《材料力学能量法》PPT课件.ppt

材料力学,中南大学土木建筑学院,1,一、外力功与应变能,1、外力功W,载荷在其作用点位移上所作的功。,(1)常力作功,弹性固体的应变能,材料力学,中南大学土木建筑学院,2,对于一般弹性体,FD图下方面积,(2)静载作功,静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性体上的载荷，静载作功属于变力作功。,材料力学,中南大学土木建筑学院,3,对于线弹性体,2、应变能Ve,弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。,由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能Ve在数值上等于外力所作的功W。（忽略能量损失）,即 Ve=W,F为广义力，D为与力对应的广义位移。,材料力学,中南大学土木建筑学院,4,二、线弹性体的应变能,1、轴向拉压,FN为变量时,材料力学,中南大学土木建筑学院,5,2、扭 转,T为变量时,材料力学,中南大学土木建筑学院,6,3、平面弯曲,横力弯曲时忽略剪力对应变能的影响，如矩形截面，当l/b=10时，剪力的应变能只占弯矩应变能的3。,纯弯曲,横力弯曲M(x)为变量,材料力学,中南大学土木建筑学院,7,应变能Ve是内力（FN、T、M）的二次函数，应变能一般不符合叠加原理。但若几种载荷只在本身的变形上作功，而在其它载荷引起的变形上不作功，则应变能可以叠加。,材料力学,中南大学土木建筑学院,8,一、能量法 利用能量原理解决力学问题的方法。可用来求解变形、静不定、动载荷、稳定等问题。,第十章 能量法,10.1 概 述,二、外力功与应变能,1、外力功W,载荷在其作用点位移上所作的功，属于变力作功。,材料力学,中南大学土木建筑学院,9,弹性体因载荷引起的变形而储存的能量。,2、应变能,三、功能原理,条 件：（1）弹性体（线弹性、非线弹性）（2）静载荷 可忽略弹性体变形过程中的 能量损失。原 理：外力功全部转化成弹性体的应变能。Ve=W,材料力学,中南大学土木建筑学院,10,解：建立坐标系,求外力功W 和应变能Ve,列弯矩方程 M=Fx（0 x l）,仅仅只能求力作用点与力相对应的位移，其它位移的求解有待进一步研究功能原理。,材料力学,中南大学土木建筑学院,11,解：A点的位移等于杆的变形Dl3。,由功能原理有（1）,由平衡方程和对称条件有（2）,（3）,（2）、（3）代入（1）得,变形几何方程,（1）考虑物理方程得,（2）、（3）代入上式并化简得得,几何方程和物理方程的联立,材料力学,中南大学土木建筑学院,12,Fi 为集中力，Di为该力作用点沿力方向的线位移；Fi为力偶，则Di为该力偶作用面内沿力偶转向的角位移（转角）。,Di 简称为与力Fi(相)对应的位移。,10.2 互等定理,Fi 广义力（集中力，力偶）Di 广义位移（线位移，角位移）,一、外力功的计算,材料力学,中南大学土木建筑学院,13,对于一般弹性体,FD 图下方面积,静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性体上的载荷，静载作功属于变力作功。,外力功属于静载作功。,对于线弹性体,F为广义力，D为广义位移。,材料力学,中南大学土木建筑学院,14,二、外力功与变形能的特点,如果外力功和变形能与加载顺序有关，会出现什么结果？按一种顺序加载，按另一种顺序卸载，能量还能守恒么？反证法！,材料力学,中南大学土木建筑学院,15,先加F1后加F2,先加F2后加F1,不同加载次序外力功均相同，若按比例同时加载，外力同时达到最终值，即比例加载，外力功不变。,材料力学,中南大学土木建筑学院,16,注意：各载荷和位移都是指最终值，所以是常数。