《洛伦兹方程》PPT课件.ppt

第二章 分岔与奇怪吸引子,第三节 流体不稳定性与洛伦兹方程,1.流体中的不稳定性2.洛伦兹方程解的分岔,1900年，法国科学家贝纳德(E.Benard)做了一个著名的对流实验。,1.流体中的不稳定性,在一水平容器中放一薄层液体，从底部徐徐均匀地加热，开始液体没有任何宏观的运动。当上下温差达到一定的程度，液体中突然出现规则的六边形对流图案。这是现代用硅油做实验拍摄的照片。照片中每个小六角形中心较暗处液块向上浮，边缘较暗处液块向下沉，在二者之间较明亮的环状区域里液块作水平运动。当上下温差加大时，为什么对流不积微渐著，而是突然从无到有地产生?,贝耐特对流实验,理想装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时，规则的对流图形将受到破坏，进入到了湍流状态。分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过程。,1.流体中的不稳定性,瑞利数,1916年，英国学者瑞利对贝纳德实验作了解释。认为是浮力和粘滞力间的关系决定液体向上运动。由此定义了一个无量纲参数R(瑞利数)：g-为重力加速度，a-为热胀系数，d-两块板间距，h-粘滞系数，DT-扩散系数。,瑞利数R与温度差成正比，温度差加大时R值增加，有一临界值RC，当R 超过RC时，流体出现翻动与对流，称为贝纳德不稳定性。临界值RC为：其中k是 x 方向环流波数。,1.流体中的不稳定性,倍周期分岔的实验检验,从分岔观点看，平板间液体随着温差升高出现的从静止到对流也是一种分岔现象。带着这样观点利布沙伯(Libchaber-低温物理学家)于1980年用液氦重做了贝耐特对流实验。实验装置：一个很小的不锈钢液氦的容器，其长度、宽度与高度分别为3mm、1.5mm与1.25mm。用高纯度铜做容器的底板，容器盖是用兰宝石做的，在兰宝石上嵌入两个精巧的温度计，用以监视两点的温度。,容器中的液氦对温度非常敏感，上下液面千分之一的温差出现对流。对流发生时液氦在中心升起，往分流沿腔壁下降形成两个对流圈。对流引起温度变化，从温度计输出信号变化中分析出对流产生过程与变化规律。,1.流体中的不稳定性,由于检测到的信号受噪声干扰很大，很难从中分析出有用的信息。利布沙伯便随时间变化信号进行傅立叶变换，再从频谱图来分析液氦对流信息。开始时功率谱中只有对流翻动频率为 f 的基波峰，相应两个对流圈翻动。随着瑞利数增大，在功率谱出现基波频率一半的倍周期(f/2)谐波，接着又出现 f/4、f/8等次谐波。实验结果显然是倍周期分岔现象。,倍周期分岔的实验检验,1.流体中的不稳定性,倍周期分岔普遍性,实验结果证明,倍周期分岔不仅在平方映射中存在，而且在真实的物理学系统中也会出现。受利布沙伯成功检测到倍周期分岔的启发，许多学者在不同类型的动力系统中去寻找倍周期分岔现象。倍周期分岔现象在 LCR 振荡、激光振荡、化学反应等许多过程中都相继得到了证实，说明了倍周期分岔是存在于许多动力学过程中的一种普遍现象。,1.流体中的不稳定性,洛伦兹的设想,2.洛伦兹方程,洛伦兹的设想,60年代初，美国数学家洛伦兹(E.Lorens)在气象部门工作。他把将大气对流与贝纳德液体对流联系起来，想用数值方法进行长期天气预报。,2.洛伦兹方程,洛伦兹方程,洛伦兹利用流体力学中的纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程、热传导方程和连续性方程，处理贝耐特对流，推导出描述大气对流的微分方程，即著名的洛伦兹方程。