《映射和函数》PPT课件.ppt

第一次危机发生在公元前580568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的，都无法用 来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我们不得不佩服人类的智慧。,数学发展经历的三次危机:,第二次数学危机 发生在十七世纪。由于推敲微积分的理论基础问题，微积分的主要创始人牛顿(莱布尼兹)在一些典型的推导过程中，直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了 极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。,第三次数学危机 发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。“理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。那么理发师该不该给自己理发呢？数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统（即所谓ZF公理系统），这场数学危机到此缓和下来。数学危机给数学发展带来了新的动力。在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。,函数的历史,笛卡尔引入变量,柯西给出了中学课本的定义，首先提出了自变量一词,狄里克雷提出了更为一般的定义，现在高中课本中的定义,欧拉强调函数体现的是一种关系,贝努利强调函数用公式表示,莱布尼兹最早引入函数表示幂，引入坐标,罗巴契夫斯基提出了两个变量之间的值的对应关系,康托的集合论,一、集合,二、函数,1.1 映射与函数,三、函数的几种特性,四、反函数、复合函数和初等函数,1.集合集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体.集合可用大写的字母A,B,C,D 等标识.元素 组成集合的事物称为集合的元素.集合的元素可用小写的字母a,b,c,d 等标识.a是集合M的元素记为aM,读作a属于M.a不是集合M的元素记为aM,读作a不属于M.,一、集合,集合的表示列举法 把集合的全体元素一一列举出来.例如Aa,b,c,d,e,f,g.描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为 Mx|x具有性质P.例如M(x,y)|x,y为实数,x2y21.,几个数集 所有自然数构成的集合记为N,称为自然数集.所有实数构成的集合记为R,称为实数集.所有整数构成的集合记为Z,称为整数集.所有有理数构成的集合记为Q,称为有理集.,子集 如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,记为AB(读作A包含于B).AB若xA,则xB.显然,NZ,ZQ,QR.,2.集合的运算 设A、B是两个集合,则 ABx|xA或xB称为A与B的并集(简称并).ABx|xA且xB称为A与B的交集(简称交).ABx|xA且xB称为A与B的差集(简称差).ACIAx|xA为称A的余集或补集,其中I为全集.,提示:如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.则称集合I为全集或基本集.,直积(笛卡儿乘积)设A、B是任意两个集合,则有序对集合 AB(x,y)|xA且yB称为集合A与集合B的直积.例如,RR(x,y)|xR且yR 即为xOy面上全体点的集合,RR常记作R2.,数集x|axb称为开区间,记为(a,b),即(a,b)=x|axb.,a,b=x|axb闭区间.,a,b)=x|axb半开区间,(a,b=x|axb半开区间.,有限区间,上述区间都是有限区间,其中a和b称为区间的端点,b-a 称为区间的长度.,3.区间和邻域,(-,b=x|xb,(-,+)=x|x|+.,a,+)=x|ax,无限区间,(-,b)=x|xb,(a,+)=x|ax,3.区间和邻域,邻域 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U(a).设0,则称 U(a,)=(a-,a+)=x|x-a|为点a的邻域,其中点a称为邻域的中心,称为邻域的半径.,去心邻域,说明:,记号f和f(x)的区别:前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则,而后者表示与自变量x对应的函数值.,说明:,为了叙述方便,常用记号“f(x),xD”或“yf(x),xD”来表示定义在D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f.,说明:,函数的记号是可以任意选取的,除了用f 外,还可用“g”、“F”、“”等,此时函数就记作yg(x)、yF(x)、y(x)等.但在同一问题中,不同的函数应选用不同的记号.,二、函数,设数集DR,若按照对应法则f，对于每个数xD，变量y都有唯一确定的值和它对应，则称对应法则f为定义在D上的函数,通常简记为yf(x),其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作Df,即DfD.,1.函数概念,定义,构成函数的要素是定义域Df及对应法则f.两个函数的定义域和对应法则都相同,则这两个函数就是相同的,否则就是不同的.,函数的两要素,函数的定义域通常按以下两种情形来确定:对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定.,函数的定义域,对抽象地用算式表达的函数,其定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函数的自然定义域.,一般地，应注意如下几点：(1)分母不能为零；(2)偶次根号下非负；(3)对数的底大于零而不等于1、真数大于零；(4)三角函数和反三角函数要符合其定义；如果函数的表达式由若干项组合而成，则它的定义域是各项定义域的公共部分.,单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个xD,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个xD,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.,例如,由方程x2y21确定的函数是一个多值函数:,此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支,函数的表示法,表示函数的主要方法有三种:列表法、图形法、解析法(公式法).,其定义域为D=(-,+),其值域为Rf=0,+).,例2,例1 常值函数 y=2.