,三、克拉贝依隆（Clapeyron)原理,线弹性体上，作用有载荷F1,F2,Fi,Fn与外力方向相应的位移为D1,D2,Di,Dn 由线弹性体的叠加原理，各位移是载荷的线性函数,材料力学,中南大学土木建筑学院,17,设各外载荷有一增量，于是位移亦有一增量。载荷在位移增量上所作的元功为：,dW=F1*dD1*+Fi*dDi*+Fn*dDn*=lF1d(lD1)+lFid(lDi)+lFnd(lDn)=(F1D1+FiDi+FnDn)ldl,外力作的总功为：,材料力学,中南大学土木建筑学院,18,设各外载荷按相同的比例，从零开始缓慢增加到最终值。即任一时刻各载荷的大小为：,注意：带星号上标的载荷和位移都是中间值，所以是变数，随着l的变化而变化。,材料力学,中南大学土木建筑学院,19,线弹性体的外力功或变形能等于每一外力与其对应位移乘积之半的总和。,图示挠曲线为所有力共同作用下的挠曲线，各点位移都不是单个力引起的，是所有力共同作用下的位移。D1既有F1的作用，也有F2，Fi 的作用。所以Clapeyron原理不符合叠加原理。,材料力学,中南大学土木建筑学院,20,材料力学,中南大学土木建筑学院,21,组合变形,整个杆件的应变能为,材料力学,中南大学土木建筑学院,22,Dii和 Dij第一个下标i表示i点的位移，第二个下标i和j分别表示是由i点和j点的力引起的位移，Dji和 Djj亦可以类推得到。,四、功的互等定理(线弹性体),材料力学,中南大学土木建筑学院,23,先加Fi,后加Fj,外力功为,外力功W 与加载顺序无关，改变加载顺序可得到相同的外力功。,材料力学,中南大学土木建筑学院,24,先加Fj,外力功为,后加Fi,先加Fi 后加Fj外力功为,材料力学,中南大学土木建筑学院,25,Clapeyron原理,外力功和变形能不符合叠加原理,材料力学,中南大学土木建筑学院,26,线弹性体上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于乙力在甲力引起的位移上作的功。一般地，第一组力在第二组力引起的相应位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的相应位移上所作的功。,材料力学,中南大学土木建筑学院,27,抗弯刚度为EI的简支梁承受均布载荷q，已知其跨中挠度，如图所示。试用功的互等定理求该梁承受跨中载荷F时，梁挠曲线与原始轴线所围成的面积。,解：设第一组力为F，梁上各点的挠度为w(x)。,挠曲线与原始轴线围成的面积,第二组力q作用时，它在梁跨中引起的挠度为wC。,由功的互等定理,材料力学,中南大学土木建筑学院,28,解：解除C处约束的工件可简化为悬臂梁，F、FC作为第一组力。悬臂梁在C处加单位力1作为第二组力。,第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功为零（C为铰支）。,材料力学,中南大学土木建筑学院,29,解：第一种情况下，A处的约束力为FA1，第二种情况下，A处的约束力为FA。,由功的互等定理有,材料力学,中南大学土木建筑学院,30,若 Fi=Fj=F,则 Di j=Dj i,线弹性体上作用在 j 处的一个力引起 i 处的位移，等于它作用在 i 处引起 j 处的位移。,五、位移互等定理,功的互等定理,解：沿杆件轴线加相同的一对力,下图中,材料力学,中南大学土木建筑学院,31,材料力学,中南大学土木建筑学院,32,位移互等定理 单位力,若 Fi=Fj=1(无量纲)称为单位力,材料力学,中南大学土木建筑学院,33,位移互等定理,注意：(功、位移)互等定理只适用于线弹性小变形体。,作用在j 处的单位力引起 i 处的位移，等于作用在 i 处的单位力引起 j 处的位移。