《社会工作统计》PPT课件.ppt

社會工作統計,第四章敘述統計之二集中趨勢與離散趨勢之測量,2023/7/28,2,資料蒐集後，敘述性的資料整理或描述除了將資料作成統計圖及統計表外，還可從資料中計算出一些代表性的數據，稱為統計量(statistic)，這些代表性的統計量通常分為(一)描述資料分配集中位置的集中趨勢統計量(measures of central tendency or measures of location)，(二)描述資料分配分散程度的離散趨勢統計量(measures of dispersion or measures of spread)。,集中趨勢與離散趨勢統計量,2023/7/28,3,集中與離散趨勢統計量,一般常用的集中與離散趨勢統計量：集中趨勢統計量：眾數、中位數、平均數。離散趨勢統計量：全距、四分位距、四分位差、平均差、變異數、標準差、變異係數。,2023/7/28,4,集中趨勢統計量的種類與定義,眾數(mode，Mo)：在一分配中次數出現最多的數值，即稱為眾數。中位數(median，Md or Mdn)：一分配中位居最中間的數值稱為中位數。平均數(mean)：又稱簡單或未加權平均數(unweighted mean)，或算術平均數(arithmetic mean)是指一組數值之總和除以此組數值之個數而得之數。,2023/7/28,5,眾數集中趨勢統計量之一,眾數(mode，Mo)：在一分配中次數出現最多的數值，即稱為眾數。當一個分配中如果每一觀察值(observation,為一數值value)出現的次數都一樣，則此分配無眾數(no mode)。若此分配只有一個數值出現的出現的次數最高，則稱為單眾數(unimodal)，若此分配有兩個數值出現的出現的次數最高且一樣多，則稱為雙眾數(bi-modal)。如果出現次數最高且一樣多的數值有兩個以上，則稱為多眾數(multimodal)。,2023/7/28,6,眾數(續一),舉例：無眾數：3,5,6,7,8,9,10,11,12單眾數：2,4,5,7,9,9,9,10,12,15雙眾數：1,2,3,3,4,5,6,7,7,8,9多眾數：20,30,40,50,50,50,60,70,80,80,80,90,100,110,110,110,120,2023/7/28,7,眾數(續二),使用時機與用途：眾數是一個地位量數(measure of location)可與中位數、平均數一起用來作為檢視一個分配的分散程度(spread)及形狀(shape)的參考點。如果是名目層次的資料，其集中趨勢僅能用眾數來表示。,2023/7/28,8,分組資料求眾數,假設某班學生社會統計期中考的分數次數分配如下表，試求此次考試的眾數。組別 組限 組界 組中點 次數 1 50-59 49.5-59.5 54.5 3 2 60-69 59.5-69.5 64.5 10 眾數組 3 70-79 69.5-79.5 74.5 18 4 80-89 79.5-89.5 84.5 9 5 90-99 89.5-99.5 94.5 6 眾數：眾數組(次數最多的組)的組中點 本例眾數組為第三組，其組中點74.5即為眾數。,2023/7/28,9,中位數集中趨勢統計量之二,中位數(median，Md or Mdn)：一分配中位居最中間的數值稱為中位數。分配中有一半的數比中位數小，有一半的數比中位數大。如果一個分配有偶數個數值，則中位數為最中間兩個數的平均。中位數最適合作為順序層次資料的集中趨勢量數。中位數不受極端數值的影響，因此也適合作為等距或比率層次資料在資料分配不對稱時的集中趨勢量數。,2023/7/28,10,中位數的計算,一、未分組資料中位數：(一)當資料個數為奇數時最中間的數即為中位數。如資料有N個數(N是奇數)，則第(N+1)/2個數為中位數。如：1,3,6,8,9,10,12 第(7+1)/2=4個數8為中位數。(二)當資料個數為偶數時最中間兩個數的平均數為中位數。如資料有N個數(N是偶數)，則第(N/2)及(N/2)+1個數的 平均數為中位數。如：1,3,6,8,9,10,12,15 第8/2=4個數及第(8/2)+1=5個數的平均數(8+9)/2=8.5)為中位數。,2023/7/28,11,中位數的計算(續一),二、分組資料求中位數 假設某班學生社會統計期中考的分數次數分配如下表，試求此次考試的中位數。組別 組限 組界 次數 累計次數 累計%1 50-59 49.5-59.5 3 3 6.52 2 60-69 59.5-69.5 10 13 28.26中位數組 3 70-79 69.5-79.5 18 31 67.39 4 80-89 79.5-89.5 9 40 86.96 5 90-99 89.5-99.5 6 46 100.00,2023/7/28,12,中位數的計算(續二),求算步驟：(一)找出中位數所在組：N/2=46/2=23，即第23個數為中位數，此數在第3組。註：N不論為奇數或偶數，均以第 N/2個數為中位數。(二)以下列公式找出中位數,2023/7/28,13,中位數的計算(續三),中位數求算原理說明(利用中位數相當於百分等級50之原理)：百分等級 28.26 50 67.39|-21.74-|-17.39-|對應分數 69.5 Md=?79.5|-10-|Md=69.5+21.74/(21.74+17.39)(10)=69.5+(21.74/39.13)(10)=69.5+5.56=75.06,2023/7/28,14,平均數集中趨勢統計量之三,平均數(mean)：又稱簡單或未加權平均數(unweighted mean)，或算術平均數(arithmetic mean)是指一組數值之總和除以此組數值之個數而得之數。