《概率论周次》PPT课件.ppt
1.3 随机事件的概率,随机事件的频率Frequency,A=“出现正面”,随机试验,抛掷一枚均匀的硬币,试验总次数n,将硬币抛掷n次,随机事件,事件A出现次数m,出现正面m次,随机事件的频率,德.摩 根,试 验 者,抛 掷 次 数n,出现正面的次数m,出现正面的频率m/n,2048,1061,0.518,蒲 丰,4040,2048,0.5069,皮尔逊,12000,6019,0.5016,皮尔逊,24000,12012,0.5005,维 尼,0.4998,14994,30000,抛掷硬币的试验Experiment of tossing coin,历史纪录,随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A 发生的频率在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数的增加更加明显,频率和概率,频率的稳定性,事件的概率,事件A的频率稳定在数值p，说明了数值p可以用来刻划事件发生可能性大小，可以规定为事件A的概率,对任意事件，在相同的条件下重复进行n次试验，事件发 生的频率 m/n，随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数 附近摆动那么称p为事件的概率,概率的统计定义,当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频率近似的代替事件A的概率,再分析一个例子，为检查某种小麦的发芽情况，从一大批种子中抽取10批种子做发芽试验，其结果如表1-2：,从表1-2可看出，发芽率在0.9附近摆动，随着n的增大，将逐渐稳定在0.9这个数值上.,概率的统计定义,频率 稳定于概率,性质,（1）,（2）,有限性,每次试验中，每一种可能结果的发生的可能性相同，即,其中,.,古典概率模型,每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间是个有限集,等可能性,设试验结果共有n个基本事件1，2，.，n，而且这些事件的发生具有相同的可能性,古典概型的概率计算,确定试验的基本事件总数,事件由其中的m个基本事件组成,确定事件A包含的基本事件数,抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数,求“出现的点数是不小于3的偶数”的概率,=“出现的点数是不小于3的偶数”,古典概率的计算：抛掷骰子,事件A,试验,抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数,样本空间,=4，6,=1，2，3，4，5，6,n=6,m=2,事件A的概率,古典概率的计算：有放回抽样和无放回抽样,设在10 件产品中，有2件次品，8件正品,A=“第一次抽取正品，第二次抽取次品”,第一次抽取后，产品放回去,第一次抽取后，产品不放回去,古典概率的计算：投球入盒,把3个小球随机地投入5个盒内。设球与盒都是可识别的。,A=“指定的三个盒内各有一球,B=“存在三个盒，其中各有一球,古典概率的计算：生日问题,某班有50个学生，求他们的生日各不相同的概率（设一年365天）,分析,此问题可以用投球入盒模型来模拟,50个学生,365天,50个小球,365个盒子,相似地有分房问题,房子,盒子,人,小球,生日问题模型,某班有n个学生，设一年N天,则他们的生日各不相同的概率为,至少有两人生日相同的概率为,古典概率的计算：抽签,10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，抽取10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求 A=第五个抽签的学生抽到入场券的概率。,基本事件总数,基本事件总数,第五个学生抽到入场券,另外9个学生抽取剩下9张,0.192,古典概率的计算：数字排列,用1，2，3，4，5这五个数字构成三位数,没有相同数字的三位数的概率,没有相同数字的三位偶数的概率,匹 配 问 题,某人写了4封信和4个信封，现随机地将信装入信封中，求全部装对的概率。,解 设“全部装对”为事件A,总的基本事件数为 4！,A所包含的基本事件数为 1,所以,概率的古典定义,性质,（1）,（2）,几何概率 Geometric Probability,将古典概率中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。,几何度量-指长度、面积或体积,定义,设样本空间是一个有限区域S，若样本点落入S内任何区域G的概率与G的测度（如长度、面积、体积等）成正比，则事件A=样本点落入区域A的概率为：,一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有0,5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区间 2,3 上的概率。,=2,3,=5-0=5,=3-2=1,几何概率的计算,甲乙二人相约定6：00-6：30在预定地点会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开。求甲乙二人能会面的概率，假定他们在6：00-6：30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的。,几何概型的计算：会面问题,解 设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为 x 及 y（分钟）,则,二人会面,几 何 概 型,性质,（1）,（2）,A1 A2 A3 A4,一楼房共15层，假设电梯在一楼启动时有10名乘客，且乘客在各层下电梯是等可能的。试求下列事件的概率：A1=10个人在同一层下；A2=10人在不同的楼层下；A3=10人都在第15层下；A4=10人恰有4人在第8层下。,练一练,总的基本事件数：,各事件含有的基本事件数分别为：,1,解,所以，各事件的概率为：,.,思考题,1、从五双大小型号不同的鞋子中任意抽取四只，问能凑成两双的概率是多少？,总的基本事件数：,有利事件数：,解,设“能凑成两双鞋”为事件A,所以，所求概率为,思考题,2，一个圆的所有内接三角形中，问是锐角三角形的概率是多少？,解 以A为起点，逆时针方向为正，B至A的曲线距离为x，C至A的 曲线距离为y，则,ABC为锐角三角形,或,思考题,2，一个圆的所有内接三角形中，问是锐角三角形的概率是多少？,ABC为锐角三角形,或,解.,所求概率为,直角三角形？钝角三角形？,概率的公理化定义及其性质,非负性：,规范性：()=1,可列可加性：,那么，称 为事件的概率,概率的公理 化定义,()0,两两互不相容时,（1 2）=（1）+（2）+,设A1，A2，,An两两互不相容，则,证明,有限可加性,若 A B，则 P(B A)=P(B)P(A),（）（）（）,差事件的概率,对任意两个随机事件、，有,加法定理,加法定理,证明,由于与其对立事件互不相容，由性质2有,而,所以,逆事件的概率,袋中有20个球，其中15个白球，5 个黑球，从中任取3个，求至少取到一个白球的概率,设表示至少取到一个白球，i 表示刚好取 到i个白球，i0，1，2，3，则,方法（用互不相容事件和的概率等于概率之和）,(A)(A123)(1)(2)(3),解,方法（利用对立事件的概率关系）,例,甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为 0.85，乙击中的概率为 0.8 两人都击中的概率为 0.68 求目标被击中的概率,解,设表示甲击中目标，表示乙击中目标，表示目标被击中，则,0.85 0.8 0.68 0.97,例,例,已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种情形下分别求出P(A-B)与P(B-A),(1)事件A,B互不相容,(2)事件A,B有包含关系,解,(2)由已知条件和性质3,推得必定有,练一练,投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之和在4和10之间的概率（含4和10）.,解 设“两颗骰子的点数之和在4和10”为事件A,总的基本事件数为,所包含的样本点为,所以,练一练,考察甲，乙两个城市6月逐日降雨情况。已知甲城出现雨天的概率是0.3,乙城出现雨天的概率是0.4,甲乙两城至少有一个出现雨天的概率为0.52,试计算甲乙两城同一天出现雨天的概率.,解 设A表示“甲城下雨”，B表示“乙城下雨”,则,所以,练一练,把6个小球随机地投入6个盒内(球,盒可识别),求前三个盒当中有空盒的概率.,解 设 表示第 个盒空着,则所求概率为,
