《概念与公式》PPT课件.ppt

等比数列,一、概念与公式,1.定义,2.通项公式,3.前 n 项和公式,二、等比数列的性质,1.首尾项性质:有穷等比数列中,与首末两项距离相等的两项积相等,即:,特别地,若项数为奇数,还等于中间项的平方,即:,a1an=a2an-1=a3an-2=.,an=a1qn-1=amqn-m.,a1an=a2an-1=a3an-2=a中2.,特别地,若 m+n=2p,则 aman=ap2.,2.若 p+q=r+s(p、q、r、sN*),则 apaq=aras.,3.等比中项,如果在两个数 a、b 中间插入一个数 G,使 a、G、b 成等比数列,则 G 叫做 a 与 b 的等比中项.,5.顺次 n 项和性质,4.若数列 an 是等比数列,m,p,n 成等差数列,则 am,ap,an 成等比数列.,7.单调性,8.若数列 an 是等差数列,则 ban 是等比数列;若数列 an 是正项等比数列,则 logban 是等差数列.,三、判断、证明方法,1.定义法;,2.通项公式法;,3.等比中项法.,an 是递增数列;,an 是递减数列;,q=1 an 是常数列;,q0 an 是摆动数列.,典型例题,1.设数列 an 的前 n 项和为 Sn,若 S1=1,S2=3,且 Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n2),试判断 an 是不是等比数列.,2.设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9,求数列的公比 q.,3.三个数成等比数列,若将第三项减去 32,则成等差数列,再将此等差数列的第二项减去 4,又成等比数列,求原来的三个数.,4.已知数列 an 的各项均为正数,且前 n 和 Sn 满足:6Sn=an2+3an+2.若 a2,a4,a9 成等比数列,求数列的通项公式.,a1=1,a2=2,Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1),an=2n-1,an是等比数列.,设三数为 a,b,c,得 b=2+4a,c=7a+36.,an+1-an=3,a1=1,an=3n-2.,(1)a1(1-q)2,a1(1-q)3;,(3)-a1q(1-q)n-1.,(2)bn=3qn-1.,5.数列 an 中,a1=1,a2=2.数列 anan+1 是公比为q(q0)的等比数列.(1)求使 anan+1+an+1an+2an+2an+3(nN*)成立的 q 的取值范围;(2)若 bn=a2n-1+a2n(nN*),求 bn 的通项公式.,(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).,整理得 nSn+1=2(n+1)Sn.,又 a2=3S1=3a1=3,故 S2=a1+a2=4=4a1.,因此对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.,Sn=n2n-1.,Sn+1=(n+1)2n.,an=Sn-Sn-1=n2n-1-(n-1)2n-2=(n+1)2n-2(n2).,而 a1=1 也适合上式,an=(n+1)2n-2(nN*).,4an=(n+1)2n=Sn+1.,即 Sn+1=4an.,(1)证:由已知 an+1=Sn+1-Sn=4an+2-4an-1-2,an+1=4an-4an-1(n2).,bn=an+1-2an=4an-4an-1-2an=2(an-2an-1)=2bn-1.,bn是以 3 为首项,2 为公比的等比数列.,又由 a1=1,a1+a2=S2=4a1+2 得 a2=5,b1=a2-2a1=3.,bn=32n-1.,数列 cn 是等差数列.,Sn=4an-1+2=4(3n-4)2n-3+2=(3n-4)2n-1+2.,an=2ncn=(3n-1)2n-2.,an-1=(3n-4)2n-3(n2).,而 S1=a1=1 亦适合上式,Sn=(3n-4)2n-1+2(nN*).,1.四个正数,前三个数成等差数列,其和为 48,后三个数成等比数列,其最后一个数是 25,求此四数.,解:由已知可设前三个数为 a-d,a,a+d(d 为公差)且 a+d0.,后三数成等比数列,其最后一个数是 25,解得:a=16,d=4.,故所求四数分别为 12,16,20,25.,a-d+a+a+d=48,且(a+d)2=25a.,a-d=12,a+d=20.,课后练习题,2.