其定义域为D=(-,+),其值域为Rf=2.,几种特殊函数举例,绝对值函数,其定义域为D=(-,+),其值域为Rf=-1,0,1.,例4 取整函数y=x.,例3,注:设x为任意实数,不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作x.,其定义域为D=(-,+),其值域为Rf=Z.,符号 函数,例5,此函数的定义域为D=0,1(0,+)=0,+).,分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.,函数,当0 x1时;当x1时 y1x,设函数f(x)的定义域为D,数集XD.如果存在数K1,使对任一xX,有f(x)K1,则称函数f(x)在X上有上界.,1 函数的有界性,如果存在数K2,使对任一xX,有f(x)K2,则称函数f(x)在X上有下界.,如果存在正数M,使对任一xX,有|f(x)|M,则称函数f(x)在X上有界;如果这样的M不存在,则称函数f(x)在X上无界.,三、函数的特性,f(x)=sin x在(-,+)上是有界的:|sin x|1.,函数,在开区间,(0,1),内是无,上,界的,.,所以函数无上界.,函数,在,(,1,2,),内是有界的,.,这,是,因,为,对,于,任,一,M,1,总有,:,使,函数的有界性举例,设函数y=f(x)在区间I上有定义,x1及x2为区间I上任意两点,且x1x2.,如果恒有f(x1)f(x2),则称f(x)在I上是单调增加的.,2 函数的单调性,如果恒有f(x1)f(x2),则称f(x)在I上是单调减少的.,单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.,设函数f(x)的定义域D关于原点对称,如果在D上有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数.如果在D上有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数.,3 函数的奇偶性,奇偶函数举例 y=x2,y=cos x都是偶函数.y=2x,y=tan x 都是奇函数.,奇函数的图形对称于原点,偶函数的图形对称于y轴,奇偶函数的图形特点,设函数f(x)的定义域D关于原点对称,如果在D上有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数.如果在D上有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数.,3 函数的奇偶性,4 函数的周期性,设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个不为零的数l,使得对于任一xD有(xl)D,且f(x+l)=f(x),则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.周期函数的图形特点,四 反函数、复合函数和初等函数,1 反函数 设函数yf(x)的定义域是数集D，值域是数集W.若对每一个y,都有唯一的x适合关系f(x)=y,从而得到一个定义在W上的新函数，称为函数 f 的反函数，记作x=f 1(y).其中这个函数的定义域为W，值域为D.原函数称为直接函数,按习惯,yf(x),xD的反函数记成yf 1(x),xf(D).,例如,函数yx3它的反函数存在,其反函数为,1 反函数 设函数 f:Df(D)是单射,则它存在逆映射 f 1:f(D)D,称此映射f 1为函数 f 的反函数.,按习惯,yf(x),xD的反函数记成yf 1(x),xf(D).,若 f 是定义在D上的单调函数,则 f:Df(D)是单射,于是 f 的反函数f 1必定存在,而且容易证明f 1也是f(D)上的单调函数.,相对于反函数yf 1(x)来说,原来的函数yf(x)称为直接函数.函数yf(x)和yf 1(x)的图形关于直线 yx 是对称的.,按习惯,yf(x),xD的反函数记成yf 1(x),xf(D).,反函数的存在性：若函数yf(x)定义在没个区间I上并在该区间上单调（增加或减少），则它的反函数必存在。,设函数yf(u)的定义域为D1,函数ug(x)在D上有定义且g(D)D1,则由 yfg(x),xD确定的函数称为由函数ug(x)和函数yf(u)构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.,2 复合函数,函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为f o g,即(f o g)(x)fg(x).,说明:g与f 构成的复合函数f o g的条件是:函数g在D上的值域g(D)必须含在f 的定义域Df 内,即g(D)Df.否则,不能构成复合函数.,3 函数的运算,设函数f(x),g(x)的定义域依次为D1,D2,DD1D2,则可以定义这两个函数的下列运算:和(差)f g:(f g)(x)f(x)g(x),xD;积 f g:(f g)(x)f(x)g(x),xD;,基本初等函数 幂函数:yx(R是常数);指数函数:ya x(a0且a1);对数函数:yloga x(a0且a1),特别当ae时,记为yln x;三角函数:ysin x,ycos x,ytan x,ycot x,ysec x,ycsc x;,4.初等函数,反三角函数:yarcsin x,yarccos x,yarctan x,yarccot x.,5.初等函数,初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,都是初等函数.,例如,函数,初等函数的分解,5.3 几种常见的经济函数,5.3.1 线性函数模型,5.3.2 指数函数模型,用数学方法解决实际问题，通常要把实际问题化成数学问题，也就是建立数学模型，简称建模.,五 函数模型,图2-2,图2-3,线性函数模型,图 2-4,图 2-5,例3 利润函数模型,图 2-6,5.3.2 指数函数模型,例5 复利模型,所谓年金本利和，是指每年付一次款，每年复利一次，若干年后的全部付款和全部利息累积之和,例 年金本利和模型,