的微分方程测试练习题.docx
习题22-1试证明图2-77(a)所示电气网络与图277(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。(a)(b)图2-77习题2-1图证明：首先看题2-1图中(a)4(三)=UA)-UC(三)W="/)+Cu(三)=UXS)($)=!%+；/($)Ic2s)Ue(三)=IR?+；I+CSUr(三)-UC(三)IGS人N)R+I+GS卜1(三)=(R2+言K+可(三)NGS+)(+NGs)+UC(三)=(gGS+i)x(i+R£s)uC2sRlJC2sR2-2试分别写出图2-78中各有源网络的微分方程。dur(t)1/1/i1/du(t)1/Cv+”3=一下给(味生一C蟹+另。()(C)-wr(0=+wc(z)A1_at2-3某弹簧的力一位移特性曲线如图2-79所示。在仅存在小扰动的情况下，当工作点分别为XO=T.2,0,2.5时，试求弹簧在工作点附近的弹性系数。解：由题中强调“仅存在小扰动”可知，这是一道非线性曲线线性化处理的问题。于是有，在那=7.2,0,2.5这三个点处对弹簧特性曲线做切线，切线的导数或斜率分别为：I)dx .r=-,2=-2)dxx=03)df_ dx.v-2.5空型=且=63-0.5 2.52-4图2-80是一个转速控制系统，其中电压U为输入量，负载转速为输出量。试写出该系统输入输出间的微分方程和传递函数。40300123位移量x/cm2()Ooooo 1 12 3- -1图2-80 习题2-4图图2-79习题2-3图解：根据系统传动机构图可列动态如下：Ri(t+ + Ke = ur(t) dt(1)将方程(3)整理后得:(3)”_L ,也K l K7 dt(4)将方程(4)代入方程(1)后得:RJ dL dTlLJ d21- H3K dt K dt K dt2+ Km = %()(5)将方程(5)整理后得:LJ d2 RJ dIK dr K dt2-5系统的微分方程组如下3R TLdTL+ Ke = ur(t) _ -T,-leK l Kt dt(6)1(z)=r(r)-c(r),孙(力=7+KlNl(r)q(z)=K2Z2(力，Nlta)=Z3C)q(，)一KjjNf)dx5(Z).dJl=K3X1(2),K4x5(r)=Tc+c(z)式中，r, K-, K2, Ko, Kn, Kj, T均为常数。试建立系统r对C的结构图，并求系统传递函数 C(s)/ R(s),解：首先画系统结构图，根据动态方程有：然后，根据梅逊公式得：ZOwKyK4K2K3K4S+K)C(三)6+J27元石瓦川MS)-1+以+Kk&上+区+K风Ks-2s+l)KKKkS+KjK"s+1)K3K4K5I2S仆+1SS(TS+D411+1)5(n+l)5(7iv+l)s(Ts+)C(三)=勺.(窃+Kj(5)-Ts2+(1+K2K3K4+Ki)s+(KiK2K3K4+/C3+KyK4K5)26图2-81是一个模拟调节器的电路示意图。C1图2-81习题2-6图写出输入i,与输出之间的微分方程；建立该调节器的结构图； 求传递函数U。/Ur（s）,解：根据电路分析需要，引入中间变量卬，又2«），然后，由电路图可知:agu°(s)_ 十卷 + Gu OI(S)UMS)之-C2sU o2(s)4(S) =-仙(S)(1)(2)(3)采用代入法，将上述3个方程联立求解得:RlRyR4C2s(R2Cis+1)+R2R5CiSq(s)u°(s)=RzRs=Rs工Ui(三)R3R4C2R2C1S2+R1R3R4C2S+R2R5Qs)134C2C1(RlRiR4C2+R2R5QRIR3R4C2RW1的斜面上滚动（无滑动）， 求出其运动方程。解：首先，对圆馄进行受 力分析；根据分析结果可 知：图2-82 习题2-7图2-7某机械系统如图2-82所示。质量为m、半径为R的均质圆筒与弹簧和阻尼器相连（通过轴心），假定圆筒在倾角为UDdx,d2x,mgsma-KN-11-jj-=fnj2fnp+Bl+KXl=mgSina28图2-83是一种地震仪的原理图。