21二次根式知识点+典型例题+习题.docx

21.1二次根式学问点1.二次根式的相关概念：像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。因此，一般地,我们把形如几(a20)的式子叫做二次根式,“了”称为二次根号。二次根式右的特点:(1)在形式上含有二次根号J,表示a的算术平方根。(2)被开方数即必需是非负数。(3)a可以是数，也可以是式。(4)既可表示开方运算，也可表示运算的结果。2.二次根式中字母的取值范围的基本依据：(1)被开方数不小于零。(2)分母中有字母时，要保证分母不为零。3.二次根式的相关等式：4a =(a0)= 14 =Vaa 0)-a(a < 0)相关例题1 .二次根式的概念例题下歹U各式中后,病,J从一1,Ja)+12,J/+20,J-144,二次根式的个数是O考点：二次根式的概念.分析：二次根式的被开方数应为非负数，找到根号内为非负数的根式即可.解答：解：3a,从T有可能是负数，-144是负数不能作为二次根式的被开方数，所以二次根式的个数是3个。点评：本题考查二次根式的概念，留意利用一个数的平方确定是非负数这个学问点.变式一:下列各式中，布，Jy+z,aJa2+3,72+6x+9庐i确定是二次根式的有（）个。解：被开方数a有可能是负数，不愿定是二次根式；被开方数y+z有可能是负数，不愿定是二次根式；被开方数/确定是非负数，所以确定是二次根式；被开方数/+3确定是正数，所以确定是二次根式；被开方数/+6x+9=（x+3）2确定是非负数，所以确定是二次根式；被开方数/1有可能是负数，不愿定是二次根式；确定是二次根式的有3个，故选C.点评：用到的学问点为：二次根式的被开方数为非负数；一个数的偶次幕确定是非负数，加上一个正数后确定是正数.2 .二次根式中字母的取值范围的基本依据例题二：函数尸中自变量X的取值范围是.x-3考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件.分析：依据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0,分母不等于0,列不等式即可求解.解答：解：依题意，得x-3>0,解得x>3.点评：本题考查的是函数自变量取值范围的求法.函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数.变式二：若式子31有意义，则X的取值范围是.X考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件.分析：依据二次根式及分式有意义的条件解答即可.解答：解：依据二次根式的性质可知：X+1O,即x2-l,又因为分式的分母不能为0,所以X的取值范围是x-1且x0.点评：此题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子6(a>0)叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必需是非负数，否则二次根式无意义；当分母中含字母时，还要考虑分母不等于零.3.二次根式的相关等式例题三：对随意实数a,则下列等式确定成立的是()A.ya=aB.=aC.=±aD.V-=考点：二次根式的性质与化简.专题：计算题.分析：依据二次根式的化简、算术平方根等概念分别推断.解答：解：A、a为负数时，没有意义，故本选项错误；B、a为正数时不成立，故本选项错误；C、7=故本选项错误.D、故本选项正确.故选D.点评：本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等学问点是解答问题的关键.练习题1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：立、不、L、y(x>0).X02、当X是多少时，J3x-1在实数范围内有意义?3、当X是多少时，2工+3+一在实数范围内有意义?x+14、下列式子中，是二次根式的是()A.-7B.7C.xD.X5 .下列式子中，不是二次根式的是()A.4B.16C.氓D.-X6 .已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是()A.5B.5C.；D.以上皆不对7 .形如的式子叫做二次根式.8 .面积为a的正方形的边长为.9 .负数平方根.10、计算1.(T)2(x20)2.(7?)23.(a2+2+l)24. (4x2-12x+9)2课后作业1 .