《方程的迭代求解》PPT课件.ppt

方程的迭代求解,数学实验,数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着,而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现这些真理之间的新的接触点.C.F.Guass,数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益.,利用数学来解决实际问题时，我们往往要想建立一个数学模型，然后来求解这个数学模型，而这个数学模型往往是一个方程，可能是一般的方程、线性方程组甚至是一个非线性方程组。,因此，求解方程或方程组的根是数学中一个非常重要的工具和方法，直接影响到解决实际问题的效果。,问 题,求解方程有很多的各种各样的方法，有直接法和迭代法，对于利用计算机进行求解时比较常用的一种方法就是迭代法。,内容安排,一般迭代格式一般方程求根线性方程组的迭代求解非线性方程组的迭代求解,一般迭代格式,函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具。哪怕是对一个相当简单的函数进行迭代，都可以产生异常复杂的行为，并由此而衍生了一些崭新的学科分支，如分形与混沌。同时，迭代在各种数值计算算法以及其它学科领域的诸多算法中处于核心的地位,迭代的一般格式：,一般方程求根,一般方程的格式为:,一般方程求根,如何改写可以使得迭代收敛？如何改写才能使得迭代序列收敛的更快？,问题,任务1(线性方程),任务2(非线性方程),一般方程求根,对于给定的方程 g(x)=0 有无穷多种方式将它改写成等价的形式。但重要的是如何改写可以使得迭代序列收敛?何改写才能使得迭代序列收敛得更快?,再做练习,一般方程求根,从前面的实验观察中知道，使得迭代序列收敛并尽快收敛到方程g(x)=0的某一解的条件是：迭代函数 x=f(x)在解的附近的导数的绝对值尽量小。这启发我们将迭代函数写成如下形式：,为求h(x)的最小值，令,一般方程求根,牛顿迭代公式,一般方程求根,这个迭代公式的几何意义是什么？,用这个迭代公式重做练习：,线性方程组的迭代求解,一个n元线性方程组的一般形式为:,矩阵形式为：,熟知，当矩阵A的行列是非零，方程组后唯一解。,线性方程组的迭代求解,将方程组改写为,即可得到方程组的迭代格式,如果所得的迭代序列xn收敛到x*，则x*是方程组的解,线性方程组的迭代求解,情况1 假设迭代矩阵为一个对角阵,试考虑 迭代收敛的条件 收敛速度与f有没有影响 初值对迭代的收敛性和收敛速度又没有影响,线性方程组的迭代求解,情况2 假设迭代矩阵为一般矩阵,试考虑 收敛速度与f有没有影响初值x0对迭代的收敛性和收敛速度又没有影响M的特征值是什么?是否相似于对角阵给出迭代向量xn的通项公式,线性方程组的迭代求解,对,再考虑这几个问题 收敛速度与f有没有影响初值x0对迭代的收敛性和收敛速度又没有影响M的特征值是什么?,线性方程组的迭代求解,经过比较，得到方程组收敛的条件是：,迭代矩阵M的最大特征值要小于1迭代矩阵M的行元素求和的最大值1，或者列元素求和的最大值1,两种迭代格式比较,1、Jacob迭代格式2、Seidel迭代格式,Jacob迭代格式,Seidel迭代格式,即把矩阵分解成一个上三角阵和一个下三角阵的和 U+L,