《曲面及方程》PPT课件.ppt
第三节 曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,四、二次曲面,五、小结,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面的实例：,一、曲面方程的概念,求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的轨迹方程.,化简得,即,【说明】动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解 设轨迹上的动点为,【定义1】,如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:,(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F(x,y,z)=0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形.,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,以下给出几例常见的曲面.,故所求方程为,【例1】求动点到定点,方程.已知轨迹求方程,特别,当M0在原点时,球面方程为,【解】设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示上(下)半球面.,【例2】研究方程,【解】配方得,此方程表示:,【说明】,如下形式的三元二次方程(A 0),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.已知方程求轨迹,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,一个球面,或点,或虚轨迹.,*【例 3】方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,【解】,用截痕法,以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：,(2)已知坐标间的关系式(即方程)，研究曲面形状 如例2、例3,该种情形重点讨论：旋转曲面,该种情形重点讨论：柱面、二次曲面,(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时，求曲面方程如引例和例1,(必要时需作图).,二、旋转曲面,【定义2】一条平面曲线,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴.,例如,旋转曲面的母线,母线,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,【思考】当曲线 C 绕 y 轴旋转时，所得旋转曲面 方程如何？,【总结】,（2）凡曲面方程中出现两个变量的平方项且系数相等者，一定是旋转曲面.旋转轴是另一个变量对应的坐标轴,（母线为平面曲线）,（1）类似可写出xoy面、zox面上的曲线分别绕其坐标轴旋转,所成的旋转曲面方程.,【例3】试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为,的圆锥面方程.,【解】在yoz面上直线L 的方程为,绕 z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,【结论】,二次齐次式一定是锥面.若同时又有两项系数相等，则必为圆锥面.,【例4】求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,【解】绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,三、柱面,引例 分析方程,表示怎样的曲面.,的坐标也满足方程,【解】在xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆柱面.,故在空间坐标系中,过此点作,对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,【定义3】,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线,l 叫做(直)母线.,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线:xoz 面上的曲线 l3.,母线:,柱面,准线:xoy 面上的曲线 l1.,母线:,准线:yoz 面上的曲线 l2.,母线:,实 例,椭圆柱面，母线/轴,双曲柱面，母线/轴,抛物柱面，母线/轴,【结论】若柱面的母线平行于坐标轴，则该柱面的方程是 x，y，z 的二元方程，且与其准线方程（在形式上）相同.其直母线平行于缺少的变量对应的坐标轴.,四.二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍.,研究二次曲面特性的基本方法:截痕法,其基本类型有:,锥面、椭球面、抛物面、双曲面、柱面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0),1.椭圆锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.,可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.,(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换,得到,见书 P28-29),【特例】当 a=b 时为圆锥面.,2.椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,(3)当 ab 时为旋转椭球面;,当abc 时为球面.,3.抛物面,(1)椭圆抛物面,特别,当 a=b 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,(2)双曲抛物面（马鞍面）,4.双曲面,(1)单叶双曲面,椭圆.,时,截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,双曲线:,时,截痕为,相交直线:,时,截痕为,(实轴平行于z 轴;虚轴平行于x 轴）,双曲线:,(2)双叶双曲面,双曲线,椭圆,【注意】单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,抛物柱面,椭圆柱面,还有以下三种柱面:,双曲柱面,五、小结,内容小结,1.空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如,曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.,2.二次曲面,三元二次方程,椭圆锥面:,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,抛物柱面,椭圆柱面,双曲柱面,柱面:,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于 y 轴的直线,平行于 yoz 面的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴的圆柱面,平行于 z 轴的平面,思考与练习,1.指出下列方程的图形:,2.P31 题3,10,题10 答案:,在 xoy 面上,
