《无穷小与无穷》PPT课件.ppt
,第一章,（二）、无穷大,（三）、无穷小与无穷大的关系,（一）、无穷小,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、无穷小与无穷大,1,当,（一）、无穷小,定义1.若,时,函数,则称函数,例如:,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小.,时为无穷小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!,因为,当,时,显然 C 只能是 0!,C,C,时,函数,(或),则称函数,为,定义1.若,(或),则,时的无穷小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,其中 为,时的无穷小量.,定理 1.(无穷小与函数极限的关系),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,（二）、无穷大,定义2.若任给 M 0,一切满足不等式,的 x,总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X),记作,总存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,注意:,1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!,例如,函数,当,但,不是无穷大!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,（三）、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,(自证),据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,（四）、极限的运算法则,都存在，则,时极限也存在，且,特别有.,在,定理3.若极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,求极限方法举例,例1,解,9,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,10,解,例3,(消去零因子法),11,例4,解,12,小结:,13,小结,1.极限的四则运算法则及其推论;,2.极限求法;,a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷大之比求极限法;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.,14,思考题,在某个过程中，若 有极限，无极限，那么 是否有极限？为什么？,15,思考题解答,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,16,第一章,都是无穷小,第二节,引例.,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、无穷小的比较,17,定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,例如,当,时,又如，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19,例5.证明:当,时,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,20,定理1.,证:,即,即,例如,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21,定理2.设,且,存在,则,证:,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,例6.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23,常用的等价无穷小，当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,24,时，,当,时,第一章,一、极限存在定理,第三节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限存在定理与两个重要极限,二、两个重要极限,25,（一）、夹逼定理 如果对于,证:,当,时，有,又因,故必存在正数,时,有,取,于是,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的某个领域内,的一切,则,，当,则当,26,例7.证明,证:利用夹逼准则.,且,由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,26,（二）.单调有界数列必有极限(准则2),(证明略),机动 目录 上页 下页 返回 结束,27,准则2,1.单调增有上界数列必有极限。,2.单调减有下界数列必有极限。,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,35,二、两个重要极限,重要极限1,其中的两个等号只在x=0时成立.,证,设圆心角 过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作,则sin x=BD，tan x=AC，,当 时,首先证明不等式,28,当 时有,即当 时,而当 时有,从而,即当 时有,这就证明了不等式.,29,从而有,由夹逼准则，即得,再由夹逼准则，即得,30,例8,解,例9,解,例10,解,31,这是重要极限2常用的另一种形式.,重要极限2,例11,解 令,则当 时,因此,32,例12,解,例13,解,33,重要极限2,证明：,证明：,34,内容小结,1.无穷小与无穷大的定义,2.无穷小与函数极限的关系,3.无穷小与无穷大的关系,4、无穷小的比较,作业P23、9、（8）（10）（14）(18);,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,5、两个重要极限,35,小结,1.两个准则,2.两个重要极限,夹逼准则;单调有界准则.,：,：,36,一、填空题:,练 习 题一,37,二、求下列各极限:,38,练习题答案,39,练习,解,先变形再求极限.,40,练习,解,41,练习,解,左右极限存在且相等,42,一、填空题:,练 习 题二,43,二、求下列各极限:,44,4、,45,练习题二答案：,一、1、-5；2、3；3、2；4、1/5;5、0；6、0；7、1/2;,二、1、2；2、2x；3、-1；4、0；,