在等比数列 an 中,a1+a6=33,a3a4=32,an+1an.(1)求 an;(2)若 Tn=lga1+lga2+lgan,求 Tn.,解:(1)an 是等比数列,a1a6=a3a4=32.,又a1+a6=33,a1,a6 是方程 x2-33x+32=0 的两实根.,an+1an,a6a1,a1=32,a6=1.,32q5=1,an=26-n.,(2)由已知 lgan=(6-n)lg2.,Tn=lga1+lga2+lgan,=6n-(1+2+n)lg2,=(6-1)+(6-2)+(6-n)lg2,(1)解:设等比数列 an 的公比为 q,依题意得:,a1q=6 且 a1q4=162.,解得:a1=2,q=3.,数列 an 的通项公式为 an=23n-1.,=1.,4.设 an 为等比数列,Tn=na1+(n-1)a2+2an-1+an,已知 T1=1,T2=4.(1)求数列 an 的首项和公比;(2)求数列 Tn 的通项公式.,解:(1)设等比数列 an 的公比为 q,则:T1=a1,T2=2a1+a2.,又 T1=1,T2=4,a1=1,2a1+a2=4a2=2.,q=2.,数列 an 的首项为 1,公比为 2.,(2)解法1 由(1)知:a1=1,q=2,an=2n-1.,Tn=n1+(n-1)2+(n-2)22+22n-2+12n-1.,2Tn=n2+(n-1)22+(n-2)23+22n-1+12n.,Tn=-n+2+22+2n-1+2n,=2n+1-n-2.,解法2 设 Sn=a1+a2+an.,an=2n-1,Sn=2n-1.,Tn=na1+(n-1)a2+2an-1+an,=a1+(a1+a2)+(a1+a2+a3)+(a1+a2+an),=S1+S2+Sn,=2+22+2n-n,=2n+1-n-2.,5.在公差为 d(d0)的等差数列 an 和公比为 q 的等比数列 bn 中,已知 a1=b1=1,a2=b2,a8=b3,(1)求 d,q 的值;(2)是否存在常数a,b,使得对于一切正整数 n,都有 an=lgabn+b 成立?若存在,求出 a 和 b,若不存在,说明理由.,解:(1)a1=b1=1,a2=b2,a8=b3,d0,解得 d=5,q=6.,故 d,q 的值分别为 5,6.,1+d=q 且 1+7d=q2.,(2)由(1)及已知得 an=5n-4,bn=6n-1.,假设存在常数 a,b,使得对于一切正整数 n,都有 an=lgabn+b 成立,则 5n-4=loga6n-1+b 对一切正整数 n 都成立.,即 5n-4=nloga6+b-loga6 对一切正整数 n 都成立.,loga65,b-loga6=-4.,6.设 Sn 为数列 an 的前 n 项和,且满足 2Sn=3(an-1),(1)证明数列 an 是等比数列并求 Sn;(2)若 bn=4n+5,将数列 an 和 bn的公共项按它们在原数列中的顺序排成一个新的数列 dn,证明 dn 是等比数列并求其通项公式.,证:(1)由已知 a1=3,当 n2 时,an=Sn-Sn-1.,2an=2(Sn-Sn-1)=2Sn-2Sn-1=3(an-an-1),an=3an-1.,故数列 an 是首项与公比均为 3 的等比数列.,(2)易知 d1=a2=b1=9.,设 dn 是 an 中的第 k 项,又是 bn 中的第 m 项,即 dn=3k=4m+5.,ak+1=3k+1=3(4m+5)=4(3m+3)+3 不是数列 bn 中的项,而 ak+2=3k+2=9(4m+5)=4(9m+10)+5 是bn的第(9m+10)项,dn+1=ak+2=3k+2.,dn 是首项与公比均为 9 的等比数列,故 dn=9n.,an0,bn0,由式得 an+1=bnbn+1.,2bn=bn-1+bn+1(n2).,bn 是等差数列.,而 a1=1 亦适合上式,(1)证:Sn=(c+1)-can(nN*),a1=(c+1)-ca1.,(c+1)a1=c+1.,c-1,a1=1.,当 n2 时,an=Sn-Sn-1=can-1-can(c+1)an=can-1.,c-1 且 c0,