《无穷大与无穷小》PPT课件.ppt

教学目的:,2、了解无穷小量与函数极限的关系与无穷小量的阶.,1、理解无穷小量、大量的概念，掌握无穷小量的性质.,3、掌握无穷小量与无穷大量关系.,1.3 无穷小量与无穷大量,极限,1.极限是研究变量的变化趋势.,2.函数极限,(1)当x时,f(x)A,(2)当xx0时,f(x)A,一、复习极限的概念,1.极限是研究变量的变化趋势.,一、复习极限的概念,对于函数y=f(x)，若自变量x在某个变化过程中，函数f(x)的极限为零,则称在该变化过程中，f(x)为 无穷小,记作,1、无穷小：,一、无穷小与无穷大的定义,常用,等表示.,即:以零为极限的变量称为无穷小量.(简称无穷小),例：,判断下列变量是否为无穷小量?,(1)当x0时,x 是否为无穷小量;,(2)当x0时,cosx 是否为无穷小量;,(3)当x时,(1/x)是否为无穷小量;,解:,注:,求极限无穷小量是以零为极限的变量,无穷小的判断方法,2、无穷大：,如果自变量 x 在某个变化过程中，函数f(x)的绝对值越来越大且可以无限增大，则称在该变 化过程中的，f(x)无穷大。记作,分类：正无穷大：,负无穷大，,.,注意:虽然函数f(x)的极限不存在,但是它有确定的变化趋势,所以,借用极限符号来表示这种变化趋势.,例：,判断,是否为无穷大量?,解,注:1、判断方法,求极限,练习:判断在给定趋向下,下列变量是无穷大、无穷小或两者皆非.,说明：1.一个变量是否为无 穷小、无穷大与自变量的变化过程有关.,3.无穷小、无穷大是变量,不能与很小及很大的数混淆,2.零是常数中唯一的无穷小.,说明：,1.有限个无穷小的代数和仍然是无穷小,2.有限个无穷小的积仍然是无穷小,注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,（在自变量的同一变化过程中）,二、无穷小的性质,3.有界变量与无穷小的积仍然是无穷小,有界变量：y=sinu,y=cosu.,例：求,解:,分析 当 x 0 时,sin(1/x)在-1,1之间摆动无极限,但是当 x 0 时,x 是无穷小量,所以,利用无穷小量的性质来求极限.,练习：,解,三、无穷小量与函数极限的关系,定理的重要意义:,1.将极限的描述性定义转化为量化性的精确形式;,函数 f(x)可以表示成:极限A与一个无穷小 之和.,2.可以作为极限运算的证明的依据.,即:在同一变化过程中,函数f(x)极限是A的充要条件为:,求,如图所示,例,解,四、无穷小与无穷大的关系,定理：在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,则,为 无穷小,意义:关于无穷大的讨论,可归结为关于无穷小的 讨论.,利用无穷小与无穷大的关系求极限.,错误写法：,解,分析 将 x 3 代入函数中,分子趋于10;分母趋于 零,不能直接求极限.考虑用无穷大与无穷小关系求极限。,例,练习：,解,练习：,认真！,解,例,(1)y=x-4,解,分析(1)要使 y=x-4 是无穷小,即 x-4 0,只要,下列变量中,当x?是无穷小;当x?是无穷大.,x 4,所以当 x 2 时,y=x-4 是无穷小.,分析(2),解,五、无穷小的阶,例：当x0时，x，2x，x2都是无穷小，但它们趋于0 的速度却不一样。,例,例：当x0时，比较下列无穷小的阶,(求比值的极限）,解,练习：当x时，比较下列无穷小的阶,解,八、小结：,1、无穷小：极限为零的变量,5、无穷小与无穷大的关系（互为倒数）,2、无穷大：极限不存在，但有趋于无穷大的变化 趋势,6、无穷小的阶,3、无穷小的性质(有界变量乘无穷小量为无穷小量）,4、函数极限与无穷小的关系,