《整数规划解法》PPT课件.ppt

二 0-1型整数规划的一般解法-隐枚举法,解0-1型整数规划最容易想到的方法，和一般整数线性规划的情形一样，就是穷举法，即检查变量取值为0或1的每一种组合，比较目标函数值以求得最优解，这就需要检查变量取值的2n个组合。对于变量个数n较大(例如n10)，这几乎是不可能的。而隐枚举法就是在此基础上改进的，通过加入一定的条件，就能较快的求得最优解。,只检查变量取值的组合的一部分，就能求到问题的最优解，这样的方法称为隐枚举法(implicit enumeration)，分枝定界法也是一种隐枚举法。其解题关键是寻找可行解，产生过滤条件。过滤条件：是满足目标函数值优于计算过的可行解目标函数值的约束条件。,下面举例说明求解0-1型整数规划的隐枚举法,例4.6:目标函数 max z=3x1-2x2+5x3 约束条件：x1+2x2-x32（1）x1+4x2+x34（2）x1+x23（3）4x2+x36（4）x1，x2，x3=0或1（5）,解题时先通过试探的方法找一个可行解，容易看出(x1，x2，x3)=(1，0，0)，满足（1）（4）条件，算出相应的目标函数值z=3。,我们在求最优解时，对于极大化问题，当然希望z3，于是增加一个约束条件：3x1-2x2+5x33 称为过滤的条件(filtering constraint)。这样，原问题的线性约束条件就变成5个。用全部枚举的方法，3个变量共有23=8个解，原来4个约束条件，共需32次运算。现在增加了过滤条件，如按下述方法进行，就可减少运算次数。将5个约束条件按（4）顺序排好。对每个解，依次代入约束条件左侧，求出数值，看是否适合不等式条件，如某一条件不适合，同行以下各条件就不必再检查，因而就减少了运算次数。,在计算过程中，若遇到z值已超过条件右边的值，应改变条件，使右边值为迄今为止最大者，然后继续作。例如，当检查点(0，0，1)时，因z=5(3)，所以改进过滤条件，用3x1-2x2+5x35 代替，继续进行。这种对过滤条件的改进，更可以减少计算量。,再改进过滤条件，用3x1-2x2+5x38代替，再继续进行。,至此，z值已不能改进，即得到最优解，解答如前，但计算已简化。本例计算过程实际只作16次运算。即求得最优解(x1，x2，x3)=(1，0，1),max z=8,注意：,一般常重新排列xi的顺序使目标函数中xi的系数是递增(不减)的，在上例中，改写 z=3x1-2x2+5x3=-2x2+3x1+5x3因为-2，3，5是递增的，变量(x2，x1，x3)也按下述顺序取值：(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(0，1，1)，这样，最优解容易比较早的发现。再结合过滤条件的改进，更可使计算简化,步骤：(1)、用试探法，求出一个可行解，以它的目标值作为当前最好值Z0(2)、增加过滤条件Z Z0(3)、将xi 按ci由小大排列。最小化问题反之。,解：1.观察得解(x1,x2,x3)=(1,0,0)，Z0=3 2.过滤条件：3x1-2x2+5x3 3 3.将(x1 x2 x3)(x2 x1 x3),点(x2 x1 x3)目标值 Z0（1）（2）（3）（4）当前最好值(0,0,0)0 5(0,1,0)3 8(1,0,0)-2(1,0,1)3(1,1,0)1(1,1,1)6,最优解 x=(1,0,1)T，Z=8,maxZ=-2x2+3x1+5x3,指派问题与匈牙利法,指派问题的求解步骤：,1)变换指派问题的系数矩阵(cij)为(bij)，使在(bij)的各行各列中都出现0元素，即 从(cij)的每行元素都减去该行的最小元素；再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。,2)进行试指派，以寻求最优解。在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。,指派问题与匈牙利法,找独立0元素，常用的步骤为：,从只有一个0元素的行开始，给该行中的0元素加圈，记作。然后划去 所在列的其它0元素，记作；这表示该列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。