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套利与资产定价,4.1一般市场结构4.2套利4.3无套利原理4.4资产定价基本原理4.5风险中性定价和鞅,2,本章简述,在第3章中我们考虑的是一个特殊的证券市场结构，即Arrow-Debreu证券市场结构。本章从任意的市场结构出发，只作最少的假设，以探究最一般的结论。由于证券市场的重要性以及证券价格在资源配置中所扮演的关键角色，我们将重点讨论证券价格的基本性质和基本的定价原理。为之后的学习提供一个基础。,3,4.1一般市场结构,A 复合证券在一般市场上绝大多数证券在不止一个状态下有支付。这些证券有时也叫复合证券(composite security)，从概念上它们的支付都可以看成是由状态或有证券的组合产生的。记n=1，N为市场中交易的证券，每一证券有支付向量为,4,那么，证券市场的结构就由支付矩阵X给定：,5,B 冗余证券给定市场上的交易证券集合，它们的支付可能是相关联的。比如，可能存在一只证券j，它的支付可以表示成其他证券支付的线性组合。在这种情况下，支付矩阵X不是满秩的。令 为剔除证券j后的支付矩阵，这里xn是证券n的支付向量。很明显，由原来N只证券的组合所生成的任意支付也可以由剔除了证券j以后的N-1只证券组合产生。,6,令为所有N只证券组成的组合，而 是剔除j以后的N-1只证券的组合。已经假设xj是由其他x的线性组合。因此存在 使得 也就是说，用其他证券的支付可以复制证券j的支付。现在考虑由任意生成的支付。括号里面的是由剔除j后的N-1只证券生成的组合。因此没有它我们也可以生成相同的支付。所以证券j也称做冗余证券(redundant security)。,7,C 证券市场的不同描述方式在我们对市场结构X的描述中可以只包括具有线性独立支付的证券。这就意味着X当中的证券数目不会超过。因为X是满秩的（t它的N列是独立的），它的秩必须是N和中最小者：rank（X）=minN，=N。给定具有线性独立支付矩阵X的证券集合，我们可以形成N个线性独立的组合。记为1，N。此时我们可以把组合当作一个证券组合当成一个证券。它的支付矩阵是,8,令H1，N，则H为（N*N）矩阵。因为各组合（即H的列向量）之间是独立的，H满秩的。由于rank(AB)minrank(A),rank(B),rank()rank(XH)rank(X)，于是，rank(XH)=rank(X)=N。因而X也是满秩的，为N。用这些组合作为基本单元，可以生成这些组合的组合。特别的，可用这些组合来复制原始证券。H可逆。它的逆矩阵为,9,那么，这样我们就复制出了原始证券。同样容易证明原证券的任意组合都能这样复制：我们可以做出如下总结：如果不存在摩擦，独立组合1，N提供 了一个市场的等价描述。,10,D 生成现在考虑rank(X)=N=的特殊情形。那么X就是一个秩为的可逆矩阵。这样就能复合证券复制所有的Arrow-Debreu证券即状态或有证券。考虑一个复合证券的组合。的支付向量是X。定义1为1的列向量,其第个元素为1,其他均为0.为了复制状态或有证券的支付,必须有 当X可逆时,我们只要选择定理4.1 当且仅当具有独立支付的证券数等于状态数时证券市场是完全的。在这种情况下，我们称经济中的不确定性可以由市场中的证券生成（span）,11,4.2套利,记证券的价格向量为S=S1;SN，支付矩阵为X。把从X到S的映射称做资产定价关系(assert pricing relation)或资产定价模型(assert pricing model)。考虑一个交易证券的组合，=1，N。它在0期的价值为，在1期的支付向量为X。证券或组合可能在未来某一状态带来负的支付。负的未来支付也叫做责任(liability)。称未来支付非负，即X0的组合具有有限责任(limited liability)。,12,定义4.1 将满足下列条件的组合称做套利(arbitrage)或套利机会(arbitrage opportunity)：(1)0(2)X0(3)至少有一个不等式严格成立。