《离散时间信号》PPT课件.ppt

1,第2章 离散时间信号与离散时间系统,2.1 离散时间信号2.2 离散时间系统 2.3 离散时间信号和系统的频域描述 2.4 连续信号的抽样 2.5 离散时间信号的抽样 2.6 序列的抽取与插值,2,2.1 离散时间信号,2.1.1 几种常用序列2.1.2 序列的周期性 2.1.3 用单位脉冲序列来表示任意序列 2.1.4 序列的运算 2.1.5 序列的能量,3,2.1 离散时间信号,离散时间信号(序列)离散时间信号只在离散时间上给出函数值，是时间上不连续的序列。离散时间信号在数学上可用时间序列n来表示，n的取值范围为整数，n取其他值没有意义。离散时间信号可以是由模拟信号通过采样得到，例如对模拟信号进行等间隔采样，在数值上与模拟信号的关系为,4,2.1 离散时间信号,离散时间信号的时域表示 离散时间信号可以用公式表示 离散时间信号还可以用集合符号.表示,5,2.1 离散时间信号,离散时间信号也可以用图形表示,6,2.1.1 几种常用序列,1.单位脉冲序列（单位抽样）,7,2.1.1 几种常用序列,2.单位阶跃序列 和 的关系为,8,2.1.1 几种常用序列,3.矩形序列 和、的关系为：,9,2.1.1 几种常用序列,4.实指数序列 式中，a为实数。当|a|1时，序列是发散的。a为负数时，序列是摆动的。,10,2.1.1 几种常用序列,5.复指数序列 或 它具有实部和虚部，0是复正弦的数字域频率。如果用极坐标表示，则 因此,11,2.1.1 几种常用序列,6.正弦型序列 式中：A为幅度，0为数字域的频率，它反映了序列变化的速率，为起始相位。,12,2.1.1 几种常用序列,7.用MATLAB产生离散信号的函数 MATLAB中许多函数都可用来产生离散信号，例如三角函数、指数函数、rand函数等，关于这些函数的用法可参见MATLAB中的help。这里主要介绍信号处理中的专用函数。(1)单位脉冲函数 单位脉冲序列的产生函数如下：,13,2.1.1 几种常用序列,function x,n=impseq(n0,n1,n2)%产生 x(n)=delta(n-n0);n1 n2)|(n1 n2)error(参数必须满足 n1=n0=n2)end n=n1:n2;%x=zeros(1,(n0-n1),1,zeros(1,(n2-n0);x=(n-n0)=0;,14,2.1.1 几种常用序列,(2)单位阶跃函数 单位阶跃序列的产生函数如下：function x,n=stepseq(n0,n1,n2)%产生 x(n)=u(n-n0);n1 n2)|(n1 n2)error(参数必须满足 n1=0;,15,2.1.1 几种常用序列,例2.1 用MATLAB产生各种离散序列。解 MATLAB程序如下：x1,n1=impseq(0,-5,5);subplot(2,2,1);stem(n1,x1);xlabel(n);ylabel(x(n);x2,n2=stepseq(0,-1,10);subplot(2,2,2);stem(n2,x2);xlabel(n);ylabel(x(n);xlim(n2(1),n2(end),16,2.1.1 几种常用序列,n3=-1:10;x3=stepseq(0,n3(1),n3(end)-stepseq(5,n3(1),n3(end);subplot(2,2,3);stem(n3,x3);xlabel(n);ylabel(x(n);xlim(n3(1),n3(end)n4=0:20;x4=sin(0.3*n4);subplot(2,2,4);stem(n4,x4);xlabel(n);ylabel(x(n);,17,2.1.1 几种常用序列,18,2.1.1 几种常用序列,例2.2 用MATLAB产生复指数序列。解 MATLAB程序如下：n=0:1:20;alpha=-0.1+0.5j;x=exp(alpha*n);subplot(2,2,1);stem(n,real(x);title(实部);xlabel(n),19,2.1.1 几种常用序列,subplot(2,2,3);stem(n,imag(x);title(虚部);xlabel(n)subplot(2,2,2);stem(n,abs(x);title(振幅);xlabel(n)subplot(2,2,4);stem(n,(180/pi)*angle(x);title(相位);xlabel(n),20,2.1.1 几种常用序列,21,2.1.2 序列的周期性,如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：则称序列x(n)为周期性序列，周期为N。