平均數為一分配之平衡點。平均數的計算公式：,2023/7/28,15,平均數(續一),加權平均數(weighted mean)：計算平均數時如果每一個數值有不同的比重，則考慮各數值比重加以計算的平均數就稱為加權平均數。加權平均數的計算公式：,2023/7/28,16,平均數(續二),分組資料求平均數：有如加權平均數，其權數即為各組之次數，不同處在於以組中點代替原始數據。其計算公式：,2023/7/28,17,集中趨勢統計量之比較(之一),一、按測量層次眾數：為次數之計算，可用於名目、順序、等距、比率層次之數值資料。中位數：數值按大小順序排列，可用於等距、比率層次之數值資料。平均數：平均數僅適用於等距或比率層次的數值資料。,2023/7/28,18,集中趨勢統計量之比較(之二),二、按資料分配之形狀(一)對稱分配：眾數、中位數及平均數都是相同的或接近的，所以其地位量數的選擇完全依研究的目的及資料的測量層次決定。(二)不對稱分配：在偏的分配最好用中位數代表集中趨勢，在雙眾數的分配裡，以此雙眾數代表集中趨勢。,2023/7/28,19,集中趨勢統計量之比較(之三),三、按研究或使用的目的眾數：研究的目的只是簡單、快速的找出粗略的集中趨勢。中位數：將資料分成高低兩個部分時用之。平均數：研究的目的是要找出精確的集中趨勢，或希望將資料做進一步的統計運算時用之。,2023/7/28,20,分配形狀的測量,測量分配形狀的統計量：(一)偏態係數(Skew-ness,SK)：測量一分配不對稱程度的統計量(又稱偏態係數)。(二)峰度係數(Kurtosis,K)：測量一分配尖度或平坦程度的統計量。,2023/7/28,21,偏態與峰度,平均數中位數眾數 平均數中位數眾數symmetrical negatively skewed positively skewed Sk=0 Sk0對稱稱分配 左偏分配 右偏分配 負偏分配 正偏分配,三種偏態類型：對稱(不偏)、負偏(左偏)、正偏(右偏)分配,2023/7/28,22,峰度圖示,三種峰度類型：高狹峰、低闊峰與常態峰 高狹峰 低闊峰 常態峰 Leptokurtic Platykurtic Mesokurtic K3 K3 K=3,2023/7/28,23,離散趨勢統計量的種類與定義,全距(range,R)：在一資料分配中最大值與最小值之差。平均差(mean deviation，MD)：離均差(deviation)絕對值的平均數。變異數(variance，Var)：一組數值離均差平方和之平均數。標準差(Standard Deviation，Std or SD)：變異數的平方根。四分位距(interquartile range，IQR)：分配之第三與第一四分位數之差。又稱中間分散度(midspread)。四分位差(Quartile Deviation，Q)：又稱半四分位距(semi-interquartile range)。在常態分配裡中位數加上或減去一個單位Q，含蓋了50%的資料。變異係數(coefficient of variance，CV)：標準差與平均數的百分比比值。,2023/7/28,24,全距離散趨勢統計量之一,全距(range,R)：在一資料分配中最大值與最小值之差。全距只考慮分配中最大值與最小值，因此是一粗略的分散程度的測量。資料的同質性如果高(標準差較小)，全距大概是標準差的26倍，如果資料的異質性高則全距是6個以上的標準差。R=H-L=Highest-Lowest=Maximum-Minimum=Largest Smallest（公式4-3）,2023/7/28,25,平均差離散趨勢統計量之二,平均差(mean deviation，MD)：離均差(deviation)絕對值的平均數。平均差為一類似標準差的離散程度統計量。計算公式：,2023/7/28,26,變異數離散趨勢統計量之三,變異數(variance，Var)：一組數值離均差平方和之平均數。,2023/7/28,27,2023/7/28,28,標準差離散趨勢統計量之四,標準差(Standard Deviation，Std or SD)：變異數的平方根。,2023/7/28,29,標準差離散趨勢統計量之四,2023/7/28,30,2023/7/28,31,四分位距離散趨勢統計量之五,四分位距(interquartile range，IQR)：分配之第三與第一四分位數之差。又稱中間分散度(midspread)。四分位距觀察分配最中間百分之五十(50%)資料之分散度。IQR=Q3-Q1=upper hinge lower hinge（公式4-17),2023/7/28,32,四分位差,四分位差(Quartile Deviation，Q)：又稱半四分位距(semi-interquartile range)。四分位差在順序資料裡常與中位數一起使用。在等距比率資料之偏的分配裡也常使用。在常態分配裡中位數加上或減去一個單位Q，含蓋了50%的資料。計算公式：Q=(Q3-Q1)/2,2023/7/28,33,變異係數離散趨勢統計量之六,變異係數(coefficient of variance，CV)：標準差與平均數的百分比比值。