《立体及其交线》PPT课件.ppt

,第五章 立体及其交线,第一节 平面立体的投影,第二节 曲面立体的投影,第三节 平面与曲面立体相交,第四节 两回转体表面相交,常见的基本立体,平面立体,曲面立体,圆锥,圆环,第一节 平面立体的投影,1 棱柱的投影2 棱锥的投影,平面立体侧表面的交线称为棱线若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥,平面立体：是由若干个平面图形所围成的几 何体，如棱柱体、棱锥体等。,棱柱体,是平面立体各表面投影的集合-由直线段组成的封闭图形。,平面立体的投影,5,由两个底面和六个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。,1.六棱柱,1 棱柱的投影,（1）六棱柱的投影视图,-无轴投影图,7,(2)棱柱表面上取点,a,b,b,点的可见性判别：若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。,c,c,（1）三棱柱的视图,由两个底面和三个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。,2.三棱柱,三棱柱的两底面为水平面，在俯视图中反映实形。其余三个侧棱面都是铅垂面，水平投影积聚，与三角形的边重合。,点的可见性判别：若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。,由于三棱柱的表面都是平面，所以在三棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。,用相对坐标，量取坐标差的方法在表面取点。,（2）三棱柱表面的点,2 棱锥的投影,1.棱锥的组成,由一个底面和若干侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点锥顶。,s,B,a,s,a,c,s,b,C,A,S,棱锥处于图示位置时,其底面ABC是水平面，在俯视图上反映实形。侧棱面SBC为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面。,2.棱锥的投影三视图,s,(c),s,a,a,c,b,b,c,s,b,a,3.棱锥表面上取点,3,(3),B,C,A,S,n,n,二、平面立体的截交线,截平面,断面,断面的边界线是：截平面与立体表面的交线 截交线。,一、平面立体的截交线,平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。,二、平面立体截交线的性质,三、平面立体截交线的求法,1.平面与棱柱相交,作图方法:,1 求棱线与截平面 的共有点,2 连线,3 根据可见性处理轮廓线,3,4,5,6,7,求截交线的实质是求两平面的交线,例题1 求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影,例题2 求立体截割后的投影,2平面与棱锥相交,例题3 求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的 水平投影和侧面投影。,例题3 求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的 水平投影和侧面投影。,(1)求Pv与sa、sb、sc的交点1、2、3为截平面与各棱线的交点、的正面投影。,1,2,3,(2)根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。,1,1”,2”,2,3,(3)连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。,(4)补全棱线的投影。,3”,具体步骤如下：,1,2,3(4),1”,3”,4”,1,2,4,3,例题4 求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影,例题5 求立体切割后的投影,1,6,一、圆柱体的投影二、圆锥体的投影三、球体的投影四、圆环的投影,第二节 曲面立体的投影,工程中常见的曲面立体,是回转体。,直母线生成的回转曲面称为直线回转面如:圆柱面、圆锥面等。,回转曲面是由母线(直线或曲线)绕定轴线作回转运动生成的。,曲母线生成的回转曲面称为曲线回转面如:圆球面、圆环面等。,回转体的表面主要由回转曲面构成。,表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体。,回转体（面）的形成,回转面的术语,O,O,顶圆,素线,赤道圆,喉圆,纬圆,底圆,母线,轴线,一、圆柱体的投影,圆柱的形成,圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱面的素线。,1.圆柱体的组成,由圆柱面和上下两底圆组成。,圆柱面是由直母线AA1绕与之平行的轴线旋转而成。,2.圆柱的投影,圆柱面的俯视图积聚成一个圆，在另两个视图上分别以两个方向的外形轮廓线的投影表示。其上下底圆为水平面,在俯视图上反映实形，在另两个视图上分别积聚成为一直线。,（1）分析圆柱轮廓线的投影一,（1）分析圆柱轮廓线的投影二,（2）圆柱投影对V面可见性的判别,前半面可见,后半面不可见,曲面的可见性的判断,轮廓线的投影是判断曲面可见性的依据,（3）圆柱投影对W面可见性的判别,左半面可见,右半面不可见,曲面的可见性的判断,3.圆柱表面上取点,(),利用积聚性先求出水平投影,a,c,4.圆柱面上的曲线,曲线投影的求法是先求出线段上一系列点的投影；然后，再将这些点的投影依次光滑地连接起来。,利用积聚性先求出侧面投影,注意求出特殊位置的点（A、C）-特殊点,圆锥的形成,二、圆锥体的投影,圆锥面是由直母线SA绕与它相交的轴线OO1旋转而成。