《极大无关组求法》PPT课件.ppt

方法1 线性相关法,若非零向量组A：1,2,n线性无关，则A的极大无关组就是1,2,n,若非零向量组A线性相关，则A中必有极大无关组,方法2 逐个判别法,给定一个非零向量组A：1,2,n,1 设1 0，则1线性相关，保留1,2 加入2，若2与 1线性相关，去掉2；若2与 1线性无关，保留1，2；,3 依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的极大无关组,求A的极大无关组,解：因为a1非零，故保留a1,取a2，因为a1与a2线性无关，故保留a1，a2,取a3，易得a3=2a1+a2线性无关，故线性相关。,所以极大无关组为a1，a2,初等行变换保持了列向量间的线性无关性和线性表出性,方法3 初等变换法,可以证明，若对矩阵A仅施以初等行变换得矩阵B,则B的列向量组与A的列向量组间有相同的线性关系。（行变换对列没有影响）,即初等行变换保持了列向量间的线性无关性和线性表出性。,同理,也可以用向量组中各向量为行向量组成矩阵,通过做初等列变换来求向量组的极大无关组。,(1)以向量组中各向量为列向量构成矩阵A;(2)对A做初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵,则可求出r(A)=r(向量组的秩为r，说明向量组中线性无关的向量最多有r个，任何r+1个线性相关).(3)在A中找出r个线性无关的向量即是所求向量组的极大无关组，这一步需将行阶梯型化为行最简形。,由此提供了求向量组的极大无关组的方法：,例 求向量组1=(2,1,3,-1)T,2=(3,-1,2,0)T,3=(1,3,4,-2)T,4=(4,-3,1,1)T,的秩和一个极大无关组,并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表示。,解 以1,2,3,4为列构造矩阵A,并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩：,知r(A)=2,故向量组的极大无关组含2个向量而两个非零行的非零首元分别在第1,2列,故1,2为向量组的一个极大无关组,事实上，,知r(1,2)=2,故1,2 线性无关,求极大无关组方法,找阶梯型矩阵非零行的非零首元所在的列,为把3,4用1,2线性表示,把A变成行最简形矩阵,记矩阵B=(1,2,3,4),因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性，因此向量1,2,3,4与向量1,2,3,4之间有相同的线性关系。,因此3=21-2,4=-1+22,将A化为一个行最简形矩阵B,是因为较容易看出B 的列向量组各向量之间的线性关系,