《正弦稳态响应》PPT课件.ppt
正弦稳态响应,一、正弦电流激励的RC电路分析,图 10-9,我们现在讨论图10-9所示RC电路，电路原来已经达到稳定状态，在t=0时刻断开开关，正弦电流iS(t)=ISmcos(t+i)作用于RC电路，求电容电压uC(t)的响应。,首先建立t0电路的微分方程如下:,对应齐次微分方程的通解uCh(t)为,微分方程特解uCp(t)的形式与电流源相同，为同一频率的正弦时间函数，即,为了确定UCm和u，可以将上式代入微分方程中,求解得到,微分方程的完全解为,可以求得,最后得到电容电压uC(t)的全响应为,本电路的初始条件为零，属于零状态响应，所画出的波形如图所示。曲线1表示通解，它是电路的自由响应，当RC0的条件下，它将随着时间的增加而按指数规律衰减到零，称为暂态响应。曲线2表示特解，它按照正弦规律变化，其角频率与激励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后，它就是电路的全部响应，称为正弦稳态响应。,图 10-10,二、用相量法求微分方程的特解,求解正弦电流激励电路全响应的关键是求微分方程的特解。假如能用相量来表示正弦电压电流，就可以将常系数微分方程转变为复系数的代数方程，便于使用各种计算工具。现将这种相量法介绍如下：,代入微分方程,取实部与微分运算的次序交换,由于方程在任何时刻相等，其方程的复数部分应该相等，由此得到一个复系数的代数方程,求解此代数方程得到电容电压相量为,电容电压的振幅和初相分别为,这与式(108)和(109)完全相同。计算出电容电压的振幅和初相，就能够写出稳态响应,从以上叙述可知，用相量表示正弦电压电流后，可将微分方程转换为复系数代数方程，求解此方程得到特解的相量后，易于写出正弦稳态响应的瞬时值表达式。我们可以将以上求特解的方法推广到一般情况，对于由正弦信号激励的任意线性时不变动态电路，先写出n阶常系数微分电路，再用相量表示同频率的各正弦电压电流，将微分方程转变为复系数代数方程，再求解代数方程得到电压电流相量，就能写出特解的瞬时值表达式。,例10-4 图10-9所示电路中，已知R=1,C=2F,iS(t)=2cos(3t+45)A,试用相量法求解电容电压uC(t)的特解。,解：写出电路的微分方程,图 10-9,将正弦电流用相量表示,可以得到复系数代数方程,代入微分方程中,求解此代数方程得到电容电压相量,由此得到电容电压的瞬时值表达式,这是图109所示电路中电容电压uC(t)的特解，也是电容电压的正弦稳态响应。,例10-5 图1011所示RLC串联电路中，已知 uS(t)=2cos(2t+30)V,R=1,L=1H,C=0.5F。试用相量法求电容电压uC(t)和电感电流iL(t)的特解。,解：以电容电压为变量列出电路的微分方程,图 10-11,将方程中的uS(t)=2cos(2t+30)V和uC(t)用相量表示,对方程先求导，再取实部,得到复系数代数方程为,求解代数方程，注意到=2rad/s和j2=-1，得到电容电压相量,根据=2rad/s得到电容电压的瞬时值表达式,代入R=1,L=1H,C=0.5F得到,求得电容电流和电感电流的瞬时值表达式,由于此二阶电路的两个固有频率都具有负实部，暂态响应将随着时间的增加而衰减到零，以上计算的电容电压和电感电流的特解，也就是电路的正弦稳态响应。,图 10-11,三、正弦稳态响应,s1、s2、sn是n阶动态电路的固有频率。如果全部固有频率具有负实部(即处于左半开复平面上)，则对于任何初始条件，在具有相同频率的正弦电压源和电流源激励下，电路中全部电压和全部电流随着t将按指数规律趋于相同频率的正弦波形。当这种情况发生时，称电路处于正弦稳态。,现在将上面的讨论推广到一般动态电路。具有相同频率的一个或几个正弦信号激励的线性时不变动态电路，我们感兴趣的响应为x(t)，则x(t)可表为如下形式：,相量法求微分方程特解的方法与步骤如下：1.用KCL，KVL和VCR写出电路方程(例如2b方程，网孔方程，结点方程等)，以感兴趣的电压电流为变量，写出n阶微分方程。2.用相量表示同一频率的各正弦电压电流，将n阶微分方程转换为复系数代数方程。3.求解复系数代数方程得到所感兴趣电压或电流的相量表达式。,4.根据所得到的相量，写出正弦电压或电流的瞬时值表达式。以上步骤中，列出以某个电压或电流为变量的n阶微分方程，并将它转换为复系数代数方程是最困难工作，电路越复杂，工作量越大。为此，我们可以先画出电路的相量模型，用相量形式的KCL、KVL和元件VCR直接列出复数的电路方程。,用相量法求解电路正弦稳态响应的方法和步骤如下：1.画出电路的相量模型，用相量形式的KCL，KVL和VCR直接列出电路的复系数代数方程。2.求解复系数代数方程得到所感兴趣的各个电压和电流的相量表达式。3.根据所得到的各个相量，写出相应的电压和电流的瞬时值表达式。,用相量法分析正弦稳态响应的优点有：1.不需要列出并求解电路的n阶微分方程。2.可以用分析电阻电路的各种方法和类似公式来分析正弦稳态电路。3.读者采用所熟悉的求解线性代数方程的方法，就能求得正弦电压电流的相量以及它们的瞬时值表达式。4.便于读者使用计算器和计算机等计算工具来辅助电路分析。,2002年春节摄于成都人民公园,必作习题：第441页第十章：10 11、10 12,