,1.圆锥体的组成,由圆锥面和底圆组成。,S称为锥顶，圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。,2.圆锥的投影,如图示位置，俯视图为一圆。另两个视图为等腰三角形，三角形的底边为圆锥底圆的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。,(1)圆锥的投影特点,轮廓线的投影,底圆的投影,(2)圆锥可见性的判别V面,前半面可见,后半面不可见,曲面的可见性的判断。,注意：轮廓线的投影与曲面的可见性的判断,(3)圆锥可见性的判别W面,左半面可见,右半面不可见,曲面的可见性的判断。,3.圆锥表面上取点,A,a,a,如何取圆的半径？,圆锥表面上特殊位置的取点,例：,4.圆锥面上的曲线,求曲线上一系列点的投影；注意：特殊点 然后，再将这些点的投影依次光滑地连接起来。,圆球的形成,三、球体的投影,1.圆球的形成,球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋转而成。,2.圆球的投影,（1）圆球的投影特点,圆球的轮廓线的投影,（2）圆球可见性的判别,3.圆球表面上取点,采用辅助圆法求圆球面上的点,圆的半径？,a,圆球面上特殊点的求法,A为一般点；,例：,B、C为特殊点。,注意：特殊点,采用辅助圆法求圆球面上的线,4.圆球面上的曲线,一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回转而成。,四、圆环的投影,1.圆环的画法,2.圆环的投影特点,主视图是极限位置素线和内、外环分圆的投影；俯视图是上、下环面的投影；左视图与主视图相同。,3.圆环投影可见性的判别,圆环面上的辅助圆,4.圆环表面上取点,采用辅助圆法求圆环面上的点或线,第三节 平面与曲面体相交,1.截交线的性质：,截交线的形状取决于曲面立体表 面的形状及截平面与曲面立体轴 线的相对位置。,截交线都是封闭的平面图形。,截交线是截平面与曲面立体表面 的共有线。,2.求平面与曲面立体截交线的一般步骤,空间及投影分析,分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。,分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影。,画出截交线的投影,当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：,将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。,先找特殊点，补充中间点。,3.具体的作图步骤,4.截交线上的特殊点,矩形,椭圆,圆,一、平面与圆柱相交,截平面垂直于圆柱轴线，截交线为垂直于轴线的圆,截平面平行于圆柱轴线，截交线为 平行于轴线的两条直线,截平面倾斜于圆柱轴线，截交线为椭圆,一、平面与圆柱相交,例1 求圆柱被截切后的侧面投影,分析：截平面与圆柱轴线斜 交，截交线为椭圆。,作图方法:1.求特殊点,1,1”,1,2.适当求一般点,34,3.连线,4.处理轮廓线,作图方法:表面取点法,注意:当截平面与圆柱轴线交线交角为45时，截交线投影为圆。,例2 求圆柱截交线,解题步骤1分析侧面投影为圆的一部分，截交线的水平投影为椭圆的一部分；2求出截交线上的特殊点、；3求出若干个一般点、；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5 整理轮廓线。,例3 求圆柱被截切后的水平投影和侧面投影,该圆柱被侧平面截切后,侧面投影为矩形;被水平面截切后，水平投影为圆。,轮廓线要不要？,分析:,例4 求圆柱截交线,解题步骤1分析 截交线为矩形、椭圆及圆和直线的组合；截交线的水平投影为已知，侧面投影为矩形、椭圆和直线的组合；2求出截交线上的特殊点、；3求一般点；4 顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。,例5 补画侧面投影,虚实分界点,二、平面与圆锥相交,圆,椭圆,三角形,双曲线加直线段,抛物线加直线段,截平面垂直于圆锥轴线，截交线为垂直于轴线的圆。,截平面倾斜且截平面过锥顶，截交线为两相交直线。,平面截圆锥（一）,截平面平行于圆锥轴线，或截平面倾斜于圆锥轴线，且,截交线为双曲线。,截平面倾斜于圆锥轴线，且，截交线为椭圆。,截平面倾斜于圆锥轴线，且=，截交线为抛物线。,平面截圆锥（二）,求圆锥截交线上点的方法,素线法,纬圆法,分析：截平面过锥顶,截交线为 三角形。,例题1求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影,作图：,例题2 求圆锥截交线,解题步骤1分析 截平面为正平面，截交线为双曲线；截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形；2求出截交线上的特殊点A、B；3求出一般点C；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。,a,b,c,最高点A,一般点C,例题3 求圆锥截交线,解题步骤1分析 截平面为正垂面，截交线为椭圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2求出截交线上的特殊点、；3求出一般点；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。,例题4 求圆锥截交线,解题步骤1分析 截平面为正垂面侧平面，截交线为部分椭圆和梯形的组合；其水平投影为部分椭圆和直线的组合，侧面投影为部分椭圆和梯形的组合；2求出截交线上的特殊点、；3求出一般点、4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。