某工厂要制作一批体积为h的产品包装盒，其高为0.2m,按设计须要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2 .当X是多少时，也巨3+2在实数范围内有意义？3 .若y/3X+JX-3有意义，则y/x=.4 .使式子J-(X-5)2有意义的未知数X有()个.A.OB.1C.2D.多数5 .已知a、b为实数，且+2JlO-2=b+4,求a、b的值.6、计算(I)(豆)2(2)-(G)2(3)(-6)2(4)(-3J-)22V3(5)(2有+3)(2有-3)练习题与课后作业答案练习题1、解：二次根式有：应、x(x>0)、邪、-丘、Jx+y(x20,y0);不是二次根式的有：出、6、一.Xx+y2、解：由3x-120,得：x-,当时，。3-1在实数范围内有意义.33f2x+303、解：依题意，得x+l03由得：X，一2由得：x-l31当X2一一且XW-I时，2x+3+在实数范围内有意义.2x+14.A5.D6.B7.4a(a>0)8.a9.没有10、解：(1)因为x20,所以x+l>0(x+l)2=x+l(2) Va2O,(必)2=a2(3) Va2+2a+l=(a+l)又T(a+l)2o,a2+2a+l0,a2+26f÷l=a2+2a+l(4) V4×2-12x+9=(2×)2-22×3+32=(2x-3)2又；(2x-3)2.4×2-12×+9>0,(4x2-12x+9)2=4x2-12×+9作业题1.设底面边长为X,则022=,解答：=5.2.依题意得：V2x+30x0x-22 x03，当x>-且×0时,2J2" + ? +2在实数范围内没有意义. X4. B5. a=5, b=-46、. (1) (9 ) 2=9(2) - (3)2=-3(3) (- 6 ) 2：2;=×6=- F J),22=9 ×-=6(5)-6321.2二次根式的乘除法学问点1 .二次根式的乘法4a4b=yab（a01b0）yfab=4a4b(a0,bo)2 .二次根式的除法有两种常用方法:（1）利用公式：奈=Q*（aO,b>0）夫=亲00"）（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。3 .化简二次根式的步骤：（1）将被开方数尽可能分解成几个平方数。（2）应用而+6.扬（3）将平方式（或平方数）应用叱=（0）把这个因式（或因数）开出来,将二次根式化简。相关例题二次根式的乘法及其化简(1) 5×7(2)J；X囱(3)9×7(4)Jgx卡分析：干脆利用G4b=4ab(a20,b20)计算即可.解：(1)5×7=35(2) CX回炉=G(3) 9×27=9×27=92×3=9×76=×6=3变式四化简(1) 9×16(2)16×81(3)81×100(4)9x2y2(5)54分析：利用疯=J-4b(a20,b20)干脆化简即可.解：(1)9×16=9×i=3×4=12(2) 16×81=T16×8?=4X9=36(3) 81×100=8l×7100=9×10=90(4) /92y2;后XJX'V=律XEX=3xy(5) 54=96=7×6=36二次函数的除法及其化简例题五计算：(1)平3分析：上面4小题利用*=J(a>0,b>0)便可干脆得出答案.×2y3>8 =2 2变式五化简:分析：干脆利用祗=常(a0,b>0)就可以达到化简之目的.解:A.-5B.-C.2D.也7772.阅读下列运算过程：1332262正3-3×3-3'5×553.分母有理化:= 324.已知x=3,y=4,z=5,那么正÷历的最终结果是已知后|=，且X为偶数，求（1+x）4的值.6.视察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:1_lx(-l)-1>+(2+l)(2-l)2-11ix(7?-应)石-血万万3÷>(3+2)(3-2)3-2同理可得：-=J-7=4-3,4+3从计算结果中找出规律，并利用这规律计算2+l+3+2+4+3+20()2+2001)(2002 +1)的值.3. (1)%2)斗3)芈=叵£66252 小24.15T5.分析:式子=苧只有a>0, b>0时才能成立.答案1.A2.C因此得到9-x20且x-6>0,即6<xW9,又因为X为偶数，所以x=8.解：由题意得，x9x>69-x0,即x-6>06<×9x为偶数.,.x=8；原式=(l+x)/(x-4)(x-l) (x+l)(x-l)=(1+x)舄=(l+×)，_=J(1+X)(X-4)U+1)，当x=8时，原式的值=J4x9=6.6.