,材料力学,中南大学土木建筑学院,34,材料力学,中南大学土木建筑学院,35,关于互等定理,?=?,材料力学,中南大学土木建筑学院,36,关于互等定理,?=?,功的互等,材料力学,中南大学土木建筑学院,37,讨论,百分表,悬臂梁受力如图示。现用百分表测量 梁在各处的挠度，请设计一实验方案。,移动百分表？固定百分表？,关于互等定理,百分表固定在B处，移动载荷。,材料力学,中南大学土木建筑学院,38,WC,显然 余功 WC=WC(F)余能 VC=VC(F),FD图上方面积,一、余功及余能,10.3 余能定理与卡氏定理,定义与外力功及应变能互补的余功及余能,余功和余能均为广义载荷的函数。,材料力学,中南大学土木建筑学院,39,二、余能定理,设任意弹性体（可以是非线性弹性体，）上作用广义载荷 F1，F2，Fi,对应点的位移为 D1，D2，Di，无刚性位移。,余能 VC=VC(F1，F2 Fi)是载荷的函数。如果只有广义载荷 Fi 有一个增量dFi,余功增量为 dWC=D i dFi,材料力学,中南大学土木建筑学院,40,余能增量为,dWC=dVC,余能（Crotti-Engesser）定理 弹性体（线性和非线性）某载荷作用点处的位移，等于弹性体的余能对该载荷的一阶偏导数。,材料力学,中南大学土木建筑学院,41,i为正，表示位移方向（转向）和力Fi 的方向（转向）一致，反之，则相反。,对线弹性体 Ve=VC,三、卡氏第二定理,意大利工程师 阿尔伯托卡斯提格里安诺(Alberto Castigliano，18471884),材料力学,中南大学土木建筑学院,42,材料力学,中南大学土木建筑学院,43,若只求某点处位移，该点处载荷在求约束力前必须与其它各处载荷用不同的符号区别！,材料力学,中南大学土木建筑学院,44,材料力学,中南大学土木建筑学院,45,对线弹性杆系结构,（对线弹性结构）卡氏定理的应用计算载荷作用点的位移；计算无载荷作用点的位移，此时需在所求点沿 所求方向加一虚力，求导后再令虚力为零；计算两点相对位移，可在此两点分别加一等值 反向共线力，求导后再令其为零；同样可以计算角位移及相对角位移。,材料力学,中南大学土木建筑学院,46,轴线为水平面内四分之一圆周的曲杆如图所示，在自由端B作用竖直载荷F。设EI和GIp已知，试用卡氏定理求截面B在竖直方向的位移。,解：在极坐标系中截面mn上的弯矩和扭矩分别为：,由卡氏定理,材料力学,中南大学土木建筑学院,47,解：(1)求A点挠度,梁的弯矩方程为 M=Fx（0 xl）,材料力学,中南大学土木建筑学院,48,在B处施加与所求挠度方向相同的力F1,弯矩方程为,M1=Fx（0 xl/2）,材料力学,中南大学土木建筑学院,49,说明 结果为正，表明B点位移方向与虚力F1一致,即向下。虚力F1应在弯矩求完偏导以后再令其为零。虚力的符号应与其它力的符号有所区别，否 则会得出错误的结果。,材料力学,中南大学土木建筑学院,50,解：系统变形能,C截面的挠度,材料力学,中南大学土木建筑学院,51,解：求A处挠度时 令A处集中力qa=F，其它不变,M(x)=Fxqx2/2qa2,弯矩对F 求完偏导后，再用qa 代回F,材料力学,中南大学土木建筑学院,52,求A处转角时令 A处集中力偶 qa2=M1,M(x)=qaxqx2/2M1,材料力学,中南大学土木建筑学院,53,用几何法求解需作变形图，借助几何关系求位移。本题求铅直位移，直接用卡氏定理求解较简，若求水平位移用卡氏定理较麻烦，可用莫尔定理求解较方便。,解：由平衡方程求得两杆的轴力分别为,对F求偏导,材料力学,中南大学土木建筑学院,54,解：在截面B处附加力偶矩M并求支座约束力,列外伸梁各段的弯矩方程及其对M的偏导数,AB段,CB段,求截面B的转角 根据卡氏定理，截面B的转角为,材料力学,中南大学土木建筑学院,55,AB段,CB段,材料力学,中南大学土木建筑学院,56,解：求支座约束力，令D点的载荷为F1，这时支座约束力为,F1=,列出刚架各段的弯矩方程及其对F1的偏导数,AC段,CB段,DB段,计算D点挠度,材料力学,中南大学土木建筑学院,57,解：在中间铰B两侧 虚设一对外力偶MB。