《数学期望与方差》PPT课件.ppt

一、数学期望的概念,二、数学期望的性质,三、随机变量函数的数学期望,四、小结,第一节 数学期望,设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下,引例 射击问题,试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?,一、数学期望的概念,解,平均射中环数,设射手命中的环数为随机变量 Y.,平均射中环数,频率,“平均射中环数”等于,射中环数的可能值与其概率之积的累加,1.离散型随机变量的数学期望,2.连续型随机变量数学期望的定义,例一：将 4 个可区分的球随机地放入 4 个盒子中，每盒容纳的球数无限，求空着的盒子数的数学期望.,解：引入 X i,i=1,2,3,4.,1.设 C 是常数,则有,证明,2.设 X 是一个随机变量,C 是常数,则有,证明,二、数学期望的性质,3.设 X,Y 是两个随机变量,则有,4.设 X,Y 是相互独立的随机变量,则有,证明,说明 连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似.,数学期望在医学上的一个应用,An application of Expected Value in Medicine,考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？,分析：,设随机抽取的10人组所需的化验次数为X,我们需要计算X的数学期望，然后与10比较,化验次数X的可能取值为1，11,先求出化验次数X的分布律。,(X=1)=“10人都是阴性”,（X=11)=“至少1人阳性”,结论：,分组化验法的次数少于逐一化验法的次数,注意求 X期望值的步骤！,四、小结,数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值.,2.数学期望的性质,第二节 随机变量的方差,前面我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均,是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的.,例如，甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，所以乙炮的射击效果好.,为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.,这个数字特征就是我们下面要介绍的,方差,A.方差的概念,设随机变量X的数学期望为E(X),若E(X-E(X)2存在,则称它为X 的方差（此时，也称X的方差存在)，记为Var(X)或D(X),即,定义,称Var(X)的算术平方根,为X的标准差或均方差，记为(X).,Var(X)=E(X-E(X)2,若X的取值比较分散，则方差较大.,刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度.,若X的取值比较集中，则方差较小；,Var(X)=EX-E(X)2,方差,注意：,1)Var(X)0，即方差是一个非负实数.2）当X 服从某分布时，我们也称某分布的方差为Var(X).方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个 特征.,方差的计算公式,(1)若 X 为离散型，概率分布为,(2)若 X 为连续型，概率密度为 f(x),则,则,计算方差的公式,证明:,即X*=（X-）的数学期望为0，方差为1，X*称为X的标准化变量.,上式称为切比雪夫（Chebyshev）不等式,定理：设随机变量X具有数学期望E（X）=，方差D（X）=2，则对于任意正数，不等式 P|X-|22 成立,是概率论中的一个基本不等式.,例6,已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a，使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。,解：由切比雪夫不等式,令,