《数值微分法》PPT课件.ppt

湖南商学院,1,6.1.1 数值微分法 局部截断误差,在x=xi处，问题(6-1)微分方程成为,(6-2),按照4.2.1数值微分公式，有,(6-3),将它们分别代入式(6-2)左边，可得,湖南商学院,2,(6-4),略去最后项，用yi代替y(xi)，得Yi+1=yi+hf(xi,yi)(6-5)Yi+1=yi+hf(xi+1,yi+1)(6-6)Yi+1=yi-1+2hf(xi,yi)(6-7)利用它们求问题(6-1)数值解的方法，分别称为欧拉(Euler)法，后退欧拉法，中点法。,湖南商学院,3,在导出这些数值解法的求解公式时，略去的项称为局部截断误差。由式(6-4)可见，它是求解公式中数值解yi代为真正解y(xi)时两边之差；它也是求解公式右边数值解均是真正解是(称为局部化假定)，真正解y(xi+1)与算出数值解yi+1之差。当h 时，若局部截断误差Ry是hp+1 的同阶无穷小，即Ry=，则称该数值解法是p阶方法。由式(6-4)显然，欧拉法，后退欧拉法，中点法的阶数，分别为1，1，2。例6-1 用上述3种方法求初值问题,从x=0到x=0.1的数值解，取步长h=0.02。解 按题意，xi=0.02i,i=0 5,y0=1.按欧拉法(6-5)yi+1=yi-0.9hyi/(1+2xi)令i=04,得,湖南商学院,4,y0=1.0000,y1=0.9820,y2=0.9650 y3=0.9489,y4=0.9337,y5=0.9192按后退欧拉法(6-6)，得yi+1=yi-0.9hyi+1/(1+2xi+1)。这是yi+1的方程，解之得 yi+1=yi/(1+0.9h/(1+2xi+1)令i=04，得 y0=1.0000,y1=0.9830,y2=0.9669 y3=0.9516,y4=0.9370,y5=0.9232按中点法(6-7),yi+1=yi-1-1.8hyi/(1+2xi)已知y0=1,按此公式不能计算y1。按后退欧法取,y1=0.9830,令i=14得 y2=0.9660,y3=0.9508,y4=0.9354,y5=0.9218本题的真解是y=(1+2x)-0.45,它在xi(i=05)处的值依次为1，,湖南商学院,5,0.9825055 161，0.9659603719，0.9502806582,0.9353925462，0.9212307783。比较3种数值解，可见它们都是真解的近似值；但欧拉法偏小，后退欧拉法偏大，两者误差相差不多；,中点法误差最小。这跟它们局部截断误差的符号，阶数，大小完全一致。,后退欧拉法(6-6)求yi+1时需要解方程。这种方程称隐式法。像欧拉法(6-5)这样的方法，求yi+1时不需解方程，称显式法。中点法(6-7)也是显式法，但只知yi还不能求出yi+1，必须知道yi,yi-1才能求出yi+1，这类方法称多步法。多步法不能计算的y0,y1,，需用其他方法求出，称为多步法的起始值或开始值。知道yi能求yi+1的方法称单步法。,