《稳定性模型》PPT课件.ppt

第六章 稳定性模型,一、微分方程稳定性理论简介,1、一阶微分方程的平衡点及其稳定性,不求x(t),判断x0稳定性的方法称为直接法,上述这种判断x0稳定性的方法称为间接法,方程（1）近似为,所谓直接法,将方程 中的 在 点作一阶Taylor展开，只取一次项,（4）称为（1）的近似方程，也是方程（4）的平衡点。,两个方程在 点都是稳定的,两个方程在 点都是不稳定的,关于 点稳定性有以下的结论,2、二阶方程的平衡点及其稳定性,右端不显含t，是自治方程。,为了研究（8）的唯一平衡点P0（0，0）的稳定性，假设A 的行列式不等于0。（0，0）点的稳定性由（8）的特征根决定，（8）的特征方程为,（9）,方程（8）的一般解具有形式,所以当特征根为负数或有负实部时（0，0）是稳定平衡点；而当特征根为正数或有正实部时是不稳定平衡点；特征根不可能是0。,微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型，完全由特征根或相应的p,q取值决定（见表）,由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性一览表,结论：若方程（10）的特征根不为零或实部不为零，则P0点对于方程（5）的稳定性与对于方程（10）的稳定性相同。由p，q决定,二、稳定性模型,1、对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定；而不是每个瞬时的性态,2、不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性；,（一）捕鱼业的持续收获模型,不需要求解x(t)，只需知道x(t)稳定的条件即可,稳定性判断，由于,x0 稳定,可得到稳定产量,x1 稳定,渔场干枯,稳定 不稳定,不稳定 稳定,产量最大,控制渔场鱼量为最大鱼量的一半,单位时间利润（效益模型）,稳定平衡点,求E使R(E)最大,最大利润下的渔场稳定鱼量及单位时间的持续产量,捕捞过度,2、盲目捕捞（开放式捕捞）只求利润R(E)0,1、计划捕捞（封闭式捕捞）追求利润R(E)最大,即R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)Es=2ER,临界强度下的渔场鱼量,（二）、军备竞赛模型,建模,x(t)表示甲方军备数量，y(t)表示乙方军备数量,表示本方经济实力的制约；k,l 表示对方军备数量的刺激；g,h 表示 本方军备竞赛的潜力。,平衡点,模型：,平衡点(x0,y0)稳定的条件,系数矩阵,稳定性判断,模型的定性解释,双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件,平衡点,模型,1、表示双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛才会稳定，否则军备将无限扩张。,表示本方经济实力的制约；k,l 表示对方军备数量的刺激；g,h 表示本方军备竞赛的潜力。,2、若g=h=0,则 x0=y0=0,在 kl 下 x(t),y(t)0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平。,表示本方经济实力的制约；k,l 表示对方军备数量的刺激；g,h 表示本方军备竞赛的潜力。,3、若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时x(t),y(t)很小，但因，也会重整军备。,表示本方经济实力的制约；k,l 表示对方军备数量的刺激；g,h 表示本方军备竞赛的潜力。,表示本方经济实力的制约；k,l 表示对方军备数量的刺激；g,h 表示本方军备竞赛的潜力。,（三）种群的相互竞争,1、一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。,2、当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。,3、建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。,模型假设,1、有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从Logistic规律;,因子 反映由于甲对有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作用；可解释为相对于 而言单位数量的甲消耗的供养的食物量（设食物总量为1）,2、两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比;甲对乙有同样的作用。,因子 反映由于乙对有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作用；可解释为相对于 而言单位数量的乙消耗的供养的食物量（设食物总量为1）,当两种种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产生的影响，可以合理地在因子 中再减去一项，该项与种群乙的数量（相对于 而言）成正比，于是得到种群甲增长 的方程为,其中 的意义是：单位数量乙（相对于 而言）消耗的供养甲的食物量为单位数量甲（相对）消耗的供养甲的食物量的 倍,当两种种群在同一自然环境中生存时，考察由于甲消耗同一种有限资源对乙的增长产生的影响，可以合理地在因子 中再减去一项，该项与种群甲的数量（相对于 而言）成正比，于是得到种群乙增长 的方程为,其中 的意义是：单位数量甲（相对于 而言）消耗的供养乙的食物量为单位数量乙（相对）消耗的供养乙的食物量的 倍,数学模型,仅当1,2 1时，P3才有意义,解得平衡点为：,平衡点稳定性分析,平衡点 Pi 稳定的条件：p 0 且 q 0,种群竞争模型的平衡点及稳定性,不稳定,21,11,P1,P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点,P3 是两种群共存的平衡点,11,21,P1稳定的条件 11?,11,21,稳定条件,平衡点稳定性的相轨线分析,将相平面分为两部分：下边大于零，上边小于零,将相平面分为两部分：下边大于零，上边小于零,从任意点出发(t=0)的相轨线都趋向P1(N1,0)(t),P1(N1,0)是稳定平衡点,(1)21,11,两条直线将相平面分为三部分：如图1,(2)11,21,从任意点出发(t=0)的相轨线都趋向P2(N2,0)(t),P2(N2,0)是稳定平衡点,两条直线将相平面分为三部分：如图2,(3)11,21,从任意点出发(t=0)的相轨线都趋向P3(t),P3是稳定平衡点,两条直线将相平面分为三部分：如图3,(4)11,21,两条直线将相平面分为三部分：如图4,有相轨线趋向P1,有相轨线趋向P2,结果解释,对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的1 倍。