,各约束力如图,AB段弯矩方程,CB段弯矩方程,材料力学,中南大学土木建筑学院,58,由卡氏第二定理得,结果符号为正，说明相对转角DB的转向与图中虚加外力偶MB的转向一致。,若计算悬臂梁的转角和挠度会更简单。,材料力学,中南大学土木建筑学院,59,解：张开位移,求相对转角q，虚加一对力偶M1。,材料力学,中南大学土木建筑学院,60,材料力学,中南大学土木建筑学院,61,若仅求D1或D2又如何计算？,？,材料力学,中南大学土木建筑学院,62,解：求支座约束力 由图可知，A、D点载荷同为F，为便于区分起见，令A点载荷为F1，D点载荷为F2，这时支座约束力为,列出刚架各段的弯矩方程及其对F1的偏导数。由于是求A点的水平位移，则应该对该位移方向的力F1求偏导数。,材料力学,中南大学土木建筑学院,63,ED段,DC段,CB段,AB段,GA段,计算A点水平位移 注意求完导后，可令F1=F2=F。根据卡氏定理A点水平位移为,材料力学,中南大学土木建筑学院,64,如何消除消除不便之处？,材料力学,中南大学土木建筑学院,65,以弯矩为例，探讨弯矩对某广义力求偏导的含义。,式中M(x)是所有载荷共同作用下的弯矩方程。,线弹性小变形情况下，内力符合叠加原理。,M(x)=M(F1，F2，Fi，Fn)=M1(x)+Mi(x)+Mn(x)其中Mi(x)是Fi 单独作用于结构时引起的弯矩,对线弹性杆系结构,材料力学,中南大学土木建筑学院,66,其中 是Fi=1，即i处单独作用一个单位力时引起的弯矩。,因为Mi(x)是Fi 单独作用于结构时引起的弯矩,于是,简记为,所以,材料力学,中南大学土木建筑学院,67,是所求位移处单独作用一个与位移对应的单位力时引起的弯矩,莫尔积分,若K 处无载荷作用，附加一个载荷FK，附加载荷后的弯矩,即无论所求位移处是否有载荷，只要在原结构单独加一个与所求位移对应的单位力，单位力作用下求得的内力方程便是原所有载荷作用下的内力方程对广义力的偏导数。,材料力学,中南大学土木建筑学院,68,一、虚位移D,约束允许的（满足约束条件）；满足连续条件的；在平衡位置上增加的（不是唯一的）；任意微小位移。,10.4 虚功原理,材料力学,中南大学土木建筑学院,69,（1）可以是与真实位移有关的位移，也可以与真实位移无关；,虚位移,（2）可以是真实位移的增量；,（3）可以是另外一个与之相关系统的真实位移；,材料力学,中南大学土木建筑学院,70,w1(x)可作为集中力作用下的虚位移，w2(x)也可作为分布载荷作用下的虚位移。,总之，虚位移是指有可能发生的无限小位移,它与载荷无必然关系。因此，它不是唯一的。,虚位移过程中，物体原有外力和内力保持不变。,“虚位移”一词，用以区别物体自身原有外力引 起的真实位移。,材料力学,中南大学土木建筑学院,71,式中Di是与Fi对应的虚位移。,二、虚功W,力在虚位移上所作的功。一般计算虚功是在一个平衡力系上给一个虚位移，这时各力作功是常力作功，因此,三、虚变形能Ve*,弹性体在虚位移过程中增加的变形能。其数值等于内力虚功,材料力学,中南大学土木建筑学院,72,四、变形体虚功原理,处于平衡状态的变形体在虚位移中，外力所作的虚功等于弹性体的虚变形能。,材料力学,中南大学土木建筑学院,73,变形体虚功原理,（1）虚功原理与材料性能无关 适用线弹性、非线弹性材料；（2）不要求结构位移与力呈线性关系 也适用位移与力呈非线性的结构。