,圆,三、平面与圆球相交,截平面截圆球，截交线为圆。,平面截圆球,纬圆法 在圆球表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点。,求圆球截交线上点的方法,分析:球面被侧平面截 切，侧面投影为圆；球面被水平面截切，水平面投影为圆。,轮廓线要不要?,轮廓线怎样处理?,例1 求圆球被截切后的水平投影和侧面投影,例2 求圆球截交线,解题步骤1分析 截平面为正垂面，截交线为圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2求出截交线上的特殊点、；3求出若干个一般点A、B、C、D；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。,例3 求圆球截交线,解题步骤1分析 截平面为两个侧平面和一个水平面，截交线为圆弧和直线的组合；截交线的水平投影和侧面投影均为圆弧和直线的组合；2求出截交线上的特殊点、；3求出各段圆弧；4判别可见性，整理轮廓线。,1,2,四、立体的组合截切,例题1 求出物体切割后的投影,分析 复合回转体由圆锥、大小两圆柱组成；作图 注意它们的连接关系，然后分别求出这些 基本回转体的截交线，并依次将其连接。,例题2 求作顶尖的水平投影,第四节 两回转体表面相交,两立体表面相交时，它们表面的交线称为相贯线。,1.概述,立体与立体相交可分为三种情况：,(1)两平面立体相交。(2)平面立体与曲面立体相交。(3)两曲面立体相交。,1相贯线的性质及形状,相贯线是两立体表面的共有线；也是相交两立体表面的分界线；相贯 线上的点是两立体表面的共有点;由于立体都有一定的范围，所以相贯线都是封闭的线，一般为封闭的 空间折线或空间曲线；不同的立体以及不同的相贯位置,相贯线的形状也不同。,求相贯线实质上是求两立体表面一系列共有点，然后依次光滑连接，并判可见性。一般地说这些共有点是一个立体的素线与另一立体表面的交点，也称为贯穿点。,2求相贯线的方法,3判别相贯线可见性的原则,只有位于两形体都可见的侧面上的交线，是可见的。只要有一个侧面不可见，面上的交线就不可见。,2 曲面立体与曲面立体相交,两曲面立体的相贯线，在一般情况下是封闭的空间曲线，相贯线上每个点都是两曲面立体表面的共有点。,相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。不同的立体以及不同的相贯位置，相贯线的形状也不同。一般情况下两回转体相贯，相贯线为封闭的空间曲线，特殊情况为平面曲线或直线。,1.两回转体相交,交线为相贯线,2.相贯线为二立体表面的公共线,3.相贯线一般为封闭的空间曲线,圆柱与圆锥,相贯线为二立体表面公共线,相贯线,相贯线,圆柱与圆柱,封闭的空间曲线,2 两回转体表面相交,一、曲面立体相贯线的性质图例,二、曲面立体相贯的三种基本形式,2 外表面与内表面相交；,1 两外表面相交；,3 两内表面相交。,三、求曲面立体相贯线的方法,1表面取点法2辅助平面法3辅助球面法,求曲面立体相贯线的方法有：,四、求相贯线的一般步骤,2求作相贯线上的特殊点。3根据需要求出若干个一般点。4光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并判别可见性。5整理轮廓线。,特殊点,分析:,1.相贯线水平投影不用求,2.相贯线侧面投影不用求,作图:,最前点 1,最后点 2,最低点,最左点 3,最右点 4,最高点,2.适当求一般点,3.连线,1,2,3,4,1.求特殊点,例1 求二圆柱的相贯线,1.利用积聚性的表面取点法,圆柱表面交线的三种情况,两外表面相交,外表面与内表面相交,两内表面相交,例2 求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影,a“(b“),a,b,c“,a,b,c,d,d,(d),e“(f“),e,f,(e),(f),g,h,g“(h“),g,h,c,2、利用辅助平面法求相贯线,辅助面的选用原则,用水平面作为辅助平面求共有点,例5 求圆柱与圆锥的相贯线,解题步骤1 分析 相贯线的侧面投影已知，可利用辅助平面法求共有点；2 求出相贯线上的特殊点、；3 求出若干个一般点、；4 光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；5 整理轮廓线。,用辅助平面求共有点示意图,用水平面作为辅助平面求共有点,例6 求圆球与圆锥的相贯线,解题步骤1分析 相贯线的三个投影均未知，可利用辅助平面法求共有点；2求出相贯线上特殊点、；,4光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；5整理轮廓素线。,3求出若干个一般点、；,用辅助平面求共有点示意图,例7 求圆柱与半球相贯线的投影,相贯线的侧面投影积聚在圆柱的表面上。水平圆柱与半球的公共对称面平行于V面，故相贯线是一条前后对称的空间曲线。,作图步骤：,1）求特殊点：,2）求一般点：,3）判断可见性，依次光滑连接各点：,4）补画水平转向轮廓线。,特殊情况下，相贯线为平面曲线或直线。,相贯线为圆,相贯线为直线,3 相贯线的特殊情况,当两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆,外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线椭圆,特殊位置和形状的相贯线,-等径正交两圆柱的相贯线,特殊位置和形状的相贯线,-轴线平行两圆柱的相贯线,特殊位置和形状的相贯线,-两圆锥共锥顶的相贯线,特殊位置和形状的相贯线,-两同轴回转体的相贯线,相贯线为水平圆,相贯线为水平圆,相贯线为侧平圆,