li84曲面及其方程.ppt
高等数学,第八章,第四节 曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,四、二次曲面,一、曲面方程的概念,在空间解析几何中,任何曲面都可以看作点的几何轨迹.,那么,方程F(x,y,z)0就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程F(x,y,z)0的图形.,(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)0;(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)0,曲面方程的定义,如果曲面S与三元方程 F(x,y,z)0有下述关系:,以下给出几例常见的曲面.,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,关于球面方程的说明:,解,例如：,解,根据题意有,所求方程为,根据题意有,化简得所求方程,解,例4 方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作为点的轨迹时，建立曲面方程,定义2.一条平面曲线,二、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴.,例如:,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,给定 yoz 面上曲线 C:,曲线 C,C,绕 z轴,曲线 C,C,绕 z轴,.,曲线 C,旋转一周得旋转曲面 S,C,S,M,N,z,P,y,z,o,绕 z轴,.,f(y1,z1)=0,M(x,y,z),.,S,曲线 C,旋转一周得旋转曲面 S,C,S,M,N,z,P,.,绕 z轴,.,.,f(y1,z1)=0,M(x,y,z),f(y1,z1)=0,f(y1,z1)=0,.,S,旋转曲面的方程的一般结果：,解,例1,绕 z 轴：,解,例2,绕 y 轴：,圆锥面,绕 z 轴：,解,例2,圆锥面,点 O 称为圆锥的顶点,例3 试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为,的圆锥面方程.,解:在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,练习,将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，,求生成的旋转曲面的方程,旋转双叶双曲面,旋转单叶双曲面,旋转椭球面,旋转抛物面,引例.分析方程,表示怎样的曲面.,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,平行于 z 轴的直线沿曲线C平移所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,三、柱面,柱面举例：,抛物柱面,平面,圆柱面,从柱面方程看柱面的特征：,所以,/轴,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,其他情形类似:,实 例,椭圆柱面/轴,双曲柱面/轴,抛物柱面/轴,双曲柱面/轴,例1,解,1、指出下列方程在平面直角坐标系中和空间直角 坐标系中分别表示什么图形？,练习题,平面中,空间中,方 程,直线,平面,圆,圆柱面,直线,平面,椭圆,椭圆柱面,曲面方程的概念,旋转曲面的概念及其方程的求法，常见旋转曲面及其方程;,柱面的概念，常见柱面及其方程.,小结与教学基本要求:,掌握:,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,