上面定义的套利可以分为三种类型：第1类套利：0且X=0第2类套利：=0且X0第3类套利：0,13,第1类套利允许参与者获得收益而不承担任何未来责任。第1类套利的一个主要特征就是它的支付没有任何不确定性。第2类套利中，组合的初始投资为0却得到正的未来支付。初始投资为0的组合也叫做套利组合(arbitrage portfolio)。第3类套利由第1类套利和第2类套利结合而成。例子见P54。,14,上面定义的套利只依赖于交易证券的支付和价格，而又假定所有参与者都知道这些支付和价格。这意味着：第一：套利不依赖任何私有信息。特别地，套利依赖于证券在每一状态下的支付，但不依赖每一状态发生的可能，而私有信息一般是相对于后者。第二，如果存在套利机会的话所有人都可以利用这些套利机会(在无摩擦的假设下)。,15,4.3无套利原理,定理4.2在市场均衡中不存在套利机会。证明：令ck,k=1,K为均衡配置，S为交易证券的均衡价格，X为支付矩阵。假设市场中存在套利机会。考虑一个参与者k的套利交易。这不需要额外资源却可将他的消费提高到为。由不满足公理，。因此，对于参与者k来说ck不是最优的。这与均衡条件矛盾。,16,上面的讨论说明无套利只依赖于不满足公理，这是对参与者偏好很弱的一个假设。实际上，它并不要求所有参与者都是不满足的，只要求一些或至少一个。它不依赖于经济的其他特征。由于这个原因，我们把它作为金融学的一个一般原理。,17,定义4.2 无套利原理（Principle of No-arbitrage）：证券市场中不存在套利机会。作为证券价格和支付的基本性质，无套利原理对证券价格和支付之间的关系或资产定价关系做出了限制。从上面讨论中不存在市场套利机会依赖于两个假设：一是(至少部分)市场参与者的不满足性，二是市场无摩擦。,18,4.4资产定价基本定理,如前所述，资产定价关系或模型指的是从证券的支付X到其价格S的映射。可以写成S=V(X)(4.1)其中，V(.)常称为定价算子(pricing operator)或估价算子(valuation operator)无套利原理赋予了定价算子一些基本性质。,19,定理4.3(一价定律)两个具有相同支付的证券(或组合)的价格必定相同。也就是，如果x=y，则V(x)=V(y)(4.2)一价定律的一个推论是，未来支付为0的证券或证券组合的价格为0：V(0)=0。定理4.4 支付为正的证券或证券组合的价格为正。即：如果x0,则V(x)0(4.3)定理4.5 给定两只证券1和2，如果证券1的支付总是大于证券2的，那么证券1的价格必高于证券2的价格。即：如果x1x2，则V(x1)V(x2)(4.4),20,定理4.6 在一个无摩擦市场中，定价算子是递增的线性算子。也就是说，对于任意a，bR以及具有支付x，y和z=ax+by的3只证券，V(ax+by)=aV(x)+bV(y)(4.5)这就是说V(.)是线性算子，且V(0)=0.因此 定理4.6意味着资产定价算子具有如下形式：V(x)=Tx 其中，是一个(1)的正向量。,21,定理4.7(资产定价基本定理，Fundamental theorem of Asset prcing)证券市场中不存在套利机会的充要条件为存在0使得 S=(Tx)T(4.6)证明：充分性是显而易见的。必要性由Stiemke引理可以推出。引理4.1(Stiemke引理)令X为一mn矩阵，m和n是任意的正整数，R n且，S R n。当且仅当0并满足S=(Tx)T，集合:-S T;X 0是空集。见P58例题,22,定理4.8 在一个完全证券市场中，状态价格向量是唯一的。证明：令S为只交易证券的价格向量，为由它们来复制状态或有证券的组合。那么，状态的状态价格由 唯一给定。,三、资产定价基本定理 经济中不存在套利机会的充分必要条件是：存在一个每一分量都为正值的S维向量，使得,成立，或者：通常，满足上式的 可能不是唯一的，但在N=S，市场完备的情况下，满足上式的 必然是唯一的，而且等于状态价格。这里，状态价格 是指在状态s发生情况下，增加一单位消费的边际成本。