分析,由题意可知，本题所给的是一-组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的.解:原式=(2-l+3-2+4-3+2002-2001)X(2002+1)=(2002-1)(2OO2+1)=2023-1=2023课后作业1 .化简也4+2y2=(0)2 .aJ-竽化简二次根式号后的结果是.,9-X>/9X乂««皿生/、2-5x+4,什3 .已知-=-J=,且X为偶数，求(l+x)qj的值.4 .有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1,现用直径为3JI5cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？5 .计算6.已知a为实数，化简:阅读下面的解答过程，请推断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程:解:7.若x、y为实数，且y=7x2-4 + 54-x2 ÷1x+2,求 JX+yJ-y 的值.答案 1. ×yx + y2 2. -a 13.分析：式子只有a20, b>0时才能成立.因此得到9-x20且x-6>0,即6<xW9,又因为X为偶数，所以x=8.解：由题意得9-x0 x-6>0,x<9x>6.,.6<x9Vx为偶数x=8，原式=(l+×)卜-4)(D V(x+l)(x-l)=(1+x)后=(l+×)l-=J(I+x)(-4)÷DV当x=8时，原式的值=J4x9=6.4.设：矩形房梁的宽为X(Cm),则长为JXCm,依题意,得：(石x)2+x2三(3L5)2,3/4x2=9×15,X=Viy(cm),23Xx=yf3X2=-3(cm2).45（1）原式=方唇÷唇噜居片n n - n '厂 =-×->Jn =- w tn m m原式=-23(n+n)(w-) cr CrXX=-22a m + n in-n=-5/6 a6.不正确，正确解答:-3>01,所以a<0,>0 a原式=y-aa2 -a =-a÷4c =(l-a) yci7.学问点Al? 4 01x-4=0, ,x= ±2, B Vx+20, ×=2, y=-4-x20421. 3二次根式的加减法1 .同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，假如被开方数相同，这 几个二次根式就叫做同类二次根式。2 .二次根式加减运算的步骤：（一化，二找，三合并）(1)将每个二次根式化为最简二次根式。(2)找出其中的同类二次根式。（3）合并同类二次根式。3.二次根式的混合运算：原来学习的运算律(结合律、交换律、支配律)照旧适用。相关例题同类二次根式例题七计算(1) 8+18(2)lKr+64x分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;次根式进行合并.解：(1)y/S+yS=25/2+3y2,=(2+3)5/2=5y/2,(2) Jl6x+64x=4+8=(4+8)=12变式七己知42+y2-4-6y+10=0,求(IX屈)一(2分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式,其次步，将相同的最简二:-5Xjl)的值.得(2×-l)2+(y-3)2=0,即X=-,y=3.其次，依据二次根式的加减运算,类二次根式，最终代入求值.解：,/4x2+y2-4x-6y+10=0V4x2-4×+l+y2-6y+9=0/.(2x-l)2+(y-3)2=0.1Q.X=,y=32原岭届哈嗯+5x祗=2×yx+Jxy-×yx+5Jxy=Xyfx+6yxy先把各项化成最简二次根式，再合并同当X=L,y=3时，2原式4X专+3娓留意(1)不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；(2)相同的最简二次根式进行合并.二次根式的加减计算：例题八(1)(6+8)×3(2)(46-32)÷22分析：刚才已经分析，二次根式照旧满足整式的运算规律，所以干脆可用整式的运算规律.解：(1)(yfb+>S)X3=y/6×y/3+8×>3=18+24=32+26解：(46-3)÷2=46÷2-32÷22h一变式八已知二=2-二上，其中a、b是实数，且a+bWO,ab化简户邛+乒邛，并求值.x+1+xx+l-x(Jx+ 1 >x(Jx+ ÷ >x)2解：原式=分析：由于(Jm+J7)(而T-J7)=,因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到X的值，代入化简得结果即可.