,材料力学,中南大学土木建筑学院,74,以梁为例证明功的互等定理,第二组力引起的变形作为第一组力的虚位移,第一组力引起的变形作为第二组力的虚位移,由虚功原理,材料力学,中南大学土木建筑学院,75,得到功的互等定理。,材料力学,中南大学土木建筑学院,76,10.5 单位载荷法与莫尔积分,一、单位载荷法,1、用途：计算任意点处位移（广义）2、方法：利用虚功原理 第一步 构造一虚力状态：（1）去掉结构全部载荷；（2）在结构所求位移处施加一个对应的 单位力（无量纲）；（3）计算结构只在此单位力作用下各截 面的内力。,材料力学,中南大学土木建筑学院,77,第二步 取结构原载荷作用下的实际位移状态 作为虚力状态的虚位移。,材料力学,中南大学土木建筑学院,78,虚功原理,单位力引起的虚内力；,d(Dl)，dq，dj 真实载荷引起的微段变形；适用：线性、非线性结构。,材料力学,中南大学土木建筑学院,79,对线弹性结构，取微段dx计算,图中 FN，M，T为真实载荷引起的内力,二、莫尔积分（Mohr 1874）,材料力学,中南大学土木建筑学院,80,将真实载荷引起的变形代入上式，得,Mohr定理，式中积分称为Mohr积分。,计算Mohr积分步骤：1、计算原结构在真实载荷作用下的内力 方程 FN，M，T；2、计算原结构只在沿所求位移方向加单 位力(广义)作用下的内力方程,虚功原理,材料力学,中南大学土木建筑学院,81,必须保证：“分段一致，坐标一致，内力正负规定一致”。,计算Mohr积分步骤：3、计算Mohr 积分(遍及全部杆件，刚架略FN，FS)；4、结果为正，位移方向与单位力相同，负则相反。,计算A，B 两点之间的相对位移，在A，B 两点分别加一对共线反向单位力,材料力学,中南大学土木建筑学院,82,3、加单位力并求单位力引起 内力方程,（0j2p）,4、求AB,（沿载荷方向分开）,2、求载荷引起的内力方程,解：1、建立坐标系,材料力学,中南大学土木建筑学院,83,解：画单位载荷图,求内力,求变形,对称结构承受对称外力对称轴处对称位移不等于零。,材料力学,中南大学土木建筑学院,84,求转角，重建坐标系（如图）,对称结构承受对称外力对称轴处反对称位移等于零。,材料力学,中南大学土木建筑学院,85,解：画单位载荷图,求内力,材料力学,中南大学土木建筑学院,86,求变形,材料力学,中南大学土木建筑学院,87,解：1、计算A点的竖直位移,在A点加一竖直方向的单位力，列出各段的弯矩方程,AB段,BC段,用莫尔定理求wA,材料力学,中南大学土木建筑学院,88,AB段,BC段,用莫尔定理求qB,在B截面加一单位力偶，列出各段的弯矩方程,材料力学,中南大学土木建筑学院,89,求杆件在外力作用下内力和单位载荷作用下的内力,材料力学,中南大学土木建筑学院,90,单位载荷法求杆BC的转角,材料力学,中南大学土木建筑学院,91,解：计算任意q 处横截面内的内力,弯矩 Mz=Mesinq，扭矩 T=Mecosq,在A处加向下的单位力计算同一截面的内力,求A的铅直位移,材料力学,中南大学土木建筑学院,92,注意到,代入上式并化简得,所得结果为负，表明A处位移实际向上。,材料力学,中南大学土木建筑学院,93,解：在力F的垂直方向加单位力1,建立坐标，求原载荷和单位载荷引起的弯矩。,将弯矩代入莫尔积分得：,材料力学,中南大学土木建筑学院,94,用静力学平衡方程不能求解出全部未知力（支座约束力和内力）的结构，统称为静不定结构，也称为超静定结构。,在静不定结构中，超过维持静力平衡所必须的约束称为多余约束，多余约束相对应的力称为多余约束力，多余约束的数目称为结构的静不定次数。,静不定结构,材料力学,中南大学土木建筑学院,95,静不定问题分类,分析方法,材料力学,中南大学土木建筑学院,96,材料力学,中南大学土木建筑学院,97,静不定结构,静定结构(几何不变),相当系统,完全等价,求静不定问题只需对其静定的相当系统进行计算！