依次进行到最后一行。从只有一个0元素的列开始（画的不计在内），给该列中的0元素加圈，记作；然后划去 所在行的0元素，记作，表示此人已有任务，不再为其指派其他任务了。依次进行到最后一列。若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。,指派问题与匈牙利法,若 元素的数目m 等于矩阵的阶数n（即：mn），那么这指派问题的最优解已得到。若m n,则转入下一步。,3)用最少的直线通过所有0元素。其方法：,对没有的行打“”；对已打“”的行中所有含元素的列打“”；再对打有“”的列中含 元素的行打“”；重复、直到得不出新的打号的行、列为止；对没有打号的行画横线，有打号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 l。,注：l 应等于m，若不相等，说明试指派过程有误，回到第2步，另行试指派；若 lm n，表示还不能确定最优指派方案，须再变换当前的系数矩阵，以找到n个独立的0元素，为此转第4步。,指派问题与匈牙利法,4)变换矩阵(bij)以增加0元素在没有被直线通过的所有元素中找出最小值，没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素；直线交点处的元素加上这个最小值。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第2步。,指派问题与匈牙利法,例7 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？,指派问题与匈牙利法,解：1）变换系数矩阵，增加0元素。,5,2）试指派（找独立0元素）,找到 3 个独立零元素 但 m=3 n=4,指派问题与匈牙利法,3）作最少的直线覆盖所有0元素,独立零元素的个数m等于最少直线数l，即lm=3n=4；,4）没有被直线通过的元素中选择最小值为1，变换系数矩阵，将没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素；直线交点处的元素加上这个最小值。得到新的矩阵，重复2）步进行试指派,指派问题与匈牙利法,试指派,得到4个独立零元素，所以最优解矩阵为：,即完成4个任务的总时间最少为：241+8=15,指派问题与匈牙利法,练习 已知五人分别完成五项工作耗费如下表，求最优指派方案。,指派问题与匈牙利法,-1,-2,解：1）变换系数矩阵，增加0元素。,指派问题与匈牙利法,2）试指派（找独立0元素）,独立0元素的个数l45，故画直线调整矩阵。,指派问题与匈牙利法,选择直线外的最小元素为1；直线外元素减1，直线交点元素加1，其他保持不变。,指派问题与匈牙利法,l=m=4 n=5,选择直线外最小元素为1，直线外元素减1，直线交点元素加1，其他保持不变，得到新的系数矩阵。,指派问题与匈牙利法,总费用为=5+7+6+6+4=28,注：此问题有多个最优解,指派问题与匈牙利法,总费用为=8+9+4+3+4=28,指派问题与匈牙利法,2.不平衡的指派问题,当人数m大于工作数n时，加上mn项虚拟工作，例如：,当人数m小于工作数n时，加上nm个人，例如,指派问题与匈牙利法,3.一个人可做几件事的指派问题,若某人可做几件事，则将该人化作相同的几个“人”来接受指派，且费用系数取值相同。,例如：丙可以同时任职A和C工作，求最优指派方案。,指派问题与匈牙利法,4.某事一定不能由某人做的指派问题,将该人做此事的效率系数取做足够大的数，可用M表示。,练习 指派甲、乙、丙、丁四个人去完成A、B、C、D、E五项任务。每个人完成各项任务的时间如表所示。由于任务数多于人数，考虑任务E必须完成，其他4项中可任选3项完成。试确定最优指派方案，使完成任务的总时间最少。,指派问题与匈牙利法,解:1)这是不平衡的指派问题，首先转换为标准型，再用匈牙利法求解。2)由于任务数多于人数，所以假定一名虚拟人，设为戊。因为工作E必须完成，故设戊完成E的时间为M（M为非常大的数），其余效率系数为0，则标准型的效率矩阵表示为：,指派问题与匈牙利法,用匈牙利法求出最优指派方案为：,即甲B，乙D，丙E，丁A,任务C放弃。最少时间为105。,