(JX+x)(>x÷1>x)(JX+1yxyx+1+(JIX+-(Jx+1+,x)(x+l)-x(x+l)-x+=(×÷1)÷x-2<x+1)÷x÷2(+1)=4x+2x-bx-aVa=2b.*.b(x-b)=2ab-a(-a).b-b2=2ab-ax+a2/.(a+b)x=a2+2ab+Z?2:(a+b)×=(a+b)2Va+bO×=a+b，原式=4x+2=4(a+b)+2二次根式的混合运算例题九下列运算正确的是（）A.25=±5B.43-27=1C.18÷2=9考点：二次根式的混合运算。专题：计算题。分析：依据二次根式运算的法则，分别计算得出各答案的值，即可得出正确答案.解答：解：A.4=5,故此选项错误；B.46一场=4石一36=Q,故此选项错误;c.JiW÷J=百=3,故此选项错误;D.,.24-2=6,故此选项正确.故选：D.点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，娴熟化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简洁的干脆让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵敏对待，变式九计算：18-A+1-2+Jiy考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数累.分析：（1）各项化为最简根式、去确定值号、去括号，然后进行四则混合运算即可;解答：（1） I8-解：原式=3后-后+收-1+2=3贬+1点评：本题主要考察二次根式的混合运算，分式的混合运算，负整数指数累，解题的关键在于首先对各项进行化简，然后在进行运算练习题1 .下列根式中，与6是同类二次根式的是（）A.24B.12CjlD.M2 .下面说法正确的是（）A.被开方数相同的二次根式确定是同类二次根式B.m与可是同类二次根式C 与不是同类二次根式D.同类二次根式是根指数为2的根式3 .一个三角形的三边长分别为疯加,i五肛M。九，则它的周长是cm。4 .已知X=G+J,y=6J,则X3y+xy3=5 .计算：(2). 48-54÷2+(3-.212+31J-J-48(3). (7 + 43)(7-43)-(35-l)2(4). (l÷2)2(l÷3)2(l-)2(l-3)2答案I,B2.A3.(52+23);4.10；5.(l).23,(2).43-6+2,(3).-45+65,(4).4；课后作业4 .下列根式中，是最简二次根式的是()A.55B.12-12Z?C.yx2-y2D.5?25 .若IYXY2,则，4一4x+f+J+2冗+1化简的结果是()A. 2x-lB. 2x ÷ 1C. 3D. -36 .若病+2J| +工/| = 10,则X的值等于()A. 4 B. ±2 C. 2 D. ±47 .若6的整数部分为X,小数部分为y,则Jir-y的值是()A. 33-3 B. 3 C. 1 D. 317.计算及化简：(I). U÷-L-U-Lf (2).爷与尸 J Iya J4-Z? -Z?(3)工6 - 3点 丫& +布Xyfy+ y4 y4-yy(4).a + 2ycib ÷ b 8&a-bab b-tJab) b + Jab18.-左Hy/3÷y2,>J3yf2,5.xy的/古已知：X=-J=-j=,y=»=尸，求-3，的值0y3-y23+2x4y+2x3y2+x2/答案LC2.C3.C4.C5.（1）.4,（2）.2,（3）.二上»,（4）.1；y-6. 5；二次根式单元练习题一、选择题1 .使，3X有意义的X的取值范围是（）x-l2 .一个自然数的算术平方根为(>0),则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为()（八）a-,a+(B)T,+T(C)2-l,a2+l(D)a2-i,a2+3 .若x<0,则一X等于()（八）0(B)-2x(C)2x(D)0或2克4 .若"0力>(),则口化简得()（八）-ay-ab(B)-a4cib(C)a>J-ab(D)a>Iab5 .若5J-则匕区的结果为()yy（八）W2+2(B)m2-2(C)w+2(D)w-26 .已知a,b是实数，且Ja?-2ab+/=b-a,则。与b的大小关系是()（八）a<b(B)a>b(C)ab(D)ab7 .