,x-对流的翻动速率，y-比例于上流与下流液体之间的温差，z-是垂直方向的温度梯度，s-无量纲因子,称为 Prandtl 数;b-速度阻尼常数：;r-相对瑞利数 r=R/RC。,2.洛伦兹方程,其中xz与 xy 是非线性项，求导对无量纲时间 t 进行的:,洛伦兹方程的耗散性质,证明：在x,y,z的三维相空间，取一个闭合曲面。曲面所包围的体积V 随时间的变化与其中代表点的运动有如下关系：应用于洛伦兹方程，得：于是有：为初始相空间的体积。参数 与，可见洛伦兹方程的相空间体积是随时间收缩的。初始时的有限相体积 随时间收缩到一点，这点应是坐标的原点。耗散系统意味着系统存在吸引子。,2.洛伦兹方程,洛伦兹方程解的分岔,即洛伦兹方程有三个平衡点 若，只存在一个平衡点。此平衡点是洛伦兹方程的不动点，相应于贝纳尔德实验中液体的静止定态。洛伦兹方程的平衡点随瑞利数 r 的增加而发生分裂，原来稳定的平衡点变为不平衡状态。,洛伦兹方程,2.洛伦兹方程,原点的稳定性,r 1 时坐标原点 是稳定的不动点，它是洛伦兹方程唯一吸引子，所有轨线吸引到坐标的原点。,如 r 1，于是分支出两个新的平衡点 C1与 C2。说明在 r=1 时系统将发生一次分岔，跨越 r=1 意味着原点的吸引子丧失了稳定性，出现了局部的不稳定性。这时在坐标原点出现一维不稳定的流形。这是一次叉式分岔。相应于在贝纳德实验中流体从静态走向对流翻动。,2.洛伦兹方程,C1与 C2的稳定性,稳定性证明：洛伦兹方程可写成行列式：对原点 x=y=z=0 附近作线性化处理，即在原点附近有：特征方程：其解：在 0 r 1 范围内，所有根 l0，坐标原点是稳定的。,2.洛伦兹方程,C1与 C2的稳定性,当 r 1,坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C1与 C2是稳定的焦点，它们是与邻域螺旋线的吸引点，如图所示。C1、C2 坐标为：现说明贝纳德实验形成了稳定的定态对流。,2.洛伦兹方程,C1与 C2的稳定性,稳定性证明：对C1与 C2 附近作线性化处理，即在附近有：式中：特征方程有一实根和一对共轭复根，其中实根说明坐标原点为鞍点。共轭复根的实部为负，说明两个新平衡点与是稳定的焦点，它们是与邻域螺旋线的吸引点。与稳定焦点的出现说明贝纳德实验形成了稳定的定态对流。,2.洛伦兹方程,当 r 继续增加直到 r=13.962时，两个螺旋线外径会接触合并一起。当特征方程的第2与第3项之积等于常数项时共轭复根的实部为零，成为纯虚数，有：,时两个平衡点与发展成了中心点，其邻域的相轨线是椭圆。时共轭复根的实部为正值，与成了不稳定的焦点。定态对流失稳，是不稳定的。这时将出现一次新分岔霍夫分岔，平衡点C1与C2失稳发展成为奇怪吸引子。,2.洛伦兹方程,C1与 C2的稳定性,时两个平衡点与发展成了中心点，其邻域的相轨线是椭圆。时，这时将出现一次霍夫分岔，平衡点C1与C2发展成奇怪吸引子。,洛伦兹吸引子,第四节 李雅普诺夫指数与奇怪吸引子,1.李雅普诺夫指数2.埃侬映射与埃侬吸引子3.洛伦兹吸引子 4.巴克尔变换与罗斯勒吸引子,1.李雅普诺夫指数,奇怪吸引子,吸引子 能量耗散系统最终收缩到的一种定常状态。这是一个动力系统在t 时所呈现的与时间无关的定态，并且不管选取什么样的初始值其终值的定态只有一个，也就是说终值与初始值无关。