《符号数学运算》PPT课件.ppt

符号数学运算,Mathematica的最大优点就是能够进行各种复杂的数学符号计算，下面我们分类介绍它的符号计算功能。,、代数多项式运算 多项式是代数学中最基本的表达式，下面分类给出关于它的各种数学运算。基本运算Expandpoly 将多项式poly展开为乘积与乘幂Expandpoly,expr 只展开poly中与expr相匹配的项Factorpoly 对多项式poly进行因式分解FactorTermspoly 提取多项式poly中的数字公因子Collectpoly,x 以x为变量，按相同的幂次排列多项式polyCollectpoly,x,y,同上，但以x,y为变量PowerExandexpr 将expr中的(x y)p变为xp*yp，(xp)q变为x(p*q),请见下面的例子,多项式的结构Lengthpoly 列出多项式所含的项数Exponentexpr,form 给出expr中关于form的最高幂次Coefficientexpr,form 给出expr中关于form的系数Coefficientpoly,form 以form为变量，将poly前面的系数按幂次由小到大顺序用集合形式列出,下面是计算实例,多项式的四则运算PolynomialQuotientpoly1,poly2,x 求poly1除以poly2的商,其中poly1与poly2均以x为变量，其结果舍去余式PolynomialRemainderpoly1,poly2,x 求poly1/poly2的余式PolynomialGCDpoly1,poly2 求poly1与poly2的最大公因式PolynomialLCMpoly1,poly2 求poly1与poly2的最小公倍式FactorTermspoly 提取poly中所有项的公因子FactorTermspoly,x 以x为变量，提取公因子FactorListpoly 以集合形式给出poly的公因子InterpolatingPolynomialx1,y1,x2,y2,x 求通过数据点(x1,y1),(x2,y2),且以x为变量的拉格朗日插值多项式,下面是关于多项式四则运算的例子,有理多项式运算Numeratorexpr 给出表达式expr的分子部分ExpandNumeratorexpr 只将表达式expr中的分子部分展开Denominatorexpr 给出表达式expr的分母部分ExpandDenominatorexpr 只将表达式expr中的分母部分展开Expandexpr 只展开表达式expr的分子，并将分母分成单项ExpandAllexpr 同时展开表达式expr的分子与分母Togetherexpr 将多个有理分式进行通分运算Apartexpr 将有理分式expr分解为一系列最简分式的和Cancelexpr 约去有理分式expr分子与分母的公因子Factorexpr 对expr进行因式分解下面是有关有理多项式运算的例子。,表达式的化简Simplifyexpr 化简expr，使其结果的表达式最短FullSimplifyexpr 同上，但将结果表达式中的所有函数展开Simplifyexpr,assum根据假设assum 化简expr，使其结果的表达式最短FullSimplifyexpr根据假设assum 化简expr，但将结果表达式中的所有函数展开 对于化简表达式，上面的两个命令差不多，但大部分情况下，我们更愿意用FulSimplify，通过下面的例子，你可以看出它确实比Simplify好一点。另外,assum是一个逻辑表达式,例如x0,y1,或者是对表达式中元素的范围界定,例如Elementx,Reals等等,、三角函数运算 虽然Simplify及FullSimplify命令也能对三角函数表达式进行化简，但功能有限，在大部分情况下，我们对三角函数就使用以下命令。TrigExpandexpr 展开倍角及和差形式的三角函数TrigFactorexpr 用倍角及和差形式表示三角函数TrigFactorListexpr 给出每个因式及其指数的列表TrigReduceexpr 用倍角化简expr，使其结果的表达式最短TrigToExpexpr 使用欧拉公式将三角表达式化成复指数形式ExpToTrigexpr 将复指数形式的表达式化成三角函数形式表达式下面是三角函数运算的例子。,、复数运算 Mathematica中的复数运算与其它数学运算没有什么区别，下面是有关复数运算的数学函数，其中I为系统内部变量，表示复数虚部。