下面讨论正弦序列的周期性。设 则 若 为整数时，则 根据周期序列的定义可知，这时正弦序列为周期序列，其周期满足（N、k必须为整数）。,22,2.1.2 序列的周期性,（1）当 为整数时，k=1，正弦序列是以 为周期的周期序列。例如，这里，所以它是一个周期序列，最小周期为N=10，,23,2.1.2 序列的周期性,（2）当 为有理数时，设 其中，k，N为互素的整数，则 为最小正整数，此时正弦序列为周期序列，其周期将大于。3）当 是无理数时，则任何整数k都不能使N为正整数，这时正弦序列不是周期序列。,24,N=10,N=20,无周期,25,2.1.3 用单位脉冲序列来表示任意序列,任意序列都可以表示成单位脉冲序列的移位加权和，即 例如 可表示成,26,2.1.4 序列的运算,序列的运算包括移位、反褶、和、积、标乘、累加、差分运算、卷积、尺度变换等。1.移位 移位序列y(n)为 当m为正时，x(n-m)则是指序列逐项依次延时（右移）m位而给出的一个新序列，当m为负时，x(n-m)是指依次超前（左移）m位。,27,2.1.4 序列的运算,2.反褶 序列的反褶是将序列以n=0的纵轴为对称轴进行对褶。,28,2.1.4 序列的运算,3.和 两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列。和序列y(n)可表示为,29,2.1.4 序列的运算,4.积 两序列相乘是指同序号n的序列值逐项对应相乘。乘积序列y(n)可表示为,30,2.1.4 序列的运算,5.标乘 序列x(n)的标乘是指x(n)的每个序列值乘以常数a。标乘序列y(n)可表示为,31,2.1.4 序列的运算,6.累加 设某序列为x(n)，则x(n)的累加序列y(n)定义为 它表示y(n)在某一个n0上的值y(n0)等于在这一个n0上的值x(n0)与以前所有n上的值x(n)之和。,32,2.1.4 序列的运算,7.差分运算 前向差分 后向差分 比较以上两式，显然有,33,2.1.4 序列的运算,8.卷积和运算,34,2.1.4 序列的运算,9.尺度变换,抽取(decimation)M,在原序列中每隔M-1点抽取一点,f kf Mk M为正整数,内插(interpolation)M,在序列两点之间插入M-1个点,35,2.1.4 序列的运算,例2.3 用MATLAB实现两序列相乘和相加。解 MATLAB程序如下：clc;clear;x1=0,1,2,3,4,3,2,1,0;n1=-2:6;x2=2,2,0,0,0,-2,-2;n2=2:8;y1,n=sigmult(x1,n1,x2,n2);y2,n=sigadd(x1,n1,x2,n2);subplot(2,2,1);stem(n1,x1);title(序列x1)xlabel(n);ylabel(x1(n);,36,2.1.4 序列的运算,subplot(2,2,2);stem(n2,x2);title(序列x2)xlabel(n);ylabel(x2(n);subplot(2,2,3);stem(n,y1);title(两序列相乘)xlabel(n);ylabel(y1(n);subplot(2,2,4);stem(n,y2);title(两序列相加)xlabel(n);ylabel(y2(n);,37,2.1.4 序列的运算,38,2.1.5 序列的能量,序列x(n)的能量E定义为序列各抽样值的平方和，即,39,2.3 离散时间信号的频域描述,2.3.1 离散时间信号的傅立叶变换2.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质 2.3.3 序列傅立叶变换的对称性,40,2.3.1 离散时间信号的傅立叶变换,连续时间周期信号xT(t)的傅立叶变换定义为 连续时间非周期信号x(t)的傅立叶变换定义为,41,2.3.1 离散时间信号的傅立叶变换,DTFT:离散时间傅里叶变换(Discrete Time Fourier Transform)离散时间信号x(n)的傅立叶变换定义为 X(e j)的傅立叶反变换为 在物理意义上，X(e j)表示序列的频谱，为数字域频率。