这类吸引子也称平庸吸引子。如：阻尼单摆有不动点吸引子，范德玻耳方程有极限环吸引子，等等。奇怪吸引子 相对于平庸吸引子而言，它们的特点之一是终态值与初始值密切相关，或者说对初始值具有极端敏感性；初始取值的细微差别可能会导致完全不同的结果，这时的吸引子毫无周期可言，即所谓混沌。,1.李雅普诺夫指数,奇怪吸引子,考察平方映射的两个迭代运算,取m=4，并取有一点微小的差别的两个初始值 x0=0.370 与 y0=0.380。运算结果如表所列，经过前第四次迭代,两个运算结果还没有显出太大差别，但是从第五次开始迭代结果的差别就非常显著了。,奇怪吸引子,1.李雅普诺夫指数,奇怪吸引子,取m=2.1，并取有较大差别的三个初始值 x01=0.08，x02=0.12,x03=0.16。运算结果如左图，经过五次迭代,三个运算结果趋于一致，045.取m=3.7，取差别很小两个初始值 x01=0.04，x02=0.05。运算结果如右图，第二迭代差别就已显示出来,以后虽在第七次迭代时很接近，但随后又快速分离开来。,1.李雅普诺夫指数,两个系统：设其初始值微小误差，经过一次迭代以后有：式中：由第二次迭代得：经过第 n 次迭代得：为多重乘号。,李雅普诺夫指数公式,1.李雅普诺夫指数,可见，两个系统对初始扰动的敏感度由导数 决定，它与初始值 x0 有关。映射整体对初值敏感性需对全部初始条件平均，要进行 n 次迭代：两个系统如初始存在微小误差，随时间(或迭代)产生分离，分离程度常用李雅普诺夫(Lyapunov)指数来度量,它为几何平均值的对数：式中xn为第 n 次迭代值。取，得李雅普诺夫指数计算公式：,李雅普诺夫指数公式,每次迭代平均分离值为：,1.李雅普诺夫指数,利用李雅普诺夫指数l，相空间内初始时刻的两点距离将随时间(迭代次数)作指数分离：在一维映射中l 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个 li，而且沿相空间的不同方向，其 li(i=1,2,)值一般也不同。,李雅普诺夫指数应用,设 为多维相空间中两点的初始距离，经 n 次迭代后两点的距离为：式中指数 li 值可正可负。表示沿该方向扩展，表示沿该方向收缩。在经过一段时间(数次迭代)以后，两个不同李雅普诺夫指数值将使相空间中原来的圆演变为椭圆。,1.李雅普诺夫指数,稳定体系的相轨线相应于趋向某个平衡点，如果出现越来越远离平衡点，则体系是不稳定的。系统只要有一个正值的就可出现混沌运动。判别一个非线性系统是否存在混沌运动时，需要检查它的最大李雅普诺夫指数 l 是否为正值。,吸引子与李雅普诺夫指数,1.李雅普诺夫指数,吸引子与李雅普诺夫指数,吸引子可存在于高维相空间内。在这相空间中大于零的李雅普诺夫指数可能不止一个，这样体系的运动将为更复杂。人们称高维相空间中有多个正值指数的混沌为超混沌。推广到高维空间后，由指数 的值决定的各种类型的吸引子归纳如下：,1.李雅普诺夫指数,平方映射的 l 指数,利用计算程序可以方便地求得一维映射的。分析：由图可见平方映射的指数随参数值变化起伏很大，有一个临界值,当 时指数变化但始终处于负值。当 指数开始转为正值，就是说平方映射从这里开始由规则运动转为混沌，进入到混沌状态。1.00 m 3.00 周期1轨道(不动点)3.00 m 3.4495 周期2轨道3.4495 m 3.5541 周期4轨道3.5541 m 3.5644 周期8轨道3.5644 m 3.5688 周期16轨道,1.