26.2-用函数观点看一元二次方程-同步测控优化训练(含答案).docx

26.2用函数观点看一元二次方程一、课前预习(5分钟训练)1 .二次函数y=-2+4-3的图象交X轴于A、B两点，交y轴于C点，则AABC的面积为()A.6B.AC.3D.12 .当a>0,=b2-4ac0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正；当a0,=b2-4ac0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负.3 .已知一抛物线与X轴的交点为A(-1,0)、B(m,0),且过第四象限内的点C(1,n),而m+n=-1,mn=-12,则此抛物线关系式是.二、课中强化(10分钟训练)1 .抛物线y=ax2+bx+c(a0)和直线y=kx+d(k0)有两个交点的条件是»只有一个交点的条件是，没有交点的条件是.2 .抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与X轴交于A(x,0),B(x2»0),XlVX2，则不等式ax2+bx+c>0的解集为,不等式ax2+bx+c<O的解集为.3 .利用图象求下列一元二次方程的近似值.(l)x?+X-IO=0;(2)2x2-3x+l=0.4 .已知抛物线y=2+(11-3)+n+l经过坐标原点O.(1)求这条抛物线的顶点P的坐标；(2)设这条抛物线与X轴的另一个交点为A,求以直线PA为图象的一次函数的解析式.ji35 .已知抛物线y=2-mx+y与抛物线y=2+m-jm?在平面直角坐标系中的位置如图2621,其中一条与X轴交于A、B两点.(1)试推断哪一条抛物线经过A、B两点？并说明理由.II2(2)若A、B两点到原点的距离OA、OB满足=一，求经过A、B两点的OBOA3抛物线的关系式.图2621三、课后巩固(30分钟训练)1 .二次函数的二次项系数为2,它与X轴交点的横坐标分别为1和4,则二次函,数的解析式是()A.y=2(-4)(x+2)B.y=2(x+4)(-1)C.y=2(-4)(-l)D.y=2(-4)(x+l)2 .已知抛物线的顶点到X轴的距离为3,且与X轴两交点的横坐标为4、2,则该抛物线的关系式为.3 .求下列二次函数与X轴的交点：(1) y=2+4-5;(2)y=-x2+x+2;(3)y=x2-3x;(4)y=2-6x+10.4 .已知二次函数的图象经过点A(1,0)和B(2,1),且与y轴交点的纵坐标为m.(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与X轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围.5 .如图2622,抛物线y=；（x+l）2-2,（1）设此抛物线与X轴交点为A、B（A在B的左边），请你利用图象求出A、B两点的坐标;（2）有一条直线y=-l,试利用图象法求出该直线与抛物线的交点坐标;（3） P是抛物线上的一个动点，问是否存在一点P,使S"bp=2?若存在,则有几个这样的点P?并写出它们的坐标.图26226 .已知抛物线y=22和直线y=ax+5.（1）求证：抛物线与直线确定有两个不同的交点；（2）设A（x,勿）、B（X2,y2）是抛物线与直线的两个交点，点P是线段AB的中点,且点P的横坐标为口且，试用含a的代数式表示点P的纵坐标；2（3）设A,B两点的距离d=Jl+2.I1-2I,试用含a的代数式表示d7 .画出函数y=2-4-3的图象，依据图象回答下列问题:（1）图象与X轴交点的坐标是什么？（2）方程x2-4x-3=0的解是什么.？（3）不等式x?4x3>O,x?-4x3Vo的解是什么？8 .某医药探讨所进行某一新药研发，经过大量的服用试验知：成年人按规定剂量服用后，每毫升血液中药物含量y微克（1微克=103毫克），随时间X小时的变更规律与某一个二次函数y=a2+bx+c（a和湘吻合，并测得服用时每毫升血液中药物含量为。微克，服用2小时后每毫升血液中药物含量为6微克；服用3小时后，每毫升血液中药物含量为7.5微克.（1）试求出y与X的函数关系，并画出0x8内的图象.（2）求服用后几小时，才能使每毫升血液中药物含量最大？并求出血液中的最大药物含量.（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少？（有效时间是血液中药物含量不为0的总时间）9 .已知二次函数y=2+px+q(p,q为常数，A=P2-4qX)的图象与X轴相交于A(x,O),B(x2,O)两点，且A,B两点间的距离为d,例如，通过探讨其中一个函数y=2-5+6及图象(如图2623),可得出表中第2行的相关数据.y=x2+px+qPqXX2dy=x2-5x+6-56123121y=xxX2j_42y=x2+-2-2-23(1)在表内的空格中填上正确的数；(2)依据上述表内d与的值,猜想它们之间有什么关系？