地震仪的壳体固定在地基上，重锤M由弹簧K支撑。当地基上下熊动时，壳体随之震动，但是由于惯性作用，重锤的运动幅度很小，这样它与壳体之间的相对运动幅度就近似等于地震的幅度，而由指针指示出来。活塞B提供的阻尼力正比于运动的速度，以便地震停止后指针能及时停止震动。写出以指针位移y为输出量的微分方程；核对方程的量纲。解：首先，对重锤进行受力分析；根据分析结果可知：UDdyd'ymg-Ky-B-=m-rdtdr图2-83 习题2-8图d2xiDdXlVmTL+BL+Kx.=dt-dt29试简化图2-84中各系统结构图，并求传递函数c(s)/R(s).HiHa图2-84习题2-9图解：(a),根据梅逊公式得：前向通道传递函数R：P1=Gl(s)G2(s);P2=G.(三)G2(三)回路通道传递函数乙：L1=-Gl(s)G2(s)H2(s);L2=-G2(5)H1(5)特征方程:=l-Ll.=l+G1(5)G2(5)H2(5)+G2(5)H1(5)由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。余子式：1=2=1系统传递函数为：=生=GA)G2(s)+G2(s)G3(s)R(三)-l+G(s)G2(s)H2(s)+G2(三)HI(三)(b),根据梅逊公式得：前向通道传递函数a：P=Gf(5)G2(5)；回路通道传递函数L：Ll=-G(三)HI(s)；乙2=-/(5)“2(5)特征方程:A=l-Lj=l+G(s)w(s)+H(s)H2(s)由于回路传递函数L2与前向通路相“不接触”，所以。余子式：1=l+H1(5)2(5)系统传递函数为：(三)=罄.艰暇叫)(三)R(s)1-Gl(s)ffl(s)+Hl(s)ff2(s)(C),根据梅逊公式得：前向通道传递函数PkiPl=Gl(三)G2(S为3(S为4(s)；回路通道传递函数乙：Ll=GI(三)G2(三)G3(三)G4(三)HI(三)；1.2=-G1(5)G2(5)G3(5)H2(5)1.3=-G2(5)G3(5)73(5)1.4=-G3(三)G4(三)H4(三)特征方程:=1-ZLLI-G(三)G2(sX(sXs)H(s)+G(s)G2(s)G3(s)H2(s)+G2(s)G3(s)H3(s)+G3(s)G4(s)H4(s)由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。余子式：1=1系统传递函数为：(三)=c(s)=G«2(SNS-(三)R(三)I-GI(三)G2(s)G3(sR4(三)M(三)+G(s)G2(sXMsH2(s)+G2(s)G3(s)H3(s)+G3(sXs)H4(s)2-10试用梅逊公式求解习题2-9所示系统的传递函数C(s)/R(三)o2-11系统的结构如图2-85所示。求传递函数G(s)/RI(三),Ci(三)ZZJ2(三),C2(三)i(三),C2(三)¾s),图2-85习题2-11图求传递函数阵G(三)C=G(三)R(s),其中ZnlG(s)RQg(三)()=自(5)'=&($)解：G(三)/R(s),根据梅逊公式得：前向通道传递函数R：PLGI(三)G2(sXMs)B=GI(三)G7(s)G5(Ms)G3(s);回路通道传递函数L:L1=-G3(5>73(5);1.?=G7(s)G5(sX(s)%=工%(s)相互“不接触”回路EL&：1.1L2=G3(5)G3(5)G7(5)G5(5)G8(5)1.1L3=G3(5)G3(5)G5(5)H2(s)特征方程:=1-4+.=l+G3(5)G3(5)-G7(5)GX5)GJ5)÷GX5)H2(5)÷G3(5)G3(5)GX5)G5(5)G8(s)-G3(5)G3(5)-G5(5)H2(5)由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。