變異係數方便不同單位間離散程度的比較。公式：,2023/7/28,34,全距、平均差之計算,有五個數：4,6,8,10,12求此五數的全距及平均差。全距=最大數-最小數=12-4=8平均差：,2023/7/28,35,四分位距之計算,一、未分組資料IQR之計算 例：15位學童之身高資料 123,124,125,127,129,131,132,134,135,135,136,139,140,141,145方法：利用找中位數的方法找出Q1與Q3一、全部資料的中位數=md=Q1=134(第(15+1)/2=8個數)二、再分別從 最小數Q2 及 Q2最大數 間找中位數，即是Q1與Q3(部分資料得中位數),2023/7/28,36,四分位距之計算(續一),123,124,125,127,129,131,132,134,135,135,136,139,140,141,145最小數 Q1=128 Q2=134 Q3=137.5 最大數Q1相當於在123134間找中位數：共計8個數(偶數)，Q1為第4,5個數之平均(127+129)/2=128Q3相當於在134145間找中位數：共計8個數(偶數)，Q3為第4,5個數之平均(136+139)/2=137.5IQR=Q3-Q1=137.5-128=9.5,2023/7/28,37,四分位距之計算(續二),二、分組資料IQR之計算A.將上述原始資料分組(四組)：組別 組限 組界 次數 累計次數 累計%1 115-124 114.5-124.5 2 2 13.33 2 125-134 124.5-134.5 6 8 53.33 3 135-144 134.5-144.5 6 14 93.33 4 145-154 144.5-154.5 1 15 100.00 Q1=124.5+(25-13.33)/(53.33-13.33)*10=127.4175 Q3=134.5+(75-53.33)/(93.33-53.33)*10=139.9175IQR=Q3-Q1=139.9175-127.4175=12.5,2023/7/28,38,四分位距之計算(續三),B.將上述原始資料分組(五組)：組別 組限 組界 次數 累計次數 累計%1 120-124 119.5-124.5 2 2 13.33 2 125-129 124.5-129.5 3 5 33.33 3 130-134 129.5-134.5 3 8 53.33 4 135-139 134.5-139.5 4 12 80.00 5 140-144 139.5-144.5 3 15 100.00 Q1=124.5+(25-13.33)/(53.33-13.33)*5=125.96Q3=134.5+(75-53.33)/(80.00-53.33)*5=138.56IQR=Q3-Q1=138.56-125.96=12.6比較三種狀況的IQR：原始資料 分四組 分五組 9.5 12.5 12.6,2023/7/28,39,四分位差之計算,因四分位差(Quartile Deviation)：Q=(Q3-Q1)/2故上述例題之四分位差分別為：Q=9.5/2=4.75Q=12.5/2=6.25Q=12.6/2=6.3,2023/7/28,40,四分位距與四分位差之計算,有五個數：4,6,8,10,12求此五數的四分位距及四分位差。本題之：Q1=6,Q2=Md=8,Q3=10因此，IQR=Q3-Q1=10-6=4 Q=(Q3-Q1)/2=IQR/2=4/2=2,2023/7/28,41,變異數及標準差的計算,一、未分組資料求變異數及標準差 有五個數：4,6,8,10,12求此五數的平均數、變異數及標準差。,2023/7/28,42,變異數及標準差的計算(續一),二、分組資料求變異數如前例某班學生社會統計期中考分數的次數分配，試求此次考試的變異數與標準差。組別 組限 組界 組中點(m)次數(f)fm fm2 1 50-59 49.5-59.5 54.5 3 163.5 8910.75 2 60-69 59.5-69.5 64.5 10 645.0 41602.50 3 70-79 69.5-79.5 74.5 18 1341.0 99904.50 4 80-89 79.5-89.5 84.5 9 760.5 64262.25 5 90-99 89.5-99.5 94.5 6 567.0 53581.50 46 3477.0 268261.50,2023/7/28,43,變異數及標準差的計算(續二),變異數：標準差：,2023/7/28,44,變異係數之計算,十位男性與十位女性之體重資料如下：男性：45 54 56 60 65 67 70 72 75 80女性：38 40 43 44 50 52 55 60 65 67試比較男女體重之變異係數。,2023/7/28,45,離散統計量的比較,一、全距：較粗糙的離散趨勢統計量。二、四分位距：中間50%資料差異的粗略統計。三、四分位差：常與中位數合用，在常態分配，中位數加、減一個單位的四分位差含蓋50%的資料。四、平均差：較精確的離散統計量，較不適合高階統計推演。五、變異數：為一精確的平均差異統計量，單位為平方單位，不易理解。六、標準差：為精確且最常用之離散趨勢統計量。七、變異係數：為一種相對差異統計量適合不同單位差異程度之比較。,