再举个符合条件的二次函数,验证你的猜想；(3)对于函数y=x2+px÷q(p,q为常数，A=p?-4q>0)证明你的猜想.10 .已知m,n是方程x?6x+5=0的两个实数根，且m<n,抛物线y=-x?+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n).(1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中抛物线与X轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C、D的坐标hcb和ABCD的面积；(注：抛物线y=a2+bx+c(a0)的顶点坐标为(,)2a4。(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH±x轴，与抛物线交于H点,若直线BC把APCH分成面积之比为23的两部分，请求出P点的坐标.图2624参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.二次函数y=-2+4x3的图象交X轴于A、B两点，交y轴于C点，则ABC的面积为()A.6B.4C.3D.1解析：解方程一2+4-3=0,得A、B为(1,0)、(3,0),当x=0时，y=一3,所以C为(0,3),所以AABC的面积为1x3(31)=3.2答案：C2 .当a>0,=b2-4ac0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正；当a0,=b2-4ac0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负.解析：当a>0时，二次函数y=a2+bx+c的图象开口向上，若与X轴无交点，则其值恒为正；当av时，二次函数y=a2+bx+c的图象开口向下，若与X轴无交点，则其值恒为负.答案：VVV3 .已知一抛物线与X轴的交点为A(-1,0)、B(m,0),且过第四象限内的点C(1,n),而m+n=-1,mn=-12,则此抛物线关系式是.解析：由题意，得m、n为方程x?+x12=0的两根,n + = -1, mn = -12.解得m=-4,n=3或m=3,n=-4.X*.*(l,n)在第四象限，JnvO./.m=3,n=-4,即B(3,0),C(1,一4).设抛物线的关系式为y=a(-3)(x+l).把(1,-4)代入上式，得-4=a(1-3)(1+1),一4a4.a=l.'y=(x3)(x+l)=x2-2-3.答案：y=x2-2x3二、课中强化(10分钟训练)1 .抛物线y=ax.2+bx+c(a0)和直线y=kx+d(k0)有两个交点的条件是,只有一个交点的条件是,没有交点的条件是.解析：图象有无交点或有几个交点，取决于两个方程组的解的状况.答案：(bk)2-4a(c-d)>0：(bk)2-4a(c-d)=0;(bk)2-4a(c-d)<02 .抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于A(x,0),B(x2>0),x<X2,则不等式ax2+bx+c>0的解集为,不等式ax2+bx+c<0的解集为.解析：抛物线在X轴上方的范围是y>0,抛物线在X轴下方的范围是y<0,抛物线上的点在X轴上时y=0,对应的X的范围分别为X>X2或X<Xi:XIVXVX2.答案：X>X2或X<X1X1<X<X23 .利用图象求下列一元二次方程的近似值.(l)2+-10=0;(2)2x2-3x+1=0.解析：作图象要尽量精确一些，与X轴的交点的横坐标即为方程的近似值.解：略.4 .已知抛物线y=x2+(n-3)x+n+l经过坐标原点O.(1)求这条抛物线的顶点P的坐标；(2)设这条抛物线与X轴的另一个交点为A,求以直线PA为图象的一次函数的解析式.解:抛物线y=2+(n-3)x+n+l经过原点，.n+l=0.n=-1.得,y=2-4,即y=j2-4x=(-2)2-4.抛物线的顶点R的坐标为(2,-4).(2)依据题意，得点A的坐标为(4,0).0=4K+Z7(k=2设所求的一次函数解析式为y=kx+b.依据题意，得j4-24+解得J/?8，所求的一次函数解析式为y=2-8.ti35.已知抛物线y=2-mx+下-与抛物线y=2+m-jm?在平面直角坐标系中的位置如图2621,其中一条与X轴交于A、B两点.(1)试推断哪一条抛物线经过A、B两点？并说明理由.ii2（2）若A、B两点到原点的距离OA、OB满足-=求经过A、B两点的OBOA3抛物线的关系式.解析：（1）经过A、B两点的抛物线的>：（2）可依据一元二次方程根与系数关系来解.JYl2解法一：（1）y=2-mx+5-,中A=n-2m2=-m2.抛物线不过原点，Jm和.，-11>2<0.。<0.ti，抛物线y=2-mx+5-与X轴无交点.3：.y=x2+mxn?