余子式：1=1系统传递函数为：G(三)=42-12试求图2-86所示结构图的传递函数as)/R(s),解：Cl(三)/R(s),根据梅逊公式得：前向通道传递函数R："G(s);p2=G2(s)；6=-gL);舄=一Gl(三)G2(s)；回路通道传递函数L,:Ll=-GI(s)；L2=-G2(5)；LJ=GG)G2(其；L4=G1(5)G2(5)；L5Gl(s)G2(s)特征方程:=i-+-=1+G1(5)+G2(5)-3G1(5)G2(5)特征方程余子式&：1=2=3=4=1系统的传递函数为：(=£0=G(三)+G(三)-2GI(三)G2(三)v7R(三)l+G1(5)+G2(5)-3G1(5)G2(5)2-13己知系统结构如图2-87所示，试将其转换成信号流图，并求出c(s)/R(s)0图2-88习题2-14图(a)(b)图2-87习题2-13图解：(a)根据梅逊公式得：(s)_£0=GDR(三)1+Gl(s)ffl(s)+G2(三)H2(三)+Gi(三)Hi(三)G2(三)H2(三)(b)根据梅逊公式得：M"C(s)=G(三)G如,MS)l÷G1(5)H1(5)+G2(5)H2(5)2-14系统的信号流图如图2-88所示，试求C(s)R(s),图2-89习题2-15图解：（a）根据梅逊公式得:0.5K(三)=皿s2(s+l)=05K=05KR(三),0512.5s2(s+D+05K+s+2.5/s3+3.5s2+s+0.5K7研耐)硒(b)根据梅逊公式得：(LG(三)G*),R(三)1÷G1(5)H1(5)+G2(5)H2(5)2-15某系统的信号流图如图2-89所示，试计算传递函数C*)/Rl。若进一步希望实现C?与RMS)解耦，即希望C2(三)Rs)=00试根据其他的Gi(三)选择合适的G5(三)。解：C(三)="吸涨后+睢哪后#)R(G_Gz£4®-+(s2(s近(s)+G3(s)G4(s)H2(s)+(s)G*)H(s)G3(s)G4(sW2(s)CT1f若希望C2(三)/Rl(三)=0,则有G1(5)G2(5)G6(5)G3(5)G4(s)÷G1()G5(5)G4(5)=0G5(5)=-G2(5)G6(s)G3(s)2-16已知系统结构图如图2-90所示。求传递函数C(三)/R和C(三)/N(三)。若要消除干扰对输出的影响(即C(三)/N(s)=0,问G)($)二?解：由结构图可知C(s)/R(三)KMC(三)=s(7+l)=KlK2a市二KIK2«-S保+1)+KK,仁5(Ty+l)由结构图可知C(s)/N(三) IMS)Go(S) 图2-90 习题2-16图G(s)½.C(三)二八)S(TS+1)(n+1)_KlKKjas而"一阵陷s()K1K2K35(75+1)若使CN(s)=O,则意味着KiK2Kfi0(三)-K4K3S=O最终求得Go(s):2-17考虑两个多项式p(s)=s2+2s÷1,q(s)=s+l0用Matlab完成下列计算p(s)q(s)R(S) 融 姿态G(沪悉X鬟X南;扩m2-18考虑图2-91描述的反馈系统。利用函数series与cloop,计算闭环传递函数，并用rintsys函数显示结果；用step函数求取闭环系统的单位阶跃响应，并验证输出终值为2/5o解：略2-19卫星单轴姿态控制系统的模型如图2-92所示，其中k=10.8E+08,a=l和b=8是控制器参数，J=I0。8E+08是卫星的转动惯量。图2-92习题2-19图图2-93习题2-20图编制MatIab文本文件，计算其闭环传递函数口夕(s)Jd(s);当输人为Jd(三)=10°的阶跃信号时，计算并做图显示阶跃响应；转动惯量的精确值通常是不可知的，而且会随时间缓慢改变。当'，减小到给定值的80%和50%时，分别计算并比较卫星的阶跃响应。2-20考虑图293所示的方框图。用MaUab化简方框图，并计算系统的闭环传递函数；利用PZm叩函数绘制闭环传递函数的零极点图；用roots函数计算闭环传递函数的零点和极点，并与的结果比较。(2)如图所示机械位移系统,求G(三)=Y(三)/R(s)。解：首先对质量为m的物体进行受力分析，得所受的合力为F(r)+F1(z)+F2(r)=w-at其中，F1(r)=-b);FzQ)=7半Ctt于是有F(>k期f皿一型八Jdtdt2整理得加心+也+=MOdt2dt'/，解答完毕。
