《旋转曲面面积》PPT课件.ppt

10.4 旋转曲面的面积,通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？,一 定积分的元素法(或微元法),为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形面积转化为定积分的计算过程。,step1.分割：任意划分a,b为n个小区间,step2.近似：,微元法,step3.求和：,step4.取极限：,分析：,在上述问题注意到:所求量(即面积)A满足：,1。与区间a,b及a,b上连续函数f(x)有关;,2。对a,b具有可加性，,3。,实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第二步，因此求解可简化如下：,微元法,step1:选取积分变量及积分区间（如x属于a,b）,step2:取微区间x,x+dx 求出,step3:,这种方法称为定积分的元素法或微元法。,微元法,一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件:,1。Q是与某一变量x的变化区间a,b有关的量；,2。Q对于a,b区间具有可加性；,3。局部量,那么，将Q用积分来表达的步骤如下:,step1.选取积分变量及积分区间,step2.取微区间x,x+dx，求出,step3.,微元法,求的步骤,分割,用分点,将,区间分成 n 个小区间,以直线代曲,把在小区间上的局部量,用某个函数 f(x)在,的值与,之积代替,求和,把局部量的近似值累加得到总量的近似值,即,设量非均匀地分布 a,b 上,由此可知，若某个非均匀量在区间 a,b 上满足两个条件：,（1）总量在区间上具有可加性，即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和，,（2）局部量可用,近似表示,它们之间只相差一个,的高阶无穷小,不均匀量就可以用定积分来求得这是建立所求量的积分式的基本方法,求极限,1 求微元,写出典型小区间,上的局部量,的近似值,这就是局部量的微元,2 求积分,即把微元,在区间 a,b 上,作积分表达式，求它在 a,b 上的定积分，即,这就是微元法,“无限积累”起来，相当于把,例,解:（图一）,旋转曲面的面积为,二 旋转曲面的面积,例3,解,由对称性,有,由对称性,有,由对称性,有,三 小结,