB，即保持投影球不动，将其上的经纬线网沿NA方向转动90度，这时再以ABCD面作投影面得到的投影图即是。,五、极射赤面投影的基本作图,1、已知投影球面上点的坐标，求点的极射赤面投影。设P、Q为投影球面上的两点，其球面坐标为：P：=65，=40 Q：=150，=240 求P、Q的极射赤面投影P、Q。1）将透明纸蒙在乌氏网上，使两者的中心及AB、CD重合；2）从C顺时针方向沿投影基圆数到40，在透明纸上记下点P，数到240 处记下Q。,3）在透明纸作OP、OQ，转动透明纸，使OP与OC重合。从O起沿OC数65，在此处用小实心点“.”记下一点，此点即 为P；转动透明使 OQ与0C重合,从0沿 0C数90至C，再从 C回头数60，此 处用符号X记下一 点，此点即为Q。,2、度量球面上已知点间的弧度,P、Q为两晶面（或两晶棱）所对应的极射赤面投影，求其夹角。解：将投影图与乌氏网重合，两者中心对齐，转动透明纸，使P、Q位于乌氏网的一个大圆弧上，在此大圆弧上P、Q间的间隔数即为度量的P、Q间的角度，也就是这两点所代表的 两晶面或两晶棱间的夹角。问题：为什么要把P、Q 两点转到同应该大圆弧上 呢？,3、已知一大圆弧，求此大圆弧的极点。,大圆弧的极点就是与大圆弧上所有点都相距90的点。解：将透明纸蒙在乌氏 网上，使两者的中心重合，转动透明纸使已 知大圆弧过乌氏网上 的A、B，然后从此大 圆弧与CD的交点Q沿 CD向凹向方向数90 所得交点即为所求的 极点。问题：如果已知大圆弧的极点，如何作大圆弧？,4、已知两大圆的极射赤面投影，求两大圆所属平面 间的夹角。,解：方法1 设k1、k2为已知两大圆的极射赤面投影，它们的交点为R，以R为极点作大圆弧k3，则k3与k1、k2分别交Q、P，则PQ之间的角度即为所求的二面角。,方法2 求出k1和k2的极点P1、P2，则P1和P2之间的角度即为所求的二面角。注意：这样作出的角有时互补。,5、极点围绕任一根轴转动,1）绕垂直于投影面的轴转动解：将透明纸上的投影基圆与乌氏网的投影基圆重合，并两者的O、AB、CD重合，连接OA1并延长交投影基圆于E点，沿投影基圆数角度到F点。连接OF，在其上截取OA2等于OA1，则A2即为A1点新位置。,2）绕平行于投影面（即在投影面内）的轴转动,解：a、如果转动轴不和AB重合，需先将转动轴围绕网的中心转动使两者重合。b、将有关的极点沿其所在的纬度小圆弧移动所需要的角度。,3）绕一个倾斜轴转动,要求将A1以顺时针方向围绕B1转动40。解：a、使透明纸上的投影基圆的中心与乌氏网的中心重合，使两者作相对转动，将B1转到乌氏网的CD轴上；,b、B1围绕乌氏网的AB轴转动48，即将B1沿CD转到位于网心的B2上，同时A1也沿其所在的纬度小圆向同方向转动同样角度到达A2；,c、将A2围绕投影图的中心转动40，到达A3；d、将B2沿CD反向转48到达B3（与B1重合），A3沿所在纬度小圆转动同样角度到达A4，则A4即为A1绕B1转动40后的新位置。,6、已知球面投影为一个圆，求作它的极射赤面投影,解：a、作出小圆圆心的极射赤面投影P；b、将圆心的投影P转动到CD上，以P为中心沿CD轴向左右各数n得Q、R两点；,c、在经过P点的大圆弧上，向上、向下各数n得S、T两点；d、由Q、R、S、T（或其中的三点）作出圆心M，以M到上述四点中的任意一点的距离为半径作圆，则该圆即为所求的极射赤面投影圆。利用这种方法可以制作乌氏网,六、晶带的投影,1、晶带的极射赤面投影 同一晶带的各个晶面的法线必定都垂直于该晶带的晶带轴，因此同一晶带的各个晶面的法线应该位于同一平面内。这样，晶带进行极式球面投影时，应该得到一个大圆，称为晶带大圆。而晶带大圆的极点T1和T2就是晶带轴的出露点。,晶带的极射赤面投影也就是晶带大圆的极射赤面投影。晶带的投影情况有：晶带种类 球面投影 极射赤面投影 水平晶带 经线大圆 投影基圆的直径（晶带轴垂直（晶带轴出露点位（晶带轴出露点位 于NS）于赤道大圆上）于投影基圆上）直立晶带 赤道大圆 投影基圆（晶带轴为NS）（晶带轴出露（晶带轴出露点为 点为 N和S）O）倾斜晶带 倾斜大圆 大圆弧(晶带轴出露点为（晶带轴出露点为 倾斜大圆的极点）大圆弧的极点）,2、关于晶带的几个基本作图问题,1）已知两晶面（h1k1l