李雅普诺夫指数,2.奇怪吸引子-埃侬吸引子,埃侬映射,埃侬映射是一个二维映射。这是天文学家埃侬(M.Henon)首先计算的离散型映射,它有两个控制参数 m 和 b：埃侬映射所描述的体系随参数 b 的取值不同而不同：当b=1时系统在运动中保持相平面积不变，描述的是保守系统；当b 1，系统在运动中相平面面积逐渐缩小，因此描述的是耗散系统。当b=0时退化为一维映射：当xn与xn+1的取值0，1时，则参数 m 的取值0，2。这个一维映射与平方映射有相同的复杂动力学性质。,2.奇怪吸引子-埃侬吸引子,埃侬映射,在数学上，为了解释埃侬吸引子的图形通常取 b=1埃侬映射，并作用于一个椭圆于是产生出种种变化:a.原形 椭圆；b.保面积弯曲;c.x方向压缩；d.旋转 90。,埃侬吸引子,小方块是放大20倍后的局部图形,取参数 m 1.4，b0.3（即 b 1 的耗散体系），进行计算，结果显示在(x,y)相平面上：开始时，计算出得点在平面上随机地出现，随着计算继续，计算得的点开始显现成某种图形，程序运行越久图形中显现出越多的细节，形成如香蕉形状，具有无穷层次。,2.奇怪吸引子-埃侬吸引子,埃侬吸引子的 l 指数,当轨道间距离很小时，迭代产生的间距变化认为是指数的，如初始间距为d0，经过若干次迭代后间距为：为在这局部区域内的指数。随着间距增加，李氏指数会起变化，需要再次在第一条轨道附近另寻找相距为d0 的点作新起始点，如此可得指数，如此重复可得一系列指数1,2,3。对整个轨道平均得全局李雅普诺夫指数 l。,埃侬映射是二维映射，要用两个李氏指数 描述，其中一个指数为正值时，就存在奇怪吸引子。二维映射l计算方法：在吸引子吸引域内任取一点作一条轨道起始点，在该点邻近选一点作另一条轨道的起始点，考察两条轨道间距离随迭代产生的变化。,2.奇怪吸引子-埃侬吸引子,指数 l 随参数 m 的变化 1.在 时始终为负值；2.在 附近由负值转为正值，并随 m 增加出现一些规则运动的窗口。3.当 时轨道变得不再稳定，因此曲线也在此终止。4.在 处计算得:,埃侬吸引子的 l 指数,b0.3 的最大李氏指数 l 随 m 的变化曲线,2.奇怪吸引子-埃侬吸引子,埃侬吸引子的 l 指数,埃侬映射是二维映射，要用两个李氏指数 描述，上述已计算出正值指数，现在求第二个负值指数。对于二维映射，迭代使相空间圆变为椭圆。设初始圆直径为 d0，椭圆长轴为，短轴，面积。迭代的产生面积变化为:由此有,2.奇怪吸引子-埃侬吸引子,洛伦兹方程的解,r 1,坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C1与 C2是稳定的焦点。=24.7368）C1与 C2成了不稳定的焦点。,2.奇怪吸引子-洛伦兹吸引子,洛伦兹吸引子,在洛伦兹方程中，取参数 s=10，b=8/3，随参数 r 增加，出现一次新分岔霍夫分岔，平衡点 C1 与 C2 将失稳发展成为奇怪吸引子。取 r=28 时计算的结果如下。,2.奇怪吸引子-洛伦兹吸引子,洛伦兹吸引子的 l 指数,根据李雅普诺夫指数的含义，描述洛伦兹吸引子需、三个指数，且三个指数 之和为：取参数 s=10，b=8/3，r=28 得：三个指数之和为负值说明相体积是收缩的，洛伦兹系统是耗散系统。采用计算二维映射的最大 l 指数方法，可用数值计算方法算得洛伦兹吸引子的 l 指数。在上述参数下，具体计算可得正值：ll=0.906。