,风险资产定价 假设经济中存在唯一的一种风险资产的目前价格为，期末的收益支付可能为，即未来的收益支付有两种可能的状态；经济中存在的一个无风险资产，无风险资产当前的价格为1，收益率为r，则这两种资产的收益矩阵为：,利用资产定价基本定理，在无套利情况下，存在使得 成立，或者 定义：,由于，由上式定义的 满足一般的概率条件：从而，我们可以将 解释为状态s出现的“概率”，因为，上述第二个等式左边乘以（1+r）/（1+r）后可变为：,由于1/（1+r）是无风险贴现因子，上式的一种解释为：风险资产现在的价格等于其未来“平均价格”（按上面定义的“概率”计算）的贴现值。这里 事实上并不是状态s发生的真实概率或者投资者估计的主观概率，仅仅是按前述定义给定的概率。以上述这种方式定义的 为状态s的风险中性概率（risk neutral probabilities）。利用风险中性概率，风险资产的当前价格可以通过计算其未来的期望收益，再以无风险利率进行贴现得到。,上述分析可以推广到一般情形。只要经济中存在无风险资产，将其记为资产1，记余下的风险资产分别为2，N，初始价格分别为。在无套利条件下，存在，使得,风险中性概率定义为：按风险中性概率计算的每一种风险资产的期望收益率都相同：,相应地，我们可将风险资产的价格表述为 该公式称为风险中性定价公式，这里，称为风险中性测度或均衡价格测度。它表明，风险资产的价格是它在风险中性测度下的期望收益对无风险利率的折现。,因此，资产定价基本定理可表述为：如果存在一个每一分量均为正值的状态价格或均衡价格测度向量，使得风险资产的价格是它在均衡价格测度下的期望收益对无风险利率的折现值，则市场上不存在套利机会。,33,4.5风险中性定价和鞅,由资产定价基本定理，存在一个严格为正的状态向量可对所有交易证券定价。包括无风险债券。因此 定义1单位无风险证券投资获得的净支付或收益率(rate of return)，也称做无风险利率(interest rate)并记为rF。则,34,利率也叫货币的时间价值(time value of money)。有定价关系我们有因此我们有(4.7)债券的定价公式可以写成,35,对于市场上的其他证券，比如说支付为 的证券n，由定价公式(4.6)可得 其中，n=2,N。定义(4.8)显然，q0，,36,将定价公式重新写成(4.9)这个式子有个简单的解释：证券价格就是它在测度Q下的期望对无风险利率的折现。对所有证券都适用。由于这个原因，(4.9)式叫做风险中性定价(risk-neutral pricing)公式。而Q则被称为风险中性测度(risk-neutral measure)。,37,需要强调的是，风险中性定价公式是对我们新定义的概率测度Q而不是实际的概率测度P取期望值。P反映的是个状态的实际概率。而Q则是由(4.8)式用状态价格定义的。它表示的是规范化的状态价格，因而它实际上已经把证券的风险考虑进去了。看P61例题。,38,因为S1=1/(1+rF)且，资产定价公式(4.9)也可以写成 注意S1和Sn是证券1和n以现在的消费品作为计量单位的价格。一般来说，我们记 以无风险债券为单位的，证券n在t期的价格，这里t=0,1。那么我们有(4.10)其中，t=0.如果把把不同日期的价格写成一个序列，那么我们可以把它看做是一个时间序列。,39,定义4.3 如果一个随机过程，z1,z2,现在的值恒等于对其未来的条件期望：zt=Etzt+1，那我们称之为鞅。因此(4.10)式所表述的是，以债券价格为计量单位，证券价格在风险中性测度Q下是鞅。因此，Q也称做等价鞅测度(equivalent martingale measure)。,40,4.6本章小结,无摩擦市场中，N个线性独立的证券组合可以为市场结构提供一个等价描述。当且仅当具有独立支付的证券数等于状态数时证券市场是完全的。如果组合满足一下条件：那么称为套利或套利机会。套利不依赖任何私有信息，并且在无摩擦的假设下，所有人都可以利用这些套利机会。,41,无套利原理：在市场均衡中不存在任何套利机会。资产定价基本定理：当且仅当存在状态价格向量0使得S=(Tx)T时，证券市场不存在套利机会。