X(e j)一般为的复变函数，可表示为,42,2.3.1 离散时间信号的傅立叶变换,其中，XR(e j)，XI(e j)分别为X(e j)的实部和虚部，通常称|X(e j)|为幅频特性或幅度谱，而()=argX(e j)称为相频特性或相位谱，并且有,43,2.3.1 离散时间信号的傅立叶变换,例2.14 求矩形序列的傅立叶变换 解 其幅度谱和相位谱分别为,44,2.3.1 离散时间信号的傅立叶变换,45,2.3.1 离散时间信号的傅立叶变换,离散时间信号的傅立叶变换具有以下两个特性：(1)X(e j)是的周期函数，周期为2。由于e-jn=e j(+2)n，故有(2)当x(n)为实序列时，X(e j)的幅值|X(e j)|在区间02内是偶对称函数，相位argX(e j)是奇对称函数。,46,2.3.1 离散时间信号的傅立叶变换,利用MATLAB可以实现离散时间信号的傅立叶变换，并绘出幅频特性和相频特性曲线，其MATLAB函数如下 function X,magX,angX=FourierTran(x,n,dot)%计算离散序列的付立叶变换%X,magX,angX=FourierTran(x,n)%或X,magX,angX=FourierTran(x,n,dot)if nargin 3 dot=600;end k=-dot:dot;w=(pi/dot)*k;,47,2.3.1 离散时间信号的傅立叶变换,X=x*(exp(-j).(n*w);magX=abs(X);argX=angle(X);subplot(211);plot(w/pi,magX);xlabel(频率(单位pi);ylabel(|X(e jomega)|);title(幅频特性);subplot(212);plot(w/pi,argX/pi);xlabel(频率(单位pi);ylabel(弧度/pi);title(相频特性);,48,2.3.1 离散时间信号的傅立叶变换,例2.15 用MATLAB实现例2.14序列的傅立叶变换 解 MATLAB程序如下 x=1,1,1,1,1;n=0:4;FourierTran(x,n);,49,2.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质,1.序列的傅立叶变换的线性 如果序列x(n)和y(n)的傅立叶变换分别为X(e j)和y(e j)，即 则对任何常数a和b有,50,2.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质,2.序列的移位 如果 则 即时间的移位，导致频域相移。,51,2.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质,3.频域的相移 如果 则 即频域的相移相当于对序列进行了调制。,52,2.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质,4.序列的反褶 如果 则,53,2.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质,5.序列乘以n 如果 则,54,2.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质,6.序列的共轭 如果 则,55,2.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质,7.序列的卷积 如果 则,56,2.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质,8.序列相乘（频域卷积）如果则,57,2.3.3 序列傅立叶变换的对称性,若序列xe(n)满足 则称序列xe(n)为共轭对称序列。对于实序列来说，这一条件就变成xe(n)=xe(-n)，即xe(n)为偶对称序列。若序列xo(n)满足 则称序列xo(n)为共轭反对称序列。对于实序列来说，这一条件就变成xo(n)=-xo(-n)，即xo(n)为奇对称序列。,58,2.3.3 序列傅立叶变换的对称性,任一序列均可表示成一个共轭对称序列和一个共轭反对称序列之和，即 其中 序列的傅立叶变换也可分解成共轭对称分量与共轭反对称分量之和，即 其中,59,2.3.3 序列傅立叶变换的对称性,分别是共轭对称的与共轭反对称的，即 与序列情况一样，若傅立叶变换X(e j)是实函数，且满足共轭对称，则它是频率的偶函数，即X(e j)=X(e-j)。