,解除不同的约束可得到不同 的静定基,无任何载荷作用的静定结构,材料力学,中南大学土木建筑学院,98,解除多余约束的方式：（平面问题）,去掉一个可动铰或切断一根链杆（二力杆），相 当于解除一个约束；刚性联接改为铰联接，相当于解除一个约束；去掉一个单铰（圆柱铰或固定铰），相当于解除 两个约束；将刚性联接处切断（或去掉一个固定端），相当 于解除三个约束。,解除约束后的静定基必须是几何不变的静定结构。,材料力学,中南大学土木建筑学院,99,一、卡氏定理求解静不定结构,相当系统,静不定结构,承受载荷F1，F2Fm 的作用,承受原载荷F1，F2Fm和多余约束力FR1，FR2FRn 的作用,应变能是原载荷与多余约束力的函数。,Ve=Ve（F1，Fm,FR1，FRn）,n为静不定次数,10.6 静不定结构的求解,材料力学,中南大学土木建筑学院,100,相当系统和原静不定结构的变形比较，建立变形协调方程,变形比较法,可求解全部未知力，进而可求内力。,欲求静不定结构某点的位移，可在相当系统上求解。,材料力学,中南大学土木建筑学院,101,解：1、求多余未知力,求内力,将内力对FC求偏导,x0.5l,x 0.5l,取相当系统如图,材料力学,中南大学土木建筑学院,102,变形协调方程,2、求B点处的挠度wB,求内力方程,将内力对F 求偏导数,求偏导之后,卡氏定理求静定结构位移处的载荷与其它载荷要区别开,B处加单位力引起的弯矩,材料力学,中南大学土木建筑学院,104,求变形,求原静不定结构的变形是在其相当系统上进行的。,材料力学,中南大学土木建筑学院,105,解：1、选取相当系统，并求 出其它约束力,由平衡方程SMC=0，得,2、列出梁的内力方程,AC段,BC段,材料力学,中南大学土木建筑学院,106,3、计算系统应变能求与多余约束力对应的位移,根据卡氏定理，梁B处的挠度为,4、建立补充方程，求解多余约束力,因此,求出B处支座约束力后，其它支座约束力即可由静力平衡方程求出，梁的内力由截面法确定。若解除C处约束得到相当系统也比较简单方便！,由于B处有支座，梁的挠度应为零,材料力学,中南大学土木建筑学院,107,二、单位载荷法求解静不定结构,相当系统,静不定结构,承受载荷F1，F2Fm 的作用,弯矩是原载荷与多余约束力的函数。,M=M（F1，Fm,FR1，FRn）,n为静不定次数,规定,承受原载荷F1，F2Fm和多余约束力FR1，FR2FRn 的作用,材料力学,中南大学土木建筑学院,108,实际是静定基在解除约束处分别单独作用一个广义单位力时的弯矩。,由于在解除约束处有力作用，单位载荷法实质上与卡氏定理相同，但单位载荷法求某点位移时不需各载荷用不同符号区分开来。,材料力学,中南大学土木建筑学院,109,解：选取相当系统，并求相当系统的内力和静定基加单位力时的内力。,求得,最大弯矩在A截面处,材料力学,中南大学土木建筑学院,110,解：1、选取相当系统，并求相当系统的内力和静定基加单位力时的内力。,CB段：,BA段：,材料力学,中南大学土木建筑学院,111,2、计算多余约束处相应的变形位移,由莫尔定理，得,材料力学,中南大学土木建筑学院,112,3、建立补充方程，确定多余约束力,由位移条件，可知C截面的竖直位移和水平位移都为零，因此，有,求解上列方程组，得,材料力学,中南大学土木建筑学院,113,三、用力法求解静不定结构,解：判定多余约束力的数目（一个）选取并去除多余约束，代 之多余约束力，列出变形 协调方程，见图。,变形协调方程,材料力学,中南大学土木建筑学院,114,用莫尔定理计算D1F 和D1X1,由莫尔定理可得(图a、b、c),求多余约束力,将上述结果代入变形协调方程得,材料力学,中南大学土木建筑学院,115,求其它约束力,由平衡方程可求得A端约束力，其大小和方向见图。