在一个完全的证券市场中，状态价格向量是唯一的。,42,由资产定价基本原理，资产定价公式可表示为，这也被称为风险中性定价公式其中Q是有状态价格定义的风险中性(概率)测度。以债券价格为计量单位，证券价格在风险中性测度Q下是鞅，即，Q也被称为等价鞅测度。,43,本章结束,谢谢,一、套利 记交易证券的价格向量为，支付矩阵为D。我们将从D到p的映射称为资产定价关系或资产定价模型。定义：套利策略是一种0投资或负投资，又能带来非负的消费过程的交易策略。考虑一个交易证券组合，若该组合满足下列条件，则称改组合为套利：,（1）初始价值（initial Value）；而期末支付（terminal payoff），对于某些 成立。（2）初始价值，期末支付成立。,如果某个组合满足条件（1），则表明该组合能以不大于零的投资成本得到至少在某些状态下为正值的投资利润；如果某一投资组合满足条件（2），则它以负的成本，获得在各种情况下都不小于零的利润。,二、无套利原理 在市场均衡时不存在任何套利机会 证明：假定对于任一个消费者i，是产生均衡消费配置的证券持有交易策略。如果在给定均衡价格下又存在着一套利策略，那么，新的交易策略 在现有均衡条件下，决不会比原来的消费少，在某些状态下还会超过原来的消费。这对于非饱和的消费者而言，肯定会选择新的交易策略，并由此得到更多的消费。但这与均衡状态下消费者不会偏好与均衡消费不同的其他配置相矛盾。,无套利原理的假设条件：（1）市场参与者（至少部分参与者）是非饱和的。这里，并不要求所有的参与者都是非饱和的，只要市场上有一些或几个（至少有一个）参与者是非饱和的套利者，就可以驱动其他主体的配置趋于均衡，并在这一过程中帮助市场提高效率。（2）市场无摩擦。由于无套利是直接针对价格体系或者说定价的，借助无套利原理，我们可以建立一种相对价格理论，这种定价方法并不注重资产的内在价值，避免了考察偏好效用或,劳动时间等，用以建立整个均衡体系的一些重要假设前提和基本构成要素，同一般均衡方法相比，更简洁、明快。,三、资产定价基本定理 经济中不存在套利机会的充分必要条件是：存在一个每一分量都为正值的S维向量，使得,成立，或者：通常，满足上式的 可能不是唯一的，但在N=S，市场完备的情况下，满足上式的 必然是唯一的，而且等于状态价格。这里，状态价格 是指在状态s发生情况下，增加一单位消费的边际成本。,风险资产定价 假设经济中存在唯一的一种风险资产的目前价格为，期末的收益支付可能为，即未来的收益支付有两种可能的状态；经济中存在的一个无风险资产，无风险资产当前的价格为1，收益率为r，则这两种资产的收益矩阵为：,利用资产定价基本定理，在无套利情况下，存在使得 成立，或者 定义：,由于，由上式定义的 满足一般的概率条件：从而，我们可以将 解释为状态s出现的“概率”，因为，上述第二个等式左边乘以（1+r）/（1+r）后可变为：,由于1/（1+r）是无风险贴现因子，上式的一种自然解释为：风险资产现在的价格等于其未来“平均价格”（按上面定义的“概率”计算）的贴现值。这里 事实上并不是状态s发生的真实概率或者投资者估计的主观概率，仅仅是按前述定义给定的概率。以上述这种方式定义的 为状态s的风险中性概率（risk neutral probabilities）。利用风险中性概率，风险资产的当前价格可以通过计算其未来的期望收益，再以无风险利率进行贴现得到。,上述分析可以推广到一般情形。只要经济中存在无风险资产，将其记为资产1，记余下的风险资产分别为2，N，初始价格分别为。在无套利条件下，存在，使得,风险中性概率定义为：按风险中性概率计算的每一种风险资产的期望收益率都相同：,相应地，我们可将风险资产的价格表述为 该公式称为风险中性定价公式，这里，称为风险中性测度或均衡价格测度。它表明，风险资产的价格是它在风险中性测度下的期望收益对无风险利率的折现。,因此，资产定价基本定理可表述为：如果存在一个每一分量均为正值的状态价格或均衡价格测度向量，使得风险资产的价格是它在均衡价格测度下的期望收益对无风险利率的折现值，则市场上不存在套利机会。,