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第十五章 傅里叶级数,1 傅里叶级数,1 傅里叶级数,首页,一、三角函数正交函数系,在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动。最简单的 周期运动，可用正弦函数 来描写。,(1),由（1）所表达的周期运动也称为简谐振动，其中 为振幅，为初相角，为角频率，于是简谐振动 的周期是。,所以函数（2）的周期为。对无穷多个简谐振动进行叠加就得到函数项级数,的叠加,2）,（,由于简谐振动 的周期为,较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动,若级数（3）收敛，则它所描述的是更为一般的周期运动现象。对于级数（3），只要讨论（如果，可用 代替）的情形。由于所以,记则级数（3）可写成,（3）,（3）,它是由三角函数列（也称为三角函数系）1，,（4）,所产生的一般形式的三角函数。,容易验证，若三角级数（4）收敛，则它的和一定是一个以为周期的函数。,（8）,定理 15.2 若在整个数轴上,且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：,（9）,（10a）,（10b）,证 由定理条件，函数,在,逐项积分得,且可积。对（9）式,上连续,由关系式（6）知，上式右边括号内的积分都等于零。所以,即得,现以,乘（9）式两边（,为正整数），得,（11）,从第十三章1习题4知道，由级数（9）一致收敛，可推出级数（11）也一致收敛。于是对级数（11）逐项求积，有,由三角函数的正交性，右边除了以,为系数,的那一项积分,外，其他各项积分都等于0，于是得出,（,同理，（9）式两边乘以,，并逐项求积，可得,若,是以,为周期且在,上可积的函数，则可按公式（10）,和,，它,计算出,们称为函数,（关于三角函数系数）的傅里叶系数，,的傅里叶系数为系数的三角级数（9）称为（关于三角函数系）,的傅里叶级数，记作,以,（12）,这里记号“”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数。由定理15.2知道：若（9）式右边的三角级数在整个数轴上一致收敛于其和函数,3 在补充定义,在,上那些至多有限个不存在点上的值后（仍记为,上可积。从几何图形上讲，在区间,上按段光滑函数，是由有限个光滑弧段所,在,),1,在,上可积。,2 在,上每一点都存在,，且有：,（13）,组成，它至多有有限个第一类间断点与角点（图151）,收敛定理指出，f的傅里叶级数在点x处收敛于这一点上 的左、右极限的算术平均值；而当在点 x 连续时，则有,即此时f的傅里叶级数收敛于。于是有如下推论。,推论 若f是以 为周期的连续函数，且在 上按段光滑，则 的傅里叶级数在 上收敛于。根据收敛定理的假设，是以 为周期的函数，所以系数公式（10）中的积分区间可以改为长度为 的任何区间，而不影响，的值,（10）,其中为任何实数。,注意 在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时，常只给出函数 在（或）上的解析表达式，但应理解为它是定义在整个数轴上以 为周期的函数。即在 以外的部分按函数在 上的对应关系作周期延拓。如 为上的解析表达式，那么周期延拓后的函数为,如图152所示。因此说函数f的傅里叶级数就是指函数 的傅里叶级数。,例1 设 求的傅里叶级数展开式。,解 函数及其周期延拓后是按段光滑的，故由定理15.3（收敛定理），它可以展开成傅里叶级数。由于,当 时，,所以在开区间 上,在 时，上式右边收敛于,例2 把下列函数展开成傅里叶级数,解 f及其周围延拓的图形是按段光滑的，因此它可以展开成傅里叶级数。在（10）中令c=0来计算傅里叶系数如下,所以当 时，,当 时，由于,所以,（14）,当 或 时，由于,因此,（15）,由（14）或（15）都可推得,