,作弯矩图，见图,求梁中点的挠度,选取基本静定系作为计算对象，单位载荷如图。,用莫尔定理可得,材料力学,中南大学土木建筑学院,116,注意：对于同一静不定结构，若选取不同的多余约束，则基本静定系也不同。本题中若选固定端处的转动约束为多余约束，基本静定系是如图所示的简支梁。,材料力学,中南大学土木建筑学院,117,力法正则方程,上例中以未知力为未知量的变形协调方程可改写成下式,变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。,X1多余未知力；d11静定基上，X1=1时引起的1点沿 X1 方向的位移；D1F 静定基上，由原载荷引起的与X1对 应的位移。,材料力学,中南大学土木建筑学院,118,二次静不定,D1 与 X1 对应的位移（1点水平线位移），由X1，X2 和F 共同作用引起。,D2 与 X2 对应的位移（2点竖直线位移），由X1，X2 和F 共同作用引起。,材料力学,中南大学土木建筑学院,119,对线弹性、小变形材料,上述位移均可用能量法计算（如单位载荷法）,D11，D12，D1F 分别为X1，X2 和F单独作用于静 定基上引起的1点水平线位移；,D21，D22，D2F 分别为X1，X2 和F单独作用于静 定基上引起的2点竖直线位移；,材料力学,中南大学土木建筑学院,120,将多余未知力分离出来，记 Di j=di j Xj di j Xj=1引起静定基的i点沿Xi方向 的位移,可用莫尔定理计算。,力法正则方程,材料力学,中南大学土木建筑学院,121,对于静不定次数为 n的结构，正则方程如下：,由位移互等定理知：,d i j 影响系数，表示在静定基上Xj=1时引起的在Xi作用 点沿Xi方向的位移；DiF 自由项，表示在静定基上，由原全部载荷（不包括 多余未知力）引起的在Xi 作用点沿Xi 方向的位移。,叠加法求位移,材料力学,中南大学土木建筑学院,122,解：考虑悬臂梁AB，力法正则方程如下,负号表示此位移与梁上的X1方向相反,材料力学,中南大学土木建筑学院,123,解：考虑折杆ABC及压杆CD，解除C处约束代之以约束力，力法正则方程如下,解得,材料力学,中南大学土木建筑学院,124,解：建立相当系统,以杆CD为多余约束，假设将杆切断(没有去掉杆)，该杆的轴力X1为多余约束力，相当系统如图所示。,列力法正则方程,变形几何条件为杆CD切口两侧截面的相对位移为零。,正则方程为,计算系数,材料力学,中南大学土木建筑学院,125,求杆内力,结果为负，表明杆CD的轴力为压力。,材料力学,中南大学土木建筑学院,126,材料力学,中南大学土木建筑学院,127,解：解除C处约束，代之约束力，得相当系统。,正则方程为,代入正则方程解得,材料力学,中南大学土木建筑学院,128,解：解除C处约束，代之约束力，得相当系统。,正则方程为,代入正则方程解得,材料力学,中南大学土木建筑学院,129,解：刚架有两个多余约束,选取并去除多余约束，代之多 余约束力，得相当系统,建立力法正则方程,用莫尔定理求得,计算系数di j和自由项DiF,材料力学,中南大学土木建筑学院,130,求多余约束力,将上述结果代入力法正则方程可得,材料力学,中南大学土木建筑学院,131,求其它支座约束力,由平衡方程求得其它支座约束力，全部表示于图中。,材料力学,中南大学土木建筑学院,132,四、对称与反对称性质的利用,结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件 均对称于某一轴,载荷对称于对称轴,结构沿对称轴对折，载荷的分布，大小和方向完全相同。,材料力学,中南大学土木建筑学院,133,载荷反对称于对称轴,结构沿对称轴对折，载荷的分布和大小相同，方向相反。,材料力学,中南大学土木建筑学院,134,杆件的内力可分为对称内力和反对称内力,弯矩M和轴力FN是对称内力，剪力FS是反对称内力。