,P1稳定的条件：11,21 甲的竞争力强,甲达到最大容量，乙灭绝,P2稳定的条件：11,21,P3稳定的条件：11,21,通常1 1/2，P3稳定条件不满足,（四）种群的相互依存,甲乙两种群的相互依存有三种形式,（1）甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。,（2）甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。,（3）甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。,模型假设,甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律;甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。,乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用(服从Logistic规律)。,模型,乙为甲提供食物是甲消耗的1 倍,甲为乙提供食物是乙消耗的2 倍,种群依存模型的平衡点及稳定性,P2是甲乙相互依存而共生的平衡点,平衡点P2稳定性的相轨线,11,121,P2稳定,结果解释,P2稳定条件：11,121,甲可以独自生存,乙不能独立生存,121 条件下使P2位于相平面第一象限所必须的，当然要求且1必须足够小（11），注意到它的含义，这实际上是对乙向甲提供食物加以限制，以防止甲的过分增长。,21 表示甲必须为乙提供足够的食物维持其生长（甲为乙提供的食物是乙消耗的 2 倍）,（五）种群的弱肉强食(食饵-捕食者模型),1、种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。,2、模型的历史背景第一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？,1、食饵（甲）数量 x(t),捕食者（乙）数量 y(t),2、甲独立生存的增长率 r,3、乙使甲的增长率减小，减小量与 y成正比,4、乙独立生存的死亡率 d,食饵-捕食者模型(Volterra),方程(1),(2)无解析解，下面分两步对这个模型所描述的现象进行分析。首先利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造；其次从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，检验前面的猜测,6、a 表示捕食者掠取食饵能力,7、b 表示食饵供养捕食者能力,5、甲使乙的死亡率减小，减小量与 x 成正比,用数学软件MATLAB求微分方程数值解,xy 平面上的相轨线,计算结果（数值，图形）,1、x(t),y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线,2、x(t),y(t)的周期约为9.6（10.6）,3、xmax 65.5,xmin 6,ymax 20.5,ymin 3.9,4、用数值积分可算出 x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值约为25,y(t)的平均值约为10。,食饵-捕食者模型(Volterra),Volterra模型的平衡点及其稳定性,平衡点,模型,稳定性分析,P点处于临界状态，不能用判断线性方程平衡点稳定性的准则研究非线性方程（1）、（2）的平衡点的情况下面用分析相轨线的方法加以讨论。,p=0,q 0 P 临界状态,q 0 P 不稳定,平衡点,用相轨线分析 点的稳定性,c 由初始条件确定,在相平面上讨论相轨线的图形（用软件作出，如右图）,相轨线,时无相轨线,以下设,相轨线,当 时,当 时，令,P点称为中心,考察,相轨线是封闭曲线,求x(t),y(t)在一周期的平均值,即平均值正好是相轨中心P点的坐标。,为确定相轨线的方向，考察相平面上被x（t），y（t）两条直线分成的4个区域内导数的正负号，由此就决定了相轨线是逆时针方向运动的。,x(t)的“相位”领先 y(t),模型解释,初值,相轨线的方向,模型解释,r 食饵增长率,捕食者数量,a 捕食者掠取食饵能力,捕食者数量与r成正比,与a成反比,d 捕食者死亡率,b 食饵供养捕食者能力,食饵数量,食饵数量与d成正比,与b成反比,模型解释,第一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？,rr-1,dd+1,捕捞,战时捕捞,rr-2,dd+2,2 1,食饵(鱼)减少，捕食者(鲨鱼)增加,自然环境,还表明：对害虫(食饵)益虫(捕食者)系统，使用灭两种虫的杀虫剂,会使害虫增加，益虫减少。,食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进,Volterra模型,多数食饵捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点,有稳定平衡点,相轨线是封闭曲线，结构不稳定一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状。,自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状。,食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进,r1=1,N1=20,1=0.1,w=0.2,r2=0.5,2=0.18,相轨线趋向极限环,两种群模型的几种形式,相互竞争,相互依存,弱肉强食,