经过A、B两点.4（2）设A（xi，0）,B（X2，0）,则XV0,X2>0,OA=-x,OB=X2.v.11_2.11_2OBOA3x2X13即3（X1+X2）=2xX2393又.i,X2是方程2+m112=0的两根，.X1+X2=-m,XX2=-m2.4433m=m2.Jmi=O（不符合题意，舍去），ms=2.2经过A、B两点的抛物线为y=x2+2-3.解法二：（1）两条抛物线都不过原点，m2AH2m0.抛物线y=2-mx+下-与y轴交于（0,5-）.22；2L>0,，抛物线y=2-mx+%-不经过A、B点.2233抛物线 y=2+n士12与 y 轴交于（0, -m2）, -m2<0,443抛物线y=2+m-jn?经过A、B两点.（2）同解法一中的（2）.三、课后巩固（30分钟训练）1.二次函数的二次项系数为2,它与X轴交点的横坐标分别为1和4,则二次函.数的解析式是A.y=2(-4)(x+2)B.y=2(x+4)(-1)C.y=2(-4)(-l)D.y=2(x-4)(x+l)解析：由二次函数两点式y=a(xxi)(xX2)，a=2,x=l,X2=4即得.答案：C2.已知抛物线的顶点到X轴的距离为3,且与X轴两交点的横坐标为4、2,则该抛物线的关系式为.解析：已知两个特殊点及一个关系,可用y=a(xXD(XX2)或一般式求其解析式.Y抛物线与X轴交于(4,0),(2,0),/.设y=a(x4)(x2)=a(x26x+8)=ax26ax+8a.顶点到X轴距离为3,即顶点纵坐标为3或一3,32/-36/4a二3或32。2一36。24a解得a=-3或a=3.y=-3x2+18x24或y=3x2-18x+24.答案：y=-32+18-24或y=3218x+24留意：顶点到X轴距离分顶点在X轴上方和下方两种状况.3 .求下列二次函数与X轴的交点：(1) y=2+4-5;(2)y=-x2+x+2;(3)y=x2-3x;(4)y=2-6x+10.解析：令y=0,求解关于X的一元二次方程.答案：(1)(1,-5);(2)(-1,2);(3)(0,3);(4)不存在.留意：顶点到X轴距离分顶点在X轴上方和下方两种状况.4 .已知二次函数的图象经过点A(1,0)和B(2,1),且与y轴交点的纵坐标为m.(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与X轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围.解：(1)设该二次函数的解析式为y=ax)x+c,把点A(l,0)B(2,l)和c=m代入解析式中,n+a2,c=tn,得“+=0,解得"b3"+1,24a+2b+m=1,c=m,所以，解析式为Y=加;1x2-3"+lx+m(mr1).(2)二次函数与X轴有两个相异的交点，即C3/n+lrm+1=b2-4ac=()2-4m()>0,22解得m1.又mr1,得m±l.5.如图2622,抛物线y=(x+l)2-2,（I）设此抛物线与X轴交点为A、B（A在B的左边），请你利用图象求出A、B两点的坐标;（2）有一条直线y=-l,试利用图象法求出该直线与抛物线的交点坐标;（3）P是抛物线上的一个动点，问是否存在一点P,使S"bp=2?若存在,则有几个这样的点P?并写出它们的坐标.解析：（1）读图易得；（2）画图精确度要高一点；（3）设P点坐标为（a,b）,则AABP中AB边上的高为b,而IbI=I,代入抛物线解析式可求得P点坐标.解：A(-3,0),B(1,0).（2）交点坐标为（1,0）和（一（3）设P点坐标为（a,b）,则aABP中，AB边上的高为Ibl,又Szsabp=2,从而得Ibl=I.把b=l,b=-l分别代入抛物线解析式可求得P点坐标分别为P(-6-,1)JP(6-l,l)iP(-2-1,-1)JP(2-1,-1).6.已知抛物线y=22和直线y=ax+5.（1）求证：抛物线与直线确定有两个不同的交点;（2）设A（x,山）、B（X2,y2）是抛物线与直线的两个交点，点P是线段AB的中点,且点P的横坐标为正士，试用含a的代数式表示点P的纵坐标;2(3)设A,B两点的距离d=l+a x4.6, X2-0.65,，抛物线与X轴交点坐标为(4.6, 0), (-0.65, 0). x4.6, X2-0.65.(3)不等式 x2-4x-3>0 的解为 x<-0.65 或 x>4.6:-IXi-X2I,试用含a的代数式表示d.解：(1)将y=ax+5代入y=22,消去y得22-ax5=0,/=(-a)2-4×2×(-5)=a2+40>0,，方程有两个不相等的实数根.，不论a取何值，抛物线与直线确定有两个不同的交点.(2) Vx>*2是方程2乂2乂-5二0的两个根,，乂1+乂2=巴凶*2=-*.22一2,”Lyl+%0r1+5+axy+5aaaa2点P的纵坐标为r-=(xi÷X2)+5=1-5=1-5.222224(3) VX+X2=,X1X2=22.*.IX|-X2I=7(X1-X2)2=J(Xl+工2)2-4演02=+.d=y+a2"=a4+41tz2+40.227 .画出函数y=2-4-3的图象，依据图象回答下列问题：(1)图象与X轴交点的坐标是什么？(2)方程x2-4x-3=0的解是什么.？