,材料力学,中南大学土木建筑学院,135,对称结构在对称载荷作用下，对称轴处的反对称内力为零，结构的内力是对称的，结构的变形也是对称的。,对称结构在反对称载荷作用下，对称轴处的对称内力为零，结构的内力是亦是反对称的，结构的变形也是反对称的。,材料力学,中南大学土木建筑学院,136,材料力学,中南大学土木建筑学院,137,如作用在对称结构上的载荷不是对称的或反对称的，则可把它分解为对称的和反对称的两种载荷的叠加。分别求出对称和反对称两种情况的解后，叠加起来即为原载荷作用时的解。,材料力学,中南大学土木建筑学院,138,解：框架承受反对称载荷，并且有两个对称轴，对称轴处的对称内力为零，反对称内力不为零。并且对称轴处的对称位移为零，反对称位移不为零。,所以：MA=0，FNA=0，FSA=qb,材料力学,中南大学土木建筑学院,139,解：框架有水平和铅直两个对称轴，按两个对称轴来看，承受对称载荷作用，取1/4框架分析。,对称轴G处的转角(反对称位移)应等于零，由卡氏定理得,求得,B处弯矩MB=0，E处弯矩与G处相同。所以，最大弯矩在框架中点。,材料力学,中南大学土木建筑学院,140,另解：框架有水平和铅直两个对称轴，但是，其对角线亦为对称轴，按对角线来看，对称结构承受反对称载荷。对角线处的的对称内力为零，反对称内力不为零。,考虑BC段,由平衡方程可得,并且可以非常容易地求得中点弯矩最大,材料力学,中南大学土木建筑学院,141,解：框架有水平和铅直两个对称轴，按载荷作用线来看，承受对称载荷作用。但是，其对角线亦为对称轴，按对角线来看，对称结构承受反对称载荷。对角线处的的对称内力为零，反对称内力不为零。,考虑AB段,由平衡方程得,发生在载荷作用点,材料力学,中南大学土木建筑学院,142,解：图示刚架有三个多余未知力。但由于结构是对称的，而载荷反对称，故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只有一个多余未知力(剪力)，并且对称轴处只有反对称位移(水平位移)，可简化为如下结构。,对称轴处沿铅直(对称)方向位移为零,列出一个正则方程求解,材料力学,中南大学土木建筑学院,143,则,由平衡方程求得,材料力学,中南大学土木建筑学院,144,解：选取相当系统，列出力法正则方程,确定系数和常数项,材料力学,中南大学土木建筑学院,145,作刚架的弯矩图,求解力法正则方程，得出未知力,材料力学,中南大学土木建筑学院,146,解：圆承受对称载荷，并且有两个对称轴，对称轴处的对称内力为不为零，反对称内力为零。对称轴处的对称位移不为零，反对称位移为零。因此，A、B处的转角均为零，B不能上下移动。,弯矩方程,材料力学,中南大学土木建筑学院,147,按单位载荷法计算相对位移，A处加单位力。,原载荷作用的下弯矩方程,单位载荷作用的下弯矩方程,结果为正，说明两点相对离开,材料力学,中南大学土木建筑学院,148,解：对称结构承受对称载荷作用，在对称轴E处，只有对称的内力即弯矩X1，且在对称轴E处其转角为零，得相当系统如图。,静定基加单位力，建立坐标求弯矩方程,材料力学,中南大学土木建筑学院,149,力法正则方程为,注意到,将系数代入到正则方程得,危险截面为固定端A，内力分量为,按第三强度理论，截面A上危险点的相当应力为,代入数值得 F1636N,材料力学,中南大学土木建筑学院,150,解：对称结构承受对称载荷作用，其变形是对称的。因此对称轴处反对称位移为零(转角和水平位移)，只有对称位移(铅直位移)。并且对称轴处只有对称的内力，即轴力和弯矩。由此原刚架可简化为图示刚架分析。,力法正则方程为,材料力学,中南大学土木建筑学院,151,代入正则方程求得,材料力学,中南大学土木建筑学院,152,本章结束,