另外对于三维相空间内的相流必需有一个指数为0，于是可以计算出指数 l3 为：于是：,2.奇怪吸引子-洛伦兹吸引子,2.奇怪吸引子-罗斯勒吸引子,巴克尔变换,奇怪吸引子的最重要特征是对初值的敏感性，初始相互靠近的两条轨线将按指数式规律分离。但在有限空间中如何保持这样的指数式分离状态？洛伦兹吸引子有两个不稳定平衡点，因此复杂的相轨线可以随机地在两个中心之间行走。是否只有一个平衡点的奇怪吸引子呢？如果有，在有限相空间里如何容纳按指数分离的相轨线？于是就想象伸展开来的相轨线可能产生了某种折叠。巴克尔变换描写了这种变换：,图a-保面积变换(保守系统)将单位正方块(x,y)通过拉伸与压缩变换成长方形。再将长方形进行折叠，把其右半部分折叠到左半部分的上部。图b-的非保面积（耗散系统）变换。,巴克尔变换,两种映射的巴克尔变换示意图。,2.奇怪吸引子-罗斯勒吸引子,(1)在 x 方向上:考虑初始值 及其邻域，则一次迭代后它们的距离是：则作 n 次迭代后的距离是 即：比照线性常微分方程，则得：式中 n 代替了连续时间 t。,巴克尔变换的 l指数,2.奇怪吸引子-罗斯勒吸引子,利用李氏指数计算公式，得在 x 方向上李雅普诺夫指数：该式说明在 x 方向上的对初始条件非常敏感(2)在y方向上 由巴克尔变换第二式可知在 y 方向的李氏指数，可见，巴克尔变换使 x 方向上的相空间伸长，y 方向上的压缩。x 方向上拉伸与 y 方向上压缩的结果使体积减小，说明这是耗散系统。,2.奇怪吸引子-罗斯勒吸引子,巴克尔变换的 l指数,根据相空间的伸展与折叠思想，罗斯勒()在简化的洛伦茨方程的基础上，于1976年设计了一个新的吸引子方程组，称为罗斯勒方程组：,在平衡点处有：,罗斯勒方程组,罗斯勒方程组,洛伦兹方程组,2.奇怪吸引子-罗斯勒吸引子,罗斯勒吸引子,取参数 a=b=0.2，c=5.7时计算得罗斯勒吸引子图象。不稳定的平衡点在(x,y)平面内。相轨线先在(x,y)平面内绕平衡点从内向外绕，绕了若干圈在离开平衡点有一定距离后，离开平面(x,y)进入z方向空间转动，达到一定高度后突然折回进离平衡点较近平面内。相点沿相轨线从空间折回进平面时，与准确平衡点总有某些差距，由于平衡点是不稳定的，相点又继续按上述方式运动，不断重复进行。,2.奇怪吸引子-罗斯勒吸引子,c=2.6,c=3.5,c=4.1,c=4.18,c=4.21,c=4.6,罗斯勒系统是三维的，考察它的相轨线在平面内的投影。取方程中参数：a=b=0.2得不同c值下的相轨线及它们的功率谱,罗斯勒吸引子,在平面的投影,2.奇怪吸引子-罗斯勒吸引子,参数：a=b=0.2。当c=2.6时，相轨线是简单单周期的极限环，其功率谱为系统的基频f（16Hz）及其谐波；当c=3.5时，得二周期运动相轨线，其功率谱为f/2、f及其谐波；当c=4.1时，为四周期的极限环，功率谱为f/4、f/2、f及其谐波；当c=4.18时，为八周期的极限环，功率谱为f/8、f/4、f/2、f及谐波。可见随 c 增加，存在一系列时倍周期分岔，直到倍周期积累点。过积累点后，随 c 增加，轨线展宽开来，相近相轨线合并形成宽阔相轨道。在c=4.21时，相轨线仍是八周期极限环，在功率谱上除f/8、f/4、f/2、f及其谐波外，还有 f/16 的弱峰。在c=4.6时，相轨线成了一条粗大的环线，表明运动已无任何周期，功率谱是在很高的噪声背景谱上存在着频率 f 及其谐波的尖峰。后者奇怪吸引子功率谱的特征。,罗斯勒吸引子在平面的投影,2.奇怪吸引子-罗斯勒吸引子,