若X(e j)是实函数，且满足共轭反对称，则它是频率的奇函数，即X(e j)=-X(e-j)。,60,2.3.3 序列傅立叶变换的对称性,设序列x(n)的傅立叶变换为X(e j)，根据前面介绍的性质得，x*(n)的傅立叶变换为X*(e-j)，x*(-n)的傅立叶变换为X*(e j)。由此可得到的实部和虚部的傅立叶变换分别为 这表明序列x(n)实部的傅立叶变换XR(e j)具有共轭对称性质，而其虚部（包括j在内）的傅立叶变换Xo(e j)具有共轭反对称性质。,61,2.3.3 序列傅立叶变换的对称性,序列x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的傅立叶变换为 这表明序列x(n)共轭对称部分的傅立叶变换对应于的X(e j)实部，而共轭反对称部分的傅立叶变换对应于的X(e j)虚部（包括j在内）。如果x(n)是实序列，则这些性质将变得特别地简单和有用。这时序列的傅立叶变换是共轭对称的，即 所以，实序列的傅立叶变换的实部是的偶函数，而虚部是的奇函数。,62,2.4 连续信号的抽样,离散时间信号通常是由连续时间信号经周期抽样得到的。抽样就是利用周期性抽样脉冲序列p(t)，从连续信号xa(t)中抽取一系列的离散值，得到抽样信号即离散时间信号，以表示xa(t)。抽样是模拟信号数字化处理的第一环节。xa(t)再经幅度量化编码后即得到数字信号。完成抽样功能的器件称为抽样器，抽样器可以看成是一个电子开关。开关每隔T秒闭合一次，便得到一个输出抽样值。在理想情况下，开关闭合时间无穷短。对实际抽样，闭合时间是秒，但T。,63,2.4 连续信号的抽样,64,2.4 连续信号的抽样,1.理想抽样 设模拟信号xa(t)，冲激函数序列T(t)以及抽样信号xa(t)的傅立叶变换分别为Xa(j)、M(j)和Xa(j)，可以推导出傅立叶变换的关系。,65,2.4 连续信号的抽样,从上式可以看出，一个连续信号经过理想抽样后，其频谱将以抽样频率s=2/T为间隔周期重复，这就是频谱产生的周期延拓，如图所示。注意，频谱大都是复数，图中仅画出了其幅度谱。也就是说，理想抽样信号的频谱，是频率的周期函数，其周期为s，而频谱的幅度与原信号的频谱相差一个常数因子1/T。所以除一个常数因子的区别外，每一个延拓的谱分量与原信号的频谱相同。因此只要各延拓分量与原频谱不发生频率上的交叠，则有可能恢复出原信号。,66,2.4 连续信号的抽样,67,2.4 连续信号的抽样,这样如果原信号xa(t)的频谱Xa(j)，限制在某一最高频率范围内，即 则称其为带限信号。当对带限信号的抽样满足h s/2时，那么原信号的频谱和各次延拓分量的谱彼此不重叠。这时采用一个截止频率为 s/2的理想低通滤波器，就可得到不失真的原信号频谱，即可以不失真地还原出原来的连续信号。如果原信号的的最高频率h超过 s/2，则各周期延拓分量产生频谱交叠，称为混叠现象，因而无法不失真地还原出原来的连续信号。由于Xa(j)一般是复数，所以混叠也是复数相加。通常称 s/2为折叠频率或奈奎斯特频率。,68,2.4 连续信号的抽样,2.抽样信号的恢复 如果满足奈奎斯特抽样定理，即信号频谱的最高频率小于折叠频率，则抽样后不会产生频谱混叠，可知 故将其通过理想低通滤波器 就可得到原信号频谱，即在输出端就恢复出了原连续信号。,69,2.4 连续信号的抽样,理想低通滤波器的输出为 上式就是从抽样信号恢复原连续信号的抽样内插公式。其中 称为内插函数。,70,2.5 离散时间信号的抽样,离散时间信号x(n)的抽样过程如图所示，抽样后得到的序列xp(n)称为离散时间抽样序列，其抽样周期为N。,71,2.5 离散时间信号的抽样,设序列x(n)，离散时间抽样序列xp(n)和冲激函数序列p(n)的傅立叶变换分别用X()、Xp()和P()。可以推导出 可以看出，一个序列经过抽样后得到的离散时间抽样序列，其频谱是原序列的频谱的周期延拓，周期为抽样频率 s。如图所示。,72,2.5 离散时间信号的抽样,73,2.5 离散时间信号的抽样,采样定理：当抽样频率满足 s 2 M。(设原序列的最高频率为 M)时，那么各次延拓分量的谱彼此不重叠。Xp()在-M M之间的部分与X()的频谱相同(只相差一个系数)。这时采用一个截止频率为 s/2的理想低通滤波器，就可得到不失真的原序列频谱。也就是说，可以不失真地恢复出原来的序列。,74,2.5 离散时间信号的抽样,若理想低通滤波器的频率特性为 理想低通滤波器的输出为,