《离散随机变量》PPT课件.ppt
第二章 随机变量的分布和数字特征,例 假设在投掷硬币的试验中，如果正面朝上，你将获得1元；如果反面朝上，你将损失一元。问在一次试验中，你会获得（或损失）多少钱？,正面,1元,概率p=0.5,反面,-1元,概率p=0.5,为了深入全面地研究随机现象，充分认识随机现象的统计规律性，使定量的数学处理成为可能，必须将随机试验的结果数量化。,2.1、随机变量的直观意义与定义,定义：设,是随机试验E的样本空间。如果对于每一个样本点,为随机变量。,有一个实数,与之对应，则称实值函数,为什么叫做随机变量？,例：掷一枚均匀的硬币，,表示正面朝上，,表示反面朝上，,则,定义,得到一个随机变量,在同一个样本空间上，可以定义多个随机变量。,上例中：定义,得到另一个随机变量,从数学上讲，随机变量是试验结果的一个实值函数,样本空间,随机变量 X,实数轴,x,随机变量用英文大写字母X,Y,Z表示，也可用拉丁字母,随机变量,总是联系着某一样本空间。为了书写方便，,通常不写样本空间，并且将,简写成,等表示。,在一个随机试验中，定义了随机变量之后，随机事件就可以用以一个数的集合（包括区间）来表示。,1 2 3 4 5 6,654321,实数轴,随机变量：X=两次所得最大点数,1 2 3 4 5 6,例：一枚骰子连续掷两次，随机变量X是两次所得的最大数。,事件X=3表示：,例（教材P48）一批产品的次品率是15%，从中随机地抽取一个产品进行检验，观察产品是否为次品。,抽到次品,抽到正品,样本空间：,引入随机变量：,表示,即,因此：,同理：,随机变量的例子：,a)在两次抛掷一枚骰子的试验中，下列例子是随机变量：（1）X两次抛掷骰子所得的点数之和；,（2）两次抛掷骰子所得的点数之和的平方；,随机变量的函数定义了另一个随机变量,b)随机变量X表示“灯泡的寿命（小时）”，则：,X1700表示事件“寿命大于1700小时”,事件“寿命在15001700之”可表示为区间：1500，1700,若一个随机变量的值域（随机变量的取值范围）为一个有限集合或可数无限集合，则称这个随机变量为离散的,若一个随机变量可以取到不可数无限多个数，则这个随机变量就不是一个离散的随机变量。,本节只讨论离散随机变量。,2.2 分布列,设离散型随机变量 X 的一切可能取值为,且取各个值的概率为,则称,为离散型随机变量 X 的概率函数或概率分布或分布列。,通常可用列表的形式更为直观的表示：,显然，,满足如下两个条件：,样本空间,事件 X=x,例（教材P50）一批产品的次品率是15%，从中随机地抽取一个产品进行检验，观察产品是否为次品。,解：,定义随机变量,则,分布列为,例（教材P51）袋中有5个黑球3个白球，每次抽取出一个，不放回，直到取出黑球为止，试求取出的白球数X的分布。,解:X0，1，2，3，,P(X=0)=p第一次取到黑球=5/8,P(X=1)=P第一次取到白球,第二次取到黑球=3/85/7=15/56,P(X=2)=P第一、二次取到白球,第三次取到黑球=3/82/75/6=5/56,P(X=3)=p前三次取到白球而第四次取到黑球=3/82/71/61=1/56,随机变量 X 分布列的计算 对每个随机变量 X 的值 x：（1）找出与事件X=x相对应的所有实验结果。（2）将对应的试验结果的概率相加，得,654321,实数轴,随机变量：X=两次所得最大点数,1 2 3 4 5 6,例 掷两枚均匀的骰子，随机变量X=两次所得最大点数，X的可能值为1,2,3,4,5,6,对于给定的x，计算概率，只需将X取值为x的所有试验结果的概率相加。,例如：,1 2 3 4 5 6,例（教材P51）设一汽车在开往目的地的道路上需经过3盏信号灯，每盏信号灯以概率1/2允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数(设各信号灯的工作是相互独立的）。