x+Iy,Rez,Imz,Absz,Conjugatez,Argz以上分别为复数,实部，虚部，模，共轭复数，辐角主值ComplexExpandexpr展开expr,并假设expr中所有变量都是实数ComplexExpandexpr,x1,x2,展开expr,假设x1,x2为复数Mathematica的大部分内部函数，都是基于复数的，比如三角函数、指数与对数函数、贝塞尔函数等。,、方程求解Solvelhs=rhs,x 求出x的解Solvelhs1=rhs1,lhs2=rhs2,x,y,求联立方程组x,y,的解Reducelhs1=rhs1,lhs2=rhs2,x,y,同上，但给出方程组所有可能的解，包括平凡解Eliminatelhs1=rhs1,lhs2=rhs2,x,y,消去方程组中的变量x,y,expr/.solution 将解solution应用于表达式exprSolve是求解方程或方程组的非平凡解的一个最简单的公式，下面是几个这方面的例子。,但是，Solve只能求出方程或方程组的理论解，下面的两例子中，第一个例子是能够求出理论解的，但若Mathematica都显示出来，可能要占据整个屏幕，此时我们只有利用/N或N命令从理论解计算它的数值解；对于第二个例子，根本没有理论解，因此Solve命令也求不出来的理论解，只能用下节的FindRoot命令求它的数值解。,Reduce与Solve的区别是:Reduce还能给出平凡解，而Solve则只能给出非平凡解。,Eliminate的作用是：从方程组中消去若干个变量以简化方程组。,、线性代数运算Mathematica能够进行各种线性代数运算，其具体命令见上一节的第8页，这里我们只给出一些实际的例子。Mathematica中的向量，没有行向量与列向量之分，在处理有关向量运算时，你一定要注意此点，请见下面的例子。,Mathematica能够进行与矩阵有关的各种运算，求方阵的行列式、矩阵的四则运算、求逆矩阵、解线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等(下面的例子续接上面的计算)。,6、微积分运算极限运算 Limitexpr,x-x0 求当xx0时，表达式expr的极限 Limitexpr,x-x0,Direction-1 同上，但求左极限 Limitexpr,x-x0,Direction-1 同上，但求右极限另外，在Mathematica安装目录：AndOnesStandardPackagesCalculus子目录下，有一个软件包Limit.m，它对极限命令Limit进行了各种扩展，使适用计算的函数更广。在计算极限前，最好先装入此软件包。,读入常用数学软件包的另一种方法如下：在Mathematica安装目录的AndOnesStandardPackages下，附加了许多在Mathematica启动时没有装入到系统内部的数学软件包，它们的磁盘上的扩展名为“.m”，对每个软件包，都可以通过任何一个文本编辑软件如Notebook、NotePad、Word等打开它，研究它的用法，并通过“软件包目录名 该目录下的文件名”装入此软件包，下面是软件包的清单：Algebra(代数软件包)、LinearAlgebra(线性代数软件包)、Statistics(统计软件包)、Culculus(微积分软件包)、DiscreteMath(离散数学软件包)、NumberTheory(数论软件包)、Geometry(几何软件包)、Graphics(图形处理软件包)、NumericalMath(数值分析软件包)。另外，在每个软件包目录下，都有一个文件“Master.m”，如果将此软件包装入，就装入了该目录下的所有软件包。比如装入所有微积分运算方面的软件包，可使用,导数运算,下面是有关导数方面的一些数学运算：,积分运算,下面是积分方面的运算,级数运算,下面是计算实例,微分方程的理论解,DSolveeqn,yx,x求解微分方程eqn，其中y为x的函数DSolveeqn,initial conditions,yx,x求解含有初始条件的微分方程DSolveeqn1,eqn2,y1t,y2t,t求解微分方程组其中y1t,y2t,为函数，t为自变量 在输入要求解的微分方程时，如果y为函数，x为自变量，则我们一般用yx表示函数本身，yx表示函数的一阶导数，yx表示二阶导数，yx表示三阶，依此类推。当然，你也可用Dyx,x,n的形式来输入函数的导数。在Mathematica所给出的微分方程的解中，用C1,C2,C3,表示任意常数。,