(3)不等式x?4x3>0,x?-4x3VO的解是什么？解：图象如图所示.不等式x2-4x-3<0的解为-0.65vx<4.6.8 .某医药探讨所进行某一新药研发，经过大量的服用试验知：成年人按规定剂量服用后，每毫升血液中药物含量y微克(1微克=103毫克)，随时间X小时的变更规律与某一个二次函数y=a2+bx+c(a和湘吻合，并测得服用时每毫升血液中药物含量为。微克，服用2小时后每毫升血液中药物含量为6微克；服用3小时后，每毫升血液中药物含量为7.5微克.(1)试求出y与X的函数关系，并画出0x8内的图象.(2)求服用后几小时，才能使每毫升血液中药物含量最大？并求出血液中的最大药物含量.(3)结合图象说明一次服药后的有效时间是多少？(有效时间是血液中药物含量不为0的总时间)解：(1)由题意得,函数图象经过(0,0),(2,6),(3,7.5),将它们代入y=a2+bx+c,1Ci,C=0,2得，4。+2b+c=6,解之,得,8=4,所以y=x?+4x.9a+3b+c=7.5.C=O(2)y=-x2+4x=>y=-y(-4)2+8,所以x=4时，y½=8.(3)当y=0时,X1=8,X2=O(舍去).答案：(1)y=-i2+4;(2)服药4小时后含药量最大，此时最大含药量为每毫升血液中8微克；(3)8小时.9.已知二次函数y=2+p+q(p,q为常数，A=P2-4qX)的图象与X轴相交于A(x,0),B(x2,O)两点，且A,B两点间的距离为d,例如，通过探讨其中一个函数y=25+6及图象(如图2623),可得出表中第2行的相关数据.图26-2-3y=x2+px+qPqXX2dy=x2-5x+6-56123121y=x”X£2j_4j_2y=x2+-2-2-23(1)在表内的空格中填上正确的数；(2)依据上述表内d与的值,猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数,验证你的猜想；(3)对于函数y=x2+px+q(p,q为常数，A=P4q>0)证明你的猜想.解：其次行q=0,x=0;4二；第三行p=l,a=9,X2=l;(2)猜想：d2=.例如：y=2-x2中,p=-l,q=2,A=9;由x2-2=0得XI=2,X2=1,d=3,d2=9,d2=.证.明:令y=0,得x?+px+q=。，V>0,设x2+px+q=O的两根为x,X2.则x+X2=-p,xX2=qd2=(IXiX2I)2=(xI-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-p)2-4q=p24q=.10.已知m,n是方程2-6x+5=0的两个实数根，且m<n,抛物线y=-x?+bx+c的图象经过点A(m,0)>B(0,n).(1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中抛物线与X轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C、D.的坐标hcb和ABCD的面积；(注：抛物线y=a2+bx+c(aW0)的顶点坐标为(,一)2a4。(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH±x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把APCH分成面积之比为23的两部分，请求出P点的坐标.图26-2-4解：(1)解方程2-6x+5=0,得x=5,X2=l.由m<n,m=l,n=5,所以点A、B的坐标分别为A(1,0),B(0,5).将A(1,0),B(0,5)的坐标分别代入y=-x?+bx+c,l+b+c=O,b=-4,得解这个方程组得1c=5,c=5,所以，抛物线的解析式为y=-2-4x+5.(2)y=-2-4x+5,令y=0,得一2-4x+5=0,解这个方程得x=-5,X2=l,所以C点的坐标为(-5,0).由顶点坐标公式计算得点D(-2,9).127过D作X轴的垂线交X轴于M.则Sdmc=-×9×(5-2)=-,221 I25S梯形MDBO=×2×(9+5)=14,SABOC=×5×5=»2 22由.2725所以,SBCD=SWtfJMDB+SDMC-SBOC=14+=15.22(3)设P点的坐标为(a,0),因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5.那么,PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5),PH与抛物线y=-2-4x+5的交点坐标为H(a,-a2-4a+5).3 3,由题意，得EH=-EP,KP(-a2-4a+5)-(a+5)=-(a+5).223解这个方程，得a=一巳或a=-5(舍去).22 2EH=-EP,BP(-a2-4a+5)一(a+5)=-(a+5),3 3222解这个方程,得a=一或a=-5(舍去)，P点的坐标为(一一,0)或(一一,0).333