已知下列命题： J(3-r) 13 - , = 6 ；J(2一可二2一6；/+(-3)2=(a+3)(-3);L2+F=+Z?.其中正确的有()（八）。个(B)1个(C)2个(D)3个8.若 4.化成最简二次根式后的被开方数相同，则加的值为9 .当g时，化简Jl一4+4/+2a-1|等于(A) 2(B) 2-4«(C) a(D) O10 .化简4x+1(J2x3得(A) 2(B) -4x + 4(C) -2(D) 4x-4二、填空题11 .若2x+l的平方根是±5,则4x+l=.12 .当X时，式子半科有意义.W-413 .已知：最简二次根式J4+6与飞始的被开方数相同,则+b=14 .若X是m的整数部分，y是*的小数部分，则X=,y=.15 .已知05面=6+7,且()<x<y,则满足上式的整数对(y)有,16.若T<x<l,则历7+k+h17.18.若Oc<1,则等于.三、解答题19.计算下列各题：（I） 15若孙工O,且x3y2=-xy«成立的条件是,（2）g,27。3_.2F+3噜TJl08.20 .已知=（2+正广（正一2户一2（6+2）°+J（-2p,求/+4。的值.Jr2-Q+Jg-x2-221 .已知x,y是实数，且y="x/X±,求5x+6y的值.x+322 .若2x-y-4与（x-2y+l）2互为相反数，求代数式7的值23 .若a、b、S满足3&+5扬=7,S=26-3扬，求S的最大值和最小值.参考答案与试题解析一、选择题（共9小题）解：A、23=6,计算正确；B、2÷3不能合并，原题计算错误;C、V12÷V3=V4=2,计算正确；D、8=22,计算正确故选：B.2. 解：若腰长为2«,则有2乂2匾5«,故此状况不合题意，舍去;若腰长为5«,则三角形的周长=2x5扬2m=10扬2丘.故选:B.3. 解：,.'x+y=-2a,xy=a(al),x,y均为负数，朋2朋=-Vxy-VxyyX=_(x+y)_7xyy_(-2a)也a=2a故选：D.解：:ab>O,a+b<O,/.a<0,b<0故选：B.5解：135=315*450=152,I8O=65,可得：k=3>m=2,n=5,则mVkVn.故选D6. 解：原式=2+1=3.故选C点评：此题考查了二次根式的乘除法，以及零指数哥，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键.7. 解：A、不是同类二次根式，不能合并，故错误；B、D、开平方是错误的；C、符合合并同类二次根式的法则，正确.故选C.8. 解：2-9=2-3=-1.故选B.“解：原式二也7-12&+2a2=2(a2-a+9)+9=72(a-3)2+9.当(a-3)2=0,即a=3时代数式也7.12a+2&2的值最小,为«即3故选B.二、填空题10.解：由题意得，2-0且xw,解得x2且x0.故答案为：X42且r.点评：本题考查的学问点为：分式有意义，分母不为0;二次根式的被开方数是非负数.II.解：=W,2=3-2>X!2+X22=(X1+X2)2-2X1X2=(3÷2÷3-2)2-2(3+2)(3-2)=12-2=10.故答案为：10.12. 解：a+b+c=2+23+3+2÷l+22=3(小扬1)，a2+b2+c2=9(3+2+1)，a11÷bn+cn=3n(>/3+/2+1),二嗡署2014X(3-2+l).an+bn+Cn2023×(3-V2+l)<V3+V2)=2023(«+扬1)，.3n2023,则36<2023<37,n最小整数是7.故答案为：713. 解：由题意得2-9=0,解得x=±3,二.y=4,.x-y=-1或-7.故答案为-1或-7.三、解答题14解：原式=4-6×1-l+2-2+32=4-3-l+3=315.解：原式=54+45=0.16.解：原式=1 - 3+4亚- 21 2=1 -33+23-2+3,17. 解：原式=（遂）21+2次-3=2遥-1.18.解：原式二当X=1时，x+l>0,2可知J (x+l) 2=x+l,故原2X (x；i) " (U_ 1 - 144x 4× 2 2及解心编验证:4×52×6A-)TJ叫或P(士-3)nn+1n+211+ly(n+l)2-1Ynn+1n+2n+ly11(n+2)IlM=I1In+1二In+1Vnn+1n+2yn(n+1)(n+2)yn(11+1)2(11+2)n+V11(n+2)解：原式=(a+l)(a-1)a(a-2)1a-2_a+l-a+1a-1_2fa-1当小历+1时,原式=多=5历2点评：此题考查分式的化简与求值，主要的学问点是因式分解、通分、约分等.