求X的概率分布,P(X=3)=顺利通过三盏信号灯=1/2 1/2 1/2=1/8,P(X=2)=P第三盏信号灯前停下=1/2 1/2 1/2=1/8,P(X=1)=P第二盏信号灯前停下=1/2 1/2=1/4,解X的可能取值为0，1，2，3，则有,P(X=0)=P第一盏信号灯前停下=1/2,分布列为,X,P,0 1 2 3,1/8 1/8,练习 如右图所示，从盒中任取3个球。取到的白球数X是一个随机变量。求其概率分布。,X可能取的值是0,1,2。取每个值的概率为,其分布列为,解,2.3.1伯努利随机变量（0-1分布）,抛掷一枚硬币,正面向上的概率为,反面向上的概率为,伯努利随机变量：,分布列为：,伯努利随机变量用来刻画具有两个试验结果的概率模型。如：,a)在给定时刻，一个电话机可出于待机状态或使用状态；,b)一个人可以处于健康状态或患有某种疾病状态；,c)一个大学生对某学生会主席，可以持赞成或反对的态度。,多个伯努利随机变量综合成更加复杂的随机变量。,2.3 几种常用离散型随机变量,2.3.2二项随机变量,将一枚硬币抛掷n次，每次抛掷正面出现的概率为p，反面出现的概率为1-p，而且各次抛掷是相互独立的。令X为n次抛掷得到的正面次数，则X=0,1，.，n,显然,由二项式展开公式可以验证,X的分布列为：,下图表示某些特殊情况的二项分布列：,则X称为二项随机变量，参数为n和p，记为B(n,p),0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,二项分布列，n=9，p=1/2,二项分布列，n很大，p很小,当p=1/2时，分布列相对于n/2的位置是对称的；当p1/2时，分布列偏向于n。,2.3.3几何随机变量,连续抛掷一枚硬币，每次抛掷正面出现的概率为p，反面出现的概率为1-p，而且各次抛掷是相互独立的。令X为连续抛掷一枚硬币，直到第一次出现正面所需要抛掷的次数,则X=1,2，.前k-1次抛掷结果反面向上,第k次抛掷结果正面向上的概率为:,因此X的分布列为,几何分布列的图像：,0 1 2 3 4 5 6,X称为几何随机变量。,几何随机变量的分布列,是一个几何级数,递减因子为1-p。,p51例6,2.2.4 泊松随机变量,设随机变量X的分布列由下式给出：,其中是取正数的参数，则称X是泊松随机变量。,由于,故符合分布列定义(P52例9),0 1 2 3,泊松分布列，=0.5,0 1 2 3 4 5 6 7,泊松分布列，=3,当,时，分布列是单调递减的。当1时，分布列随着k的,递增，先递增后递减。,为了给出泊松分布的直观印象，考虑当二项随机变量的参数n很大，p很小的情况。例如：例如 X为字数为n的一本书中含有打印错误的字数，X是一个二项分布，可以用泊松分布来描述,更确切地说，参数为的泊松随机变量的分布列是二项随机变量分布列的很好的逼近：,其中，=np，n很大，p很小。这种情况下，泊松分布使模型简单,例如，n=100，p=0.01，用二项分布计算成功次数k=5的概率为:,利用泊松分布计算近似值：,其中,泊松近似的证明,np保持为固定常数。,参数为n,p的二项随机变量,利用关系式,固定k，令,得,其中 j=1,2，.，k,这样，对每个k，当,时，有：,2.3离散型随机变量的函数,随机变量之间有时有一种函数关系，如：,一般地，若X取值为x，相应地Y取值为y，且y=g(x)，则称Y是X的函数，记作Y=g(X),1、如果园半径R是随机变量，则面积,也是随机变量。,2、一次通话时长X是随机变量，则通话费用C(X)也是随机变量。,3、飞机每架次的乘客人数X是随机变量，则每架次的收益R(X)也 是随机变量。,若已知离散型随机变量 X 的 分布列，如何求随机变量Y 的分布列？,假设X是一个离散型随机变量，分布列为：,如果,则当,时，,容易得到：,注意：要把上表中相等的,对应的概率相加合并成一项。,即：,例 X的分布为,求（1）Y=2X+1(2),解 由表,（教材P61）,得到Y2X1和,的分布,的分布为,例2、已知随机变量的分布列为,求随机变量Y 的分布